1、電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n高斯消去法高斯消去法n三角分解法三角分解法n節點編號順序的優化節點編號順序的優化電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有直接解法n 線性方程組可以用直接解法，計算實踐表明，對電力系統來說它很有效。n 電力系統中常見的大型線性方程組的系數矩陣十分稀疏，直接解法的計算速度很快。n 與迭代法相比，沒有收斂性問題。電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有一、高斯消去法一、高斯消去法 設有n階線性方程組a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . (21)an1x1+an2x2+an

2、nxn=bn 或縮記為：AX=B (22)電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有求解的具體步驟如下：求解的具體步驟如下：（1）若a110，由（21）第1式解出 x1=b1-(a12x2+a1nxn)/a11a11x1+ a12x2 + a1nxn =b1 a22(1)x2+a2n(1)xn=b2(1) . (23) an2(1)x2+ann(1)xn=bn(1)代入第2至第n式消去x1 ,有式中，;)(jiijijaaaaa11111i=2,3,n;j=i,i+1,n;)(11111baabbiii電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有(2)若a22(1)0，由（23）第2式解出11112

3、213311nna xa xa xa xb23(1)(1)(1)(1)223222()/nnxbaxaxa代入第代入第3 3至第至第n n式以消去式以消去, ,便得便得: : (1)(1)(1)(1)23222322(2)(2)(2)3 3333(2)(2)(2)3 3 nnnnnnnnna xa xa xba xa xba xa xb式中，式中，(1)(1)22(2)(1);(1)22ijijija aaaa(1)(1)(2)(1)22;(1)22iiia bbba(i=3,4,n； j=i,i+1,n)電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有 由此只要 ,消元過程就可繼續，在作完第k步消元

4、后，原方程組將變為(1)0kkka1111221,1111(1)(1)(1)(1)2122222,1( )( )( )11,11,1( )( )( )1,1kknnknnkkkkknkkknkkkkknnnnn ka x a xaxa x ba xaxa x baxax baxa x b(24)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)(1)1kkppkikkjippjkkijijkpijpkkppaaaaaaaaa（i=k+1,. ,n； j=i,i+1, n+1） 式中 ,(25)電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n如果不滿足，可將尚待繼續消元的那部分方程式重新排列次序，使第k個方程

5、中 的系數不為零即可。n由于 與 的算法相同，若把 記為 ，在利用公式（25）時可把列標 j 一直取到n+1。 以求取 ( )kib( )kijaib,1i na(1)0kkkakx( )kibn只要： ，消元就可以繼續 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有12111211(1)(1)(1)(1)22222(1)(1)(1)(1)(1)1iinnininiiiiniiininnnnnna x a xa x a x baa xa x baxax bax b(26)式中 ， （i=1,2, ,n ; j=i,i+1,n+1） (1)(1)1(1)(1)1kkiikkjiijijkkkkaaaa

6、a(27)n經過n-1次消元，最后得到的方程為。電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有消元的結果是把原方程組（消元的結果是把原方程組（21）演化成系數矩陣呈上三）演化成系數矩陣呈上三角形的方程組角形的方程組 （26）。這兩組方程組有同解）。這兩組方程組有同解 。 12111211(1)(1)(1)(1)22222(1)(1)(1)(1)(1)1iinnininiiiiniiininnnnnna x a xa x a x baa xa x baxax bax b回代過程求解X 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有(1)(1)(1)1()/ (,1,1)niiiiiijjiij ixbaxa

7、in n (28)回代過程:n按列消元對應于網絡變換時的消去節點，物理概念清晰 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有例例2 21 1 按列消元按行回代的高斯消去法按列消元按行回代的高斯消去法n按列消去1232332312 2.52.55 1248xxxxxx 123123123231237135425xxxxxxxxx12323232 3 12 2.52.55 11.50.525xxxxxxx n按行回代: ( 1)由第三式解得x3=4 (2) 由此及第二式解得x2=2 (3) 由x3、x2此第一式解得x1=1電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n電力系統計算中，高斯消去法的另一種常用

8、計算格式是按行消元逐行規格化的算法。n具體做法如下： （1）若 則以 乘方程組（21）中的第1 式，使之規格化，得到 （29） 式中, （j=2,3,n+1）110,a111/a(1)(1)(1)112211nnxa xa xb(1)1111/jjaaa電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有（2）對方程組（21）中的第2式作運算。首先進行消元，用-a21乘（29）全式，再同式（21）的第2式相加，便得到 ：(1)(1)(1)(1)23222322nna xa xa xb(1)(1)22211(2,3,1)jjjaaa ajn式中，假定 ，用 去乘上式規格化，便得 (1)220a(1)221/

9、a(2)(2)(2)223322nnxa xa xb(2)(1)(1)2222/jjaaa這樣，得到了經過消元和規格化處理的第2個方程式。 （j=3，4， ，n+1） 式中 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n消元過程逐行進行。對原方程組（21）中的第i個方程式的演算包括，先作i-1次消元，利用已完成消元和規格化處理的i-1個方程式依次消去 ,然后作一次規格化計算，使 的系數變為1。以k代表消元次數，逐次消元計算通式為 ：121,ix xxix( )(1)(1)( )kkkkijkjijikaaaa(1,2,1;1,2,1)kijkkn（210）作完i-1次消元后，規格化計算公式為 (

10、)(1)(1)/iiiijijiiaaa（j=i+1,i+2,.,n+1） （211） 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n一般，經過i-1步按行消去運算，增廣矩陣變成(1)(1)(1)12131,1(2)(2)232,1(1)(1)11,1,11,112,1111nniiiiiiniiii nnnnin naaaaaaaaaaaaaaF電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n按照上述步驟，對方程組（21）的全部方程式作完消元和規格化演算，便得到了以下的方程組 (1)(1)(1)(1)(1)123112131,111(2)(2)(2)(2)2312,12223(1)(1)11,1( )

11、nnnnnnnnnnnnnnnnnnx a xa xaxa x bx a xaxa x bxax bx b（212）式中的系數表達式為： 1( )(1)( )(1)1()/iikkiijijikkjiikaaaaa（i=1,2,n-1;j=i+1,i+2, ,n+1） （213）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n利用方程組 （212）,通過回代計算，即可求得全部的未知變量，其計算通式為 ( )( )1niiiiijjj ixba x （i=n,n-1,.,1 ) (2-14)n注意（212），（213），（214）與式（26），（27），（28）本質上一致。 電力系統穩態分析電力系統穩

12、態分析版權所有例例2 22 2 按行消元逐行規格化的高斯消去法按行消元逐行規格化的高斯消去法S1. 規格化第一行123123123231237135425xxxxxxxxx23112371 135425()1/213/21/26371 13542513/21/2655 5225542(3)S2. 一、二行相消S3. 規格化第二行2/(5)13/21/2611 25425S4.一、三行相消311/26211 223125)2(5213/21/2611 21223 24/8S5. 二、三行相消()1/1213/21/2611 214S6. 第三行規格化電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有最后得

13、到：最后得到：n其中，依次取1/2，3，2/5，5，-23/2，-1/12為運算因子。n由后向前取虛線上三角中元素進行回代運算S1. 取1662( 1) 4244 S2. 取1/213/21/2611 2146 1/2 442244 43/2 212244 S3. 取3/2電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有因子表1/23/21/232/51523/21/12電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有高斯消去法的每一步演算都相當于進行矩陣的初等變換。以按列消元的算法為例，第一步消元時所用的初等矩陣為 11121111llnL1111/iilaa其中（i=2，3，,n） 二、三角分解法二、三角

14、分解法 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n用 左乘式（22）的兩端，將結果展開便得到方程組 (23）n以后的每一步消元都是對上次變換所得的結果再作一次初等變換。所用的變換矩陣都是單列單位下三角矩陣，第k步消元所用的矩陣為 11L11111,1klkklnkL（215）(1)(1)/kkikikkklaa（i=k+1, ,n） （216）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n依次作完n-1次變換后，便得到方程組 (26)。若將方程組 (26）的系數矩陣記為R，則其元素為 (1)iijijra(i=1,2, ,n;j=i,i+1, ,n) 從演算過程可知 （217）111121nnRL

15、LL A因為初等矩陣非奇，故有 根據單列單位下三角矩陣的性質可知 121nL LLRA1111,1klkklnkL電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有這樣，便得到 A=LR 2112131321231111nnnnllllll LL LL（218）非奇方陣A被表示為矩陣L和R的乘積，這兩個三角矩陣稱為A的因子矩陣. 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有 從計算公式可見，要使分解得以進行下去，必須有 。為滿足這個條件，要求矩陣A的各階主子式都不等于零。如果矩陣A非奇異，通過對它的行（或列）的次序的適當調整，這個條件是能滿足的。 11()/ijjijik kjjjklal rr11ijii

16、jik kjkral r2,3, ;1,2,1inji1,2, ;,1,inji in（219）0jjr 利用公式 (25）和 (27），可確定兩個因子矩陣的元素計算公式： 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有LF=B RX=F 或者展開寫成2131321231111nnnllllll123nffff123nbbbb（220）11121222nnnnrrrrrrnxxx21nfff21（221）n將A=LR代入線性方程組(22），便得LRX=B.這個方程又可以分解為以下兩個方程電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n這兩組方程式的系數矩陣都是三角形矩陣，求解極為方便。先由方程組（220）

17、自上而下地依次算出 其計算通式為 n方程組（221）與式（26）一致，求解屬于回代過程，類似式（28）。 12,nfff11iiiij jjfbl f(1,2, )in（222）1()/ ,1,1niiij jiij ixfr xrin n 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有例例2 23 3 三角分解法(LR)111112121313222221 12232321 1321211131311132223223 13535 73 1()()()()()(/)(/)13/22222(5/2523( 43)/25(rarararal rral rlarlarlarl 31 1222333331

18、 133322232352(1)12)/()2)rrlrral rl r 23137154211.512.54.61L2312.52.512Rn利用DOLITTLE分解電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有三角分解后，求解過程如下：112233112121.511352.54.61548ffffffLFBLF=B RX=F 11322233123142.52.52121xfxxfxxfx RXF電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有 n如果A非奇，則上三角矩陣R的對角線元素都不等于零。矩陣R又可分解為對角線矩陣D和單位上三角矩陣U的乘積，即R=DU，或展開寫成 11121111212222

19、22111nnnnnnnnrrrduurrdurd比較兩方的對應元素可得比較兩方的對應元素可得 ,/iiiiijijiidr urd (1,2, ;1, )in jin 由此可知由此可知 (1)( ),iiiiiiijijdaua（223）（224）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有這樣便得 A=LDU （225） 這種分解稱為方陣A的一種LDU分解。若A的各階主子式均不為零，則這種分解是唯一的。 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有11iiiiiikkikkkdal u d(1,2, )in11()/iijijikkjkkiikual u dd1,2,11,injin 11()/j

20、ijijikkjkkjjklal u dd2,3,1,2,1injn（226）n利用公式（219），計及式（223），可得因子矩陣的元素表達式如下電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有例例2 24 4 三角分解法(LDU)23137154211.512.54.61L2312.52.512Rn利用DOLITTLE分解11.512.54.61L22.512D13/21/2111Un利用LDU分解電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有將式（225）代入式（22），可得 LDUX=B（227）這個方程又可分解為以下三個方程組 LFBDHFUXH即（220）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有

21、根據式（222）和（213）可知 。因此，求解這組方程相當于對經消元變換后的右端常數作一次規格化演算。 /iiiihfd(1,2, )in（229）( ) iiihbn由此可得11112222nnnndhfdhfdhf方程組DHF可展開為 （228）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有當A的各階主子式均不為零時，根據分解的唯一性，應有 因此 ()TTTTTAALDULDUU D LTTLUUL或TTALDLU DU（230）n方程組UX=H展開后即是式（212）n若A為對稱矩陣，則應有：電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有利用公式（226），計及 ，便得各因子矩陣的元素表達式為 由于三

22、角矩陣U和L互為轉置，只需算出其中的一個即可。 ijjiul221111iiiiiiikkkiikikkkkdal dau d(1,2, )in11()/iijijkikjkkiikuau u dd1,2,11,injin 11()/jijijik jkkkjjklal l dd2,3,1,2,1inji（231）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有若令LD=C，則矩陣C仍為下三角矩陣，其元素為 這樣便得: A=CU這種分解亦稱為Crout分解。(1,2, )2,3,1,2,1iiiiijijjjcdinincl dji（232）（233）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n利用公式

23、（226），計及式（232），可得因子矩陣的元素表達式如下11111,2, 1,2,1,2,1()/ 1,jijijikkjkiijijikkjiikincac ujiinuac ucjin （234）n不難驗證，用Crout分解求解線性方程組的算法，相當于按行消元逐行規格化的高斯消去法電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有例例2 25 5 三角分解法(CROUT)1111121211131311222221 12232321 132221213131323231 1223/2 1/23515 73( 1 3)/( )1()(/)(/)()()/)()()()322225323123452(

24、5222cauacuaccac uuac uccacacac u 333331 1332232)(12 cac uc u 231371542235/2523/212C13/21/2111Un利用CROUT分解(2-34)電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有對比按行消元逐行規格化的高斯消去法因子表：1/23/21/232/51523/21/12235/2523/212C13/21/2111U電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有三角分解后，求解過程如下：112233212632.5132511.51254hhhhhh CHBCH=B UX=H 13223113/21/2641122141x

25、xxxxx UXH電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n網絡方程需要求解多次，每次只是改變方程右端的常數向量B，使用的系數矩陣A相同n對線性方程組的系數矩陣A進行三角分解，所得的下三角矩陣用于消元運算，而上三角因子矩陣則用于回代運算。 n對于需要多次求解的方程組，可以把三角形因子矩陣的元素以適當的形式貯存起來以備反復應用。n不同的形成因子表方法，對應求解過程（公式）有所不同。 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有作LR分解時，可把因子矩陣L和R的元素排列成： 作LDU分解時，把各因子矩陣的元素排列成： 矩陣L和U的對角元素都是1，不必存放。上述因子矩陣的元素正好占據矩陣A的對應元素位置

26、。因此，以上幾種排列格式都可以稱為矩陣A的因子表。 111213111222323132333123nnnnnnnnrrrrlrrrllrrlllr作Crout分解時，把因子矩陣C和U的元素排列成： 111213111222323132333123nnnnnnnncuuuccuucccucccc111213111222323132333123nnnnnnnnduuulduulldullld對矩陣A，作三種因子分解時的因子矩陣元素電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n以按行消元逐行規格化的算法為例，這種算法需要保留矩陣C和U的元素。由于對角線元素Cii在計算過程中都作為除數出現，在計算機中乘

27、法要比除法節省時間。因此，在實際使用的因子表中，對角線位置都是存放Cii的倒數1/Cii。n由于對稱矩陣的因子矩陣L和U互為轉置矩陣，在因子表中保留上三角部分（或下三角部分），而對角線位置則存放矩陣D的對應元素的倒數。(常用) 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有利用因子表(CROUT分解)：n消元n回代：1niijjj iixhu x （i=n,n-1,.,1 ) (2-14)11()/iiiijjiijhbc hc(1,2, )in（222）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有利用因子表(LDU分解)：n消元n回代：1niijjj iixfu x （i=n,n-1,.,1 ) (2

28、-14)11()/iiiijjjjiijfbl d fd(1,2, )in（222）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有右端的常數向量分別取為： 解：解：用CROUT分解形成因子表如下： 111213212223313233231371542aaaAaaaaaa(1)12135;(2)693TTBB例例2 26 6 用因子表求解方程組AX=B。 1112132122233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuucccccc電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n先做消元運算11112221 1223331 132233/1/265()/(18)/2223

29、()/(5 6(2)/ 141132522hbchbc hchbc hc hc 1112132122233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuuccuccc11()/iiiijjiijhbc hc1niijjj iixhu x n再做回代33222331112213342( 1 4)2316(2)(4)122xhxhu xxhu xu x 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n先做消元運算11112221 1223331 132233/1/235()/(3 3)/02()/(5 30693)/ 121hbchbc hchbc hc hc 11121321

30、22233132331/1/23/21/21/32/511/523/21/12cuuccuccc11()/iiiijjiijhbc hc1niijjj iixhu x n再做回代33222331112213310( 1 1)1313(1)(1)122xhxhu xxhu xu x 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有設四節點網絡的節點編號分別如圖（a）(b)所示。三、節點編號順序的優化三、節點編號順序的優化 （a）（b）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n對應這兩種編號方案的節點方程分別為： 1114111213141111222421222222333431333333414243

31、4441444444; YYYYYYUIUIYYYYUIUIYYYYUIUIYYYYYYUIUI（235）*n分別進行三次、一次消元運算消去系數矩陣中第一列后，這兩個系數矩陣中非零元素的分布將如下式所示。n“*”表示原非零元：“”表示消元后新出現的非零元，稱注入元。 （236）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n再分別進行三次、兩次消元運算，消去其中第二、第三列，得上三角矩陣中的非零元素分布如下式所： *（237）n按方案一編號時，需經六次消元進入回代；n按方案二編號時，僅需三次消元就可進入回代。n方案二回代過程也較簡單。 n差別關鍵在于消元過程中是否會出現注入元，取決于網絡節點編號的順

32、序 為保持節點導納矩陣從而保持因子表的稀疏度，降低對存貯空間的需求、減少運算量，必須盡可能優化節點編號的順序。 電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有 n先將式(236)以及相應的右端項部分展開如下： 21 1221 1321 1421222111111111231 1231 1331 14313331311111111441 1241 1341 1441444111111111*Y YY YY YYYIIYYYYUY YY YY YYYIIUYYYYUY YY YY YYYIIYYYY22242233343341 14414243444141111*YYIUYYIUY YYYYYIIUYY

33、 （238a）（238b）電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n上兩式中虛線以下部分其實就是由式(235)式第一行解出U1并用以消去其它各行中U1后的所得。n這一消去U1 的過程，對應用負荷移置消去節點1，進行網絡簡化的過程n不同點僅僅在于，采用負荷移置法時，是以全網節點電壓都等于額定值的假設條件下，不以電流而以功率表示節點的注入。n以圖（a）及式（238a）說明上述網絡簡化論點。n第一步 由圖(a)套用節點電流移置公式121212111013141211131313111013141211141414111013141211yYIIIyyyyYyYIIIyyyyYyYIIIyyyyY 電

34、力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n從而節點2、3、4注入電流分別改變為：(1)(0)1222122111(1)(0)1333133111(1)(0)1444144111YIIIIIYYIIIIIYYIIIIIYn這就是（238a）式的右端列向量中各元素,第一步電流得證。電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n第二步 由圖(a)套用節點導納移置公式，消去節點1后，節點2與3、4、0之間導納變化量分別為：2113232310121314211424241012131421102010121314y yyyyyyyy yyyyyyyy yyyyyyn從而節點2的自導納及互導納分別為：（對應（

35、238a）中第二行）(1)(0)(0)222020232420202324(0)2110211321142010121314(0)(0)211220211012131421 122211Yyyyyyyyyy yy yy yyyyyyy yyyyyyyY YYY(1)(0)21 132323232311()Y YYyyyY (1)(0)21 142424242411()Y YYyyyY n相似地，可以得系數矩陣第三、四行各元素n第二步 導納得證。電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有幾個結論n以高斯消元法逐列消元，對應于以消去節點法逐個消去節點n消元過程中的注入元，在物理意義上對應于由于消去某

36、節點而出現新的互聯支路導納。n就形成因子表而言，三角分解法與高斯消元法完全等效，而以高斯消元法逐列消元又對應于以消去節點法逐個消去節點，因此可通過考察消去節點以考察因子表的形成n基于如上關系，高斯消元后如出現注入元，該注入元也將出現在三角分解后所得的上、下三角矩陣中，并將出現在所形成的因子表中。n因子表中是否會出現注入元因子表中是否會出現注入元等價于等價于網絡消去節點后是否會出現新的網絡消去節點后是否會出現新的互聯支路互聯支路。電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n節點編號改變會影響注入元素數目n例如，對簡單五節點網絡節點編號有三種方案： 方案1 方案2 方案3分析分析:n以高斯消去法建立

37、因子表n以三角分解法建立因子表電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有（1）以高斯消去法建立因子表n消去節點1后n消去節點2后n消去節點3后電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n以高斯消去法建立的因子表中非零因子的分布電力系統穩態分析電力系統穩態分析版權所有n利用下式后，可得因子表中非零因子，與高斯法完全一致（2）以三角分解法建立因子表11111212111313112121222221 12232321 13223131323231 12333331 1332 234141424241 12434341 1342 235151525251 12535351 1352 231414()laralrallalal rral rllalal rlal rl rlalal rlal rl rlalal rlal rl rra11151511242421 1422252521 15113434