1、32.2函數模型的應用實例函數模型的應用實例1幾種常見的函數模型(1)一次函數模型(2)二次函數模型(3)指數函數模型(4)對數函數模型(5)冪函數模型1函數模型應用的兩個方面(1)利用已知函數模型解決問題；(2)建立恰當的函數模型，并利用所得函數模型解釋有關現象，對某些發展趨勢進行預測2應用函數模型解決問題的基本過程數據擬合時，得到的函數為什么需要檢驗？數據擬合時，得到的函數為什么需要檢驗？【提示】因為根據已給的數據，作出散點圖，根據散點圖，一般是從我們比較熟悉的、最簡單的函數作模擬，但所估計的函數有時可能誤差較大或不切合客觀實際，此時就要再改選其他函數模型某公司生產一種電子儀器的固定成本為

2、20 000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：(1)將利潤表示為月產量的函數f(x)；(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)【思路點撥思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：總成本固定成本100 x；收益函數為一分段函數解答本題可由已知總收益總成本利潤，知利潤總收益總成本由于R(x)為分段函數，所以f(x)也要分段求出，將問題轉化為分段函數求最值問題【解析】(1)設每月產量為x臺，則總成本為20 000100 x，從而f(x) 在函數應用題中，正確理解題意，養成良好的閱讀習慣是成功的一半而二次函數模型常涉及頂點坐標、函數的單調性、區

3、間最值等問題，二次函數的配方是比較有效的解題手段1.在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生產100件產品，生產x(xN)件產品的收入函數為R(x)3 000 x20 x2(單位：元)，其成本函數C(x)500 x4 000(單位：元)，利潤為收入與成本之差(1)求利潤函數P(x)及其邊際利潤函數MP(x)；(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由題意知，x1,100，且xN.(1)P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，x1,1

4、00，xN，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x4 000)2 48040 x，x1,100，xN.某林區1999年木材蓄積量200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均遞增率能達到5%.(1)若經過x年后，該林區的木材蓄積量為y萬立方米，求yf(x)的表達式，并求此函數的定義域；(2)作出函數yf(x)的圖象，并應用圖象求經過多少年后，林區的木材蓄積量能達到300萬立方米？【解析】(1)現有木材蓄積量200萬立方米，經過1年后木材蓄積量為2002005%200(15%)；經過2年后木材蓄積量為200(15

5、%)200(15%)5%200(15%)2.經過x年后木材蓄積量為200(15%)x.yf(x)200(15%)x.x雖以年為單位，但木材每時每刻均在生長，x0，且xR.函數的定義域為0，)x0123y200210220.5 231.5(2)作函數作函數yf(x)200(15%)x(x0)圖象，如圖所示圖象，如圖所示.年份0為1999年(附圖)作直線y=300，與函數y=200(1+5%)x的圖象交于A點，設A(x0,300)，則A點的橫坐標x0的值就是函數值y=300時(木材蓄積量為300萬立方米時)所經過的時間x的值8x09，則取x=9.經過9年后林區的木材蓄積量能達到300萬立方米由于“

6、遞增率”問題多抽象為指數函數形式，而由指數函數形式來確定相關的量的值多需要使用計算器計算，如果問題要求不嚴格，就可以通過圖象近似求解用函數的圖象求解未知量的值或確定變量的取值范圍，是數學常用的方法之一這種將“數”與“形”結合解決問題的思想方法即“數形結合方法”，能使抽象的問題直觀化，對人的數學思維發展有深刻的影響2.某商店如果將進貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現在采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，問應該將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出最大利潤【解析】設每件售價提高x元，則每件得利潤(108x)元，即(2x

7、)元每天銷售量變為(200 x/0.510)件，即(20020 x)件，所獲利潤y(2x)(20020 x)20(x4)2720(0 x10)故當x4，即售價定為14元時，每天可獲得最大利潤720元某工廠今年1月、2月、3月生產某產品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件為了估測以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y與月份數x的關系模擬函數可以選用二次函數或函數yabxc(其中a，b，c為常數)，已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數作為模擬函數較好？并說明理由【思路點撥思路點撥】由題目可獲取以下主要信息：此工廠前三個月的產量已知；題中給出

8、了兩個函數模型，選擇其中一個解答本題先由條件確定函數解析式中的待定系數的值，再研究x4時，哪個函數值更接近1.37.(1)問題中給出函數解析式，且解析式中帶有需要確定的參數，這些參數需要根據問題的內容或性質來確定，然后再通過運用函數使問題本身獲解；(2)在建立函數模型時，對同一實際問題可選取不同的模型，通過比較，選出比較接近實際的模型時間時間/t50110250種植成種植成本本/Q150 1081503.某地西紅柿從2月1日起開始上市通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位為：元/102 kg)與上市時間t(單位：天)的數據如下表：(1)根據上表中數據，從下列函數中選取一個函數描述西紅柿種植成

9、本Q與上市時間t的變化關系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你選取的函數，求西紅柿種植成本最低時的上市天數及最低種植成本1解決應用問題的基本步驟(1)閱讀理解，認真審題：就是要讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握新信息在此基礎上，分析出已知是什么、求什么、涉及哪些知識、確定自變量與函數值的意義，嘗試將問題函數化審題時要抓住題中關鍵的量，要勇于嘗試、探索，敏于發現、歸納，善于聯想、化歸，實現應用問題向數學問題的轉化(2)引進數學符號，建立數學模型：一般設自變量為x，函數為y，并用x表

10、示各種相關量，然后根據問題的已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式，將實際問題轉化為一個數學問題，實現問題的數學化，即建立數學模型(3)利用數學的方法對得到的數學模型予以解答，求出結果(4)將數學問題的解代入實際問題進行核查，舍去不合題意的解，并作答這些步驟用框圖表示如下：2數據擬合過程中的假設數據擬合過程中的假設就一般的數學建模來說，是離不開假設的，如果在問題的原始狀態下不作任何假設，將所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復雜一點的問題就無法下手了，假設的作用主要表現在以下幾個方面：(1)進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用，通常，初步接觸一個問題，

11、會覺得圍繞它的因素非常多，經仔細分析篩查，發現有的因素并無實質聯系，有的因素是無關緊要的，排除這些因素，問題則越發清晰明朗，在假設時就可以設這些因素不需考慮(2)降低解題難度，雖然每一個解題者的能力不同，但經過適當的假設就都可以有能力建立數學模型，并且得到相應的解一般情況下，是先在最簡單的情形下組建模型，然后通過不斷地調整假設使模型盡可能地接近實際，從而得到更滿意的解某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2，和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A45.606B45.6C46.8 D46.806

12、【錯因】上面解答中x51/5不為整數，在實際問題中是不可能的，因此x應根據拋物線取與x51/5接近的整數才符合題意【正解】設甲地銷售x輛，則乙地銷售(15x)輛，則總利潤LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)245.606.根據二次函數圖象和xN*，當x10時，獲得最大利潤L0.151023.06103045.6萬元【答案】B整理課件作業：1.將進貨價為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件；若每件的售價漲0.5元，其銷售量減少10件，問將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大？并求出這個最大利潤2.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v5log2Q10，單位是m/s，其