1、排列與排列數公式（第1課時）教學設計重慶育才中學 熊慶林1 教學內容解析本節課是人教版A版數學選修2-3第一章第2節的第一節課，排列是一類特殊而重要的計數問題，教科書從簡化運算的角度提出了排列的學習任務，通過具體實例概括而得出排列的概念，應用分步計數原理得出排列數公式，對于排列，有兩個想法貫穿始終，一是根據一類問題的特點和規律尋找簡便的計數方法，就像乘法作為加法的簡便運算一樣；二是注意應用兩個計數原理思考和解決問題。本節課具有承上啟下的地位，理解排列的概念是應用分步計數原理推導排列數公式的前提，對具體的排列問題的分析又為排列數公式提供了基礎。排列數公式的推導過程是分布計數原理的一個重要應用，同

2、時，排列數公式又是推導組合數公式的主要依據?；趯W生的認知規律，本節課只是對排列和排列數公式的初步認識，在后面知識的學習過程中，逐步加深理解和靈活運用。本節課的教學重點是排列的概念、排列數公式，教學難點是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本節課結合教科書的編排，采取了由特殊到一般的歸納思想來建構概念的理解過程，通過引導學生分析三個典型事例，從中歸納出共同特征，再進一步概括出本質特征，得出排列的定義，再跟進10個具體事例多角度加深對概念的理解，并多次強調一個排列的特點，n個不同的元素，取出m個元素，元素的順序，奠定學生對排列定義的理解基礎，為后面組合概念的提出埋下伏筆。同時通過有規律的展示分

3、步計數原理得到的一長串排列數，為后面水到渠成得到排列數公式作好鋪墊，排列數公式的簡單應用體現了排列簡化步驟的優點，讓學生直觀感受學習排列的必要。二教學目標設置  1.通過幾個具體實例歸納概括出排列的概念，并能運用排列的判斷具體的的計數問題是否為排列問題；能利用分步計數原理推導排列數公式，能簡化分步計數原理解決問題的步驟。在排列數符號及其公式的產生過程中體現簡化的思想。學生學習后能夠對排列或非排列問題作出準確的判斷，能夠分析原因，能夠簡單應用排列數公式。2.在教學過程中，通過排列的概念、排列數公式的得到培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力，以及解決與計數有關的問題時主動聯系排列相關知識

4、的能力，體會排列知識在實際生活中的應用，增強學生學習數學的興趣。3.讓學生學會通過對各種事情現象、本質的分析，得出一般的規律，通過由簡到繁的著色問題、由繁到簡的數學符號的引入過程體會豐富的數學文化.三學生學情分析 學生對兩個計數原理已很好的掌握，但凡計數的問題能夠往分類或分步的方向進行思考，學生的層次決定了學生有較強的理解、分析、解決問題的能力，有著大量的生活中諸如設置密碼、車牌號、排隊、參加活動、接力賽.與計數問題有關的經驗，對數學中歸納化歸、有特殊到一般的思想方法比較敏感，但抽象概括的能力較弱，排列概念的得到，要獨立將顏色、數字、人抽象為元素，對著色的方案抽象出順序有一定的困難，需在獨立思

5、考加協作討論的基礎上再由老師引導突破教學難點。四教學策略分析 在本節課的教學過程中將數學文化和數學知識、實際生活有機的融合，讓抽象的數學概念形成的過程豐富多元，避免單調枯燥。 針對學生的認知水平，為培養學生抽象概括的能力，本節課采取導學案和PPT相結合的方式組織教學，為讓學生充分體驗概念形成的過程，通過三個例子高度抽象概括出排列的定義，刻意在學案上不出現排列的定義，也讓學生避開教材以免學生對概念的認識不夠深刻。 本節課排列定義的得出比較抽象，需要引導學生逐一抽象概括尋找共同點，教學過程采取學生獨立思考、相互討論、老師以問題串引導的方式突破難點，緊接著通過大量例子加深對概念的理解，對于概念理解不

6、夠深刻的同學也通過同學的辨析對概念有了深刻的認識。排列數符號的得出通過引導學生類比小學乘號的得來，自然而然需要引入排列數符號簡化有規律的運算。學生的認知水平決定了排列數公式的推導完全可由學生獨立總結，老師只需適當補充說明，公式的簡單應用讓學生在獨立思考的過程中，體會排列如何簡化分步計數原理繁瑣的步驟，體現其優越性。在教學中，讓學生在問題情境中，經歷知識的形成和發展，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思參與學習，認識和理解數學知識、學會學習，發展能力。5 教學過程 （一）問題引入 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法

7、，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現，字母在前，數字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？開門見山給出學習本節課的目的，對于這個前面已經利用分步計數原理解決的計數問題，解題步驟機械重復，能否改進和簡化？為了解決這一類問題，進入今天研究的課題。（二）鋪墊從生活中三個簡單常見的計數問題出發，激發學生探究的興趣。 問題一：從紅、黃、藍三種顏色中選出兩種給地圖上的重慶市和四川省上色，有多少種不同的著色方案？ 問題二：從1、2、3、4這四個數字中，每次取出3個不同的數字排成一個三位數，一共可以得到多少個不同的三

8、位數？問題三：6名同學站成一排照相，有多少種不同的排法？第一個問題以重慶直轄，地圖上要用不同的顏色將川渝兩地加以區分作為背景，讓學生了解顏色區分地圖的背后，蘊涵了豐富的數學知識和文化，既為抽象概括排列定義，也為最后回到著色問題埋下伏筆。第二個問題排數問題來自教材，既為抽象概括排列定義，也為后面探究二中順利加大排數問題的難度作好的鋪墊。第三個排隊問題，排隊照片為本班六名同學，激發學生對問題本身感興趣的同時，能深入挖掘問題的本質屬性，也為后面全排列概念的順理成章的得出及課后探究中有條件的排隊作好鋪墊！【教師提問1】：你能利用前面所學計數原理的知識解決問題嗎？ 【學生探究1】：鞏固復習分步計數原理（

9、可借助框圖直觀表示），同時會用列舉法或樹形圖把結果一一列出。 （三）特點探尋 歸納提煉【教師提問2】：這三個問題有哪些共同特征？【學生探究2】：引導學生得出都是分步計數問題，運算有規律，都是從若干個不同元素選出元素，選出的對象都要排序，順序不同方案不同。難點突破：引導學生從三個問題的事情本身出發，將顏色、數字、同學抽象為元素，元素順序不同結果就不一樣。 （四）探究歸納，形成概念 排列：從n個不同元素中取出m（mn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列（Arrangement），這樣的所有排列的個數叫排列數?！窘處熖釂?】：這三個問題有無不同點？【學生探究3

10、】：學生探究得出全排列、選排列的定義。 （五）概念辨析，引出排列數符號 引導學生對排列定義的再理解，讓學生歸納出值得注意的關鍵詞：（1）n個不同的元素；（2）取出m（mn）個元素 ；(3)一定的順序。 對排列定義的鞏固，判定下面問題哪些是排列問題，如果是排列數是多少？（1） 從四個男生中，任選兩名同學組成一隊參加年級乒乓球男雙比賽；（2） 從四位男同學中，任選兩位同學分別參加上下午的活動；（3） 從0-9這9個數字中，任選4個不同的數字（可重復）作為手機的密碼；（4） 從8名同學中選4人參加4100米接力賽；（5） 圓上10個不同點，過每2個點，畫一條弦；（6） 圓上10個不同點，以其中每2個

11、點作有向線段；（7） 1、3、5、7、11這5個質數任選兩個相乘；（8） 1、3、5、7、11這5個質數任選兩個相除；（9） 一個學生有20本不同的書，這些書以不同的方式排在一個單層的書架上； (10) 53位同學隨機選8位派往8個不同的地方參加活動，每個地方派一人.學生爭論辨析判定后再追問，其中的排列問題各有多少個不同的排列？類比問題一、二、三用分步計數原理解決問題，分別得到：【教師提問4】：結合前面的三個問題，這些排列數有哪些共同特征？【學生探究4】：學生找出規律的同時，指出書寫繁瑣的共同點，類比小學引入乘號簡化加法運算，自然引入數學符號，對比運算符號更簡潔，從而體現了數學符合的簡潔美，隨

12、之簡單介紹排列數符號的發明者法國數學家范德蒙德，體現數學豐厚的文化背景。（六）揭示規律，導出公式【教師提問5】：，表示什么？等于多少，繼續追問更為一般的表示什么？等于多少？【學生探究5】：學生獨立思考分析解決并展示。且.引導學生對公式的理解：（1）從n開始依次遞減連續m個正整數的積；（2）m、n都是正整數且；（3）符號既表示一個結果，又表示一種運算。這樣，一個問題若是排列問題，就可用上式求出具體的排列個數。（簡化了運算過程）說明特殊情況。簡單記為，讀作n的階乘，強調這個符號更為簡潔的同時，順提階乘符號的發明者法國數學家基斯頓.卡曼。（七）公式應用，突出優越性探究二： 從0-9這10個數字中，可

13、以組成多少個沒有重復數字的三位數？學生結合所學知識多角度對問題進行思考，對比分步計數原理的解題方法，突現排列優化步驟的特點，并進一步跟進對引例步驟的優化： 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現，字母在前，數字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？學生獨立思考并完成優化6個步驟簡化為2個步驟，再次讓學生體會排列的優越性。（八）強化公式，跟進新公式學生計算排列數（1）【教師提問6】：學生給出答案后問，有何數學發現？【學生探究6】：猜測出一般的結論,根據課堂時間讓學生嘗試證明，讓學生展示并點評，否則作為課后作業，順便說明公式中如果時，,故規定.（九）小結1. 本節課我們學到了哪些基本概念和公式？2. 研究過程中體會了哪些數學思想和方法？3. 通過本節課的學習有哪些收