1、/. 、 、£1聯系第五節對應標夠石甌積分U5WWWr t曲面分上側和下側觀察以下曲面的側（假設曲面是光滑的）、基本概念曲面分內側和外側上一頁 下一頁 返®曲面的分類：1.雙側曲面；2,單側曲面.典型雙側曲=X1頁 下一頁返凹返凹典型單側曲面：莫比烏斯帶II;刪頁 下一頁1=11:1曲面法向量的指向決定曲面的側. 決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題：在有向曲面W上取一小塊 曲面4 AS在r©面上的投影(AS)弓為"(b)巧 當cos廠 0時(S)巧=- (Ab)巧 當cosy vO 時.0當 cos / = 0 時其中(Ab、表示投影區域的面積.

2、二、概念的引入實例：流向曲面一側的流量(1)流速場為常向野,有向平面區域4求單位 時間流過A的流體的質聲(假定密度為1)'流量=Avcqs0=Av «* = V A(2)設穩定流動的不可壓縮流體(假定密度為1) 的速度場由V(x,j,z) = P(X,y,z)l + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k 給出，£是速度場中的一片有向曲面，函數 P(x,y,z), 0(x,j,z), R(x,y,z) 都在W上連續，求在單位 時間內流向E指定側的流 體的質量.zX上一頁 下頁 返®1 分割把曲面£分成小塊Z同時也代表 第i小塊曲面的面積)，

3、在山，上任取一點則該點流速為”ry法向量為瓦.% =啲邊,4)=P (&九憶沉+Q(徐 + 該點處曲唾的單畔向量-W； = cosa.r + COS0J+ COS 兀左， 通過上匕流向指定側的流量的近似值為 兒-n-AS- (/ =2.求和 通過近流向指定側的流量片fQS,i=l/=1+ 7? (6, TJi, G cos 兀ASf»I«1+ R(訥応ghy3.取極限X T 0取極限得到流量O的精確值.頁頁 返®三、概念及性質1=1定義 設藝為光滑的有向曲面，函數在藝上有 界，把S分成2塊小曲面AS, （AS,同時又表示第 Z塊小曲面的面積）.AS在xoy

4、面上的投影為 （SJ切（的応）是朋'上任意取定的一點，如 果當各小塊曲面的直徑的最大值T 0時，H叫為尺（鼻加G（Ab存在，Z z=i則稱此極限為函數R（x,y,z）在有向曲面£上對 坐標兀*的曲面積分（也稱第二類曲面積分）記作jj/?(*,乙心心.即E«1=1 被積函數lfR(x,y,z)dxdy =烈三 R(&，久，z)(AS,b,V f = 1積分曲面V類似可定義口卩（尤憶）勿血=密 丫卩（釦久，G（ASi兒£f=ljjQgjSzMzdr = 恕jSQe%G（AS 人2/=!存在條件：當 P(x,在有向光滑曲HI1=1Z上連續時，對坐標的曲面

5、積分存在.組合形式；JJ P(X,y,z)dydz + Q(xy,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy£物理意義：O = JJP(xyz)dydz+Q(xyz)dzdx 十 R(xyz)dxdyz頁 下一頁 返®性質：1. JJ Pdydz + Qdzdx + RdxdyEi+Ei=JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy2i21-2 £Qx,y,z)dzdx = -Qx,y,z)dzdx-I£-E£頁 下一頁 返®四、計算法丁 *盤乙一丫戶席L ； ： 士6設積分曲

6、面是由 方程Z =Z(K)所給 出的曲面上側,2在 兀©面上的投影區域 為2”函數 z=z(x,y)在D斗上具 有一階連續偏導數， 被積函數R(x,y,z)在 Z上連續.頁 返®£ /=!£取上側 cos/>0,(ASJx, =(Ab)切又© =z($m»呱工RSiSg人A 1 = 1zr、心憶(&,7Ji)(hbJxyA U / = 1即 JJ R(x,y,z)dxdy = JJ Rx,y,z(x,y)dxdy£5若S取下側cos X < 0,(Ah =-(2)切 JJ Rxy,z)dxdy = -JJ

7、 /fx, j,z(x, j)JxJy 如果Z由x = x(yz)給出，則有JJ P (x,y,z)dydz = ±JJ Plx(y,z),y,zlflydz£Dy,如果Z由j = j(z,x)給出，則有 Qx,y,zdzdx = ±Qx,yz,xzizdxES注意:對坐標的曲面積分，必須注意曲面所取的側.例 1 計算 JJ xyzdxdy£其中W是球面 外側 在工>0,y >0的部分.頁 下一頁兀/據r把S分成和紜兩部分2, : Z =-71二 為乙 1= J1 兀2 ,頁 下一頁返ISJJ xyzdxdy = JJ xyzdxdy + J

8、J xyzdxdy2£2£|=JJxyl-x -ydxdy - JJxy-l- ydxdyJ=iJJ xy y/l x ydxdyiJJ r 2 sin 0 cos 0 1 rrdrd 0 = 2. 如15頁 下一頁 返®五、兩類曲面積分之間的聯系設有向曲面近是由方程z =z(x, j)給出，Z在 xoy面上的投影區域為。小 函數在 上具有一階連續偏導數，R(x,y,z)在上連續 對坐標的曲面積分為 jjR(x,y,z)dxdyZ= ±JJ/?x,j,z(x,j)drJy 丿 知/曲面E的法向量的方向余弦為+ Gssa= /22,Jl + z；+z；CO

9、S0= j 訂 2,± 1SS"J1 + Z；+疔對面積的曲面積分為J,z)cos jdS =±JJ/?x,j,z(x,所以 JJ R(x,y,z)dxdy = JJ R(x,yz)cosdS £ £(注意取曲面的兩側均成立)兩類曲面積分之間的聯系JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdyz=JJ(P cos a + Q cos p + R cos y)dSz頁頁 返凹向量形式iidS 或 ds =EE22其中 A =PQyRn = cosa,cosyffeos/為 有向曲面上點(x,j,z)處的單位法向量， dS =ndS = dydzdzdxdxdy稱為有向曲面 元A”為向量A桶上的投影.上一頁 下例 2 計算JJ (/ + x)dydz -zdxdy,其中Z 是 £旋轉拋物面z =；(兀2 +b)介于平面z =0及 z = 2之間的部分的下側.1:11=1i . r- - ?/ /解 JJ(z -x)dydz在曲面E上，有=JJ(Z +x) cos 60/5Ycos y上一頁 下X1cosa = 一=