1、概概率率統統計計習習題題解解答答第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布第三章第三章 隨機向量及其分布隨機向量及其分布第四章第四章 隨機變量的函數隨機變量的函數第五章第五章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征第六章第六章 大數定律與中心極限定理大數定律與中心極限定理第七章第七章 樣本與抽樣分布樣本與抽樣分布第八章第八章 參數估計參數估計第九章第九章 假設檢驗假設檢驗第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率1 . 12 . 13 . 14 . 15 . 1返回6 . 17 . 18 . 19 . 110. 111. 121 . 131

2、. 141 . 151 . 161 . 171 . 181 . 191 . 120. 112 . 122. 132 . 142 . 152 . 162 . 172 . 182 . 192 . 130. 113 . 123 . 133. 143 . 1 任意投擲一顆骰子，觀察出現的點任意投擲一顆骰子，觀察出現的點數數, 點數為點數為i的樣本點記作的樣本點記作i . 用用A表示事件表示事件 “出現的點數為偶數出現的點數為偶數”，B表示表示“出現的點出現的點數不能被數不能被3整除整除”，則：，則： (1) 試驗的樣本空間為試驗的樣本空間為 (2) 作為樣本點的集合作為樣本點的集合, (3) 作為樣本

3、點的集合，作為樣本點的集合，; ;A ;B 解答1.1第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率返回 (1) 表示表示 (2) 表示表示 (3) 表示表示 (4) 表示表示; 設設 A, B 為事件，則下列各事件所為事件，則下列各事件所表示的意義為：表示的意義為：AB ABABAA解答1.2返回 設設A, B, C 表示三個事件表示三個事件, 試將下試將下列事件用列事件用A, B, C 表示表示. (1) A, B, C 都發生都發生. . (2) A, B, C 都不發生都不發生. . (3) A, B, C 不都發生不都發生. . (4) A, B, C 中至少有一個發生中至少有一個發

4、生. . (5) A, B, C 中至少有二個發生中至少有二個發生. . (6) A, B, C 中恰好有一個發生中恰好有一個發生. . (7) A, B, C 中最多有一個發生中最多有一個發生. . (8) A 發生而發生而 B, C 都不發生都不發生. . (9) A 不發生但不發生但 B, C 中至少有一個發生中至少有一個發生.解答1.3返回判斷下列命題的正確性：判斷下列命題的正確性：1.4解答返回 (1) . (2) 若若 , 則則 . (3) . (4) 若若 且且 , 則則 . (5) . (6) 若若 , 則則 . (7) . (8) 若若 , 則則 . ABABB AB ABA

5、B AB CA ABCABC BC AAB AB BA ()()ABAB BA AAB ( )( )( )( )( )( )( )( )化簡下列各式：化簡下列各式： (1) (2) (3) (4)ABA ()()ABAB()()ABBC()()()ABABAB1.5解答返回 某工廠生產流水線的設置如圖某工廠生產流水線的設置如圖1.1所所示示, 設事件設事件A, B, C 分別表示設備分別表示設備 a, b, c 正常正常工作工作, 事件事件D表示整個流水線正常工作表示整個流水線正常工作 , 則則隨機事件隨機事件D的關系為的關系為D 1.6解答返回acb圖圖 1.1( ),(),(),( )(

6、)P AP ABP ABP AP B 設設 , , 將下列四個數將下列四個數()0P A ()0P B 1.7按由小到大的順序排列（用按由小到大的順序排列（用“”聯系它們）聯系它們）.1.8 設設 A, B 是兩個隨機事件是兩個隨機事件, 已知已知 AB 且且( )0.3,P A ( )0.5,P B ()P AB求求及及 ()P AB 解答返回解答設設 A, B 是兩個隨機事件是兩個隨機事件, 已知已知( )0.3,( )0.4,()0.5P AP BP AB (),(),().P ABP ABP AB 求求及及1.91.10 設設 A, B, C 是三個隨機事件是三個隨機事件, 已知已知(

7、)0.25,()0.25,()0.25()0,()0,()0.125P AP BP CP ABP BCP AC 求隨機事件求隨機事件 A, B, C 中至少有一個發生的概率中至少有一個發生的概率 .解答返回解答設設 A, B ,C是三個隨機事件是三個隨機事件, 已知已知()()()0.5,()0.2P AP BP CP ABC ()()()0.3P ABP ACP BC1.111.12 解答返回解答求事件求事件A, B ,C全不發生的概率全不發生的概率 .( )0.6,( )0.4,P AP BAC 已已知知，( )().BCP CP CA ， 求求及及( )0.7,P B 問問: : 設設

8、A, B 是兩個隨機事件是兩個隨機事件.已知已知()0.6,P A 1.13 (1) 在什么情況下在什么情況下P(AB) 取得其最大值，最大取得其最大值，最大值是多少？值是多少？ (2) 在什么情況下在什么情況下P(AB) 取得其最小值，最小取得其最小值，最小值是多少？值是多少？解答返回 在一批在一批 N 件產品中有件產品中有 M 件次品件次品, 從中從中任取任取 n 件件, 求取出的求取出的 n 件產品中件產品中: (1) 恰有恰有 m 件次品的概率件次品的概率; (2) 有次品的概率有次品的概率.1.14解答返回 在橋牌比賽中在橋牌比賽中, 把把 52 張牌隨機地分給張牌隨機地分給東、西、

9、南東、西、南、北四家（每家北四家（每家13張）張）, 求北家的求北家的13張牌中恰有張牌中恰有5張黑桃、張黑桃、4張紅心、張紅心、3張方塊和張方塊和1張草張草花的概率花的概率.1.15 1.16 從從0, 1, 2, , 9等等10個數字中任取一個個數字中任取一個,求取得奇數的概率求取得奇數的概率.解答返回解答1.17 設電話號碼由八位數組成設電話號碼由八位數組成, 每位數字可每位數字可以是以是 0, 1, 2, , 9 中的任意一個中的任意一個, 但第一位數字不但第一位數字不能為能為 0. 現隨機地抽取一個電話號碼現隨機地抽取一個電話號碼, 求該電話號求該電話號碼由全不相同的數字組成的概率碼

10、由全不相同的數字組成的概率.解答返回解答 1.18 為了減少比賽場次為了減少比賽場次, 把把 20 個球隊分成個球隊分成兩組兩組, 每組每組 10 個隊個隊, 求最強的兩個隊被分在不同求最強的兩個隊被分在不同組的概率組的概率.1.19 某工廠生產的一批產品共某工廠生產的一批產品共 100 個個, 其中其中有有 5 個次品個次品. 現從中抽取一半來檢查現從中抽取一半來檢查, 求查出的次品求查出的次品不多于不多于 1 個的概率個的概率.解答返回解答 1.20 把把 10 本書隨機地放在書架上本書隨機地放在書架上, 求其中指求其中指定的定的 3 本書放在一起的概率本書放在一起的概率.1.21將將 3

11、 個球隨機地投入個球隨機地投入 4 個盒子中個盒子中, 求求 (1) 3 個球位于個球位于 3 個不同盒子中的概率個不同盒子中的概率; (2) 3 個球位于同一個盒子中的概率個球位于同一個盒子中的概率; (3) 恰有恰有 2 個球位于同一個盒子中的概率個球位于同一個盒子中的概率. 1.22解答返回 在在 1100 共共 100 個數中任取個數中任取 1 個個, 求求它能被它能被 2 或或 3 或或 5 整除的概率整除的概率.解答 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊兩艘輪船的碼頭停泊, 它們都在某一晝夜內到達它們都在某一晝夜內到達,并且在該晝夜內任

12、何時刻到達都是等可能的并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的. 如如果甲船的停泊時間是果甲船的停泊時間是 1 小時小時, 乙船的停泊時間是乙船的停泊時間是2 小時小時, 求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來的概率來的概率.解答返回1.23解答 把長度為把長度為 a 的線段按任意方式折成三段的線段按任意方式折成三段, 求它們能構成三角形的概率求它們能構成三角形的概率. 1.25 設一口袋中有設一口袋中有 4 個紅球和個紅球和 3 個白球個白球, 從中從中任取一個球后不放回任取一個球后不放回, 再從這口袋中任取一球再從這口袋中任取一球.求第求第一次取得白球而第二次

13、取得紅球的概率一次取得白球而第二次取得紅球的概率.解答返回1.24 1.27 有有10個袋子個袋子, 各袋中裝球情況分為下列各袋中裝球情況分為下列3種種: (1) 共有共有2袋袋, 各裝有各裝有2個白球和個白球和4個黑球個黑球; (2) 共有共有3袋袋, 各裝有各裝有3個白球和個白球和3個黑球個黑球; (3) 共有共有5袋袋, 各裝有各裝有4個白球和個白球和2個黑球個黑球. 現從現從10個袋子中任取個袋子中任取1個個, 從中任取從中任取2個球個球, 求取求取出的都是白球的概率出的都是白球的概率.1.26解答返回設事件設事件 A, B 和和 AB 的概率依次為的概率依次為0.5,0.7 和和0.

14、9, 求條件概率求條件概率 .解答()P B A 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊兩艘輪船的碼頭停泊, 它們都在某一晝夜內到達它們都在某一晝夜內到達,并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的. 如果如果甲船的停泊時間是甲船的停泊時間是 1 小時小時, 乙船的停泊時間是乙船的停泊時間是 2 小小時時, 求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來的概求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來的概率率.解答返回1.28解答 1.29 在習題在習題 1.28 中中, 如果取出的零件是廢品如果取出的零件是廢品,求它是第二臺車床加工

15、的概率求它是第二臺車床加工的概率. 發報臺分別以概率發報臺分別以概率 0.6 與與 0.4 發出信發出信 號號“ ” 與與“ ” . 由于通信系統受到干擾由于通信系統受到干擾 , 當發當發出信號出信號 “ ” 時時 , 收報臺分別以概率收報臺分別以概率 0.8 和和 0.2 收收到信號到信號“ ” 和和“ ” ; 又當發出信號又當發出信號“ ” 時時, 收報臺分別以概率收報臺分別以概率 0.9 和和 0.1 收到信號收到信號“ ” 和和“ ” . 求求:1.30解答返回 (1) 當收報臺收到信號當收報臺收到信號“ ”時時, 發報臺確系發報臺確系發出發出“ ”的概率的概率; (2) 當收報臺收到

16、信號當收報臺收到信號“ ”時時, 發報臺確系發報臺確系發出發出“ ”的概率的概率. 獵人在距離獵人在距離 100 米處射擊一動物米處射擊一動物, 擊中擊中 概率為概率為 0.6 ; 若第一次未擊中若第一次未擊中, 則進行第二次射擊則進行第二次射擊,但因動物逃跑使距離變為但因動物逃跑使距離變為 150 米米; 若第二次又未擊若第二次又未擊中中, 則進行第三次射擊則進行第三次射擊, 這時距離變為這時距離變為 200 米米. 假定假定擊中的概率與距離成擊中的概率與距離成 反比反比, 求獵人擊中動物的概率求獵人擊中動物的概率.解答返回1.31 如圖如圖1.2所示二系統所示二系統, 設構成二系統設構成二

17、系統的每個元件的可靠性都是的每個元件的可靠性都是 p ( 0 p 1 ) , 并且并且各個元件能否正常工作是相互獨立的各個元件能否正常工作是相互獨立的, 求系求系統統(1) , (2) 的可靠性的可靠性, 并比較它們的大小并比較它們的大小.1.32解答返回系統（系統（1 1）6L5L4L3L1L2L系統（系統（2 2）6L3L4L1L5L2L圖圖 1.21.33 一個工人照管三臺車床一個工人照管三臺車床, 設在一個設在一個小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依次為次為0.9, 0.8和和0.7, 求在一小時內三臺車床中求在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工

18、人照管的概率最多有一臺需要工人照管的概率.解答返回 一個工人照管三臺車床一個工人照管三臺車床, 設在一個設在一個小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依次為次為0.9, 0.8和和0.7, 求在一小時內三臺車床中求在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率最多有一臺需要工人照管的概率. 一個工人照管三臺車床一個工人照管三臺車床, 設在一個設在一個小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依小時內這三臺車床不需要工人照管的概率依次為次為0.9, 0.8和和0.7, 求在一小時內三臺車床中求在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率最多有一臺需要工人照管的

19、概率.1.34 甲、乙、丙三人向同一飛機射擊甲、乙、丙三人向同一飛機射擊, 設他們能擊中的概率分別是設他們能擊中的概率分別是0.4, 0.5, 0.7. 如果如果只有一人擊中只有一人擊中, 則飛機被擊落的概率是則飛機被擊落的概率是0.2; 如如果有二人擊中果有二人擊中, 則飛機被擊落的概率是則飛機被擊落的概率是0.6; 如如果三人擊中果三人擊中, 則飛機一定被擊落則飛機一定被擊落. 求飛機被擊求飛機被擊落的概率落的概率.解答返回 (1) 試驗的樣本空間為試驗的樣本空間為 (2) 作為樣本點的集合作為樣本點的集合, (3) 作為樣本點的集合，作為樣本點的集合，; ;A ;B 任意投擲一顆骰子，觀

20、察出現的點任意投擲一顆骰子，觀察出現的點數數, 點數為點數為i的樣本點記作的樣本點記作i . 用用A表示事件表示事件 “出現的點數為偶數出現的點數為偶數”，B表示表示“出現的點出現的點數不能被數不能被3整除整除”，則：，則：123456, 246, 1245, 1.1 (1) 表示表示 (2) 表示表示 (3) 表示表示 (4) 表示表示; 設設 A, B 為事件，則下列各事件所為事件，則下列各事件所表示的意義為：表示的意義為：A、B都不發生都不發生B 發生而發生而A不發生不發生A、B不都發生不都發生不可能事件不可能事件1.2AB ABABAA 設設A, B, C 表示三個事件表示三個事件,

21、試將下試將下列事件用列事件用A, B, C 表示表示. (1) A, B, C 都發生都發生. . ( ) (2) A, B, C 都不發生都不發生. . ( ) (3) A, B, C 不都發生不都發生. . ( ) (4) A, B, C 中至少有一個發生中至少有一個發生. . ( )1.3ABCABCABCCBA A, B, C 中至少有二個發生中至少有二個發生. . ( ) (6) A, B, C 中恰好有一個發生中恰好有一個發生. . ( ) (7) A, B, C 中最多有一個發生中最多有一個發生. . ( ) (8) A 發生而發生而 B, C 都不發生都不發生. . ( ) (

22、9) A 不發生但不發生但 B, C 中至少有一個發生中至少有一個發生. ( )ABCABCBAACCBCBACBACBACBA)(CBA(5)判斷下列命題的正確性：判斷下列命題的正確性：1.4 (1) . (2) 若若 , 則則 . (3) . (4) 若若 且且 , 則則 . (5) . (6) 若若 , 則則 . (7) . (8) 若若 , 則則 . ABABB AB ABAB AB CA ABCABC BC AAB AB BA ()()ABAB BA AAB ( )( )( )( )( )( )( )( )化簡下列各式：化簡下列各式：(1)(2) ()()(3) ()()(4) ()

23、()()A B AA B A BA B B CA B A B A B 1.5()A ABAB ()ABACBBBCABBBBCACBAC AAABBABBAA ()AB AAABABABA利用利用(2) 某工廠生產流水線的設置如圖某工廠生產流水線的設置如圖1.1所所示示, 設事件設事件A, B, C 分別表示設備分別表示設備 a, b, c 正常正常工作工作, 事件事件D表示整個流水線正常工作表示整個流水線正常工作 , 則則隨機事件隨機事件D的關系為的關系為D 1.6acb圖圖 1.1()A BC 解解 利用事件間的關系利用事件間的關系: 及及加法公式得加法公式得:( ),(),(),( )(

24、 )P AP ABP ABP AP B 設設 , , 將下列四個數將下列四個數()0P A ()0P B 1.7按由小到大的順序排列（用按由小到大的順序排列（用“”聯系它們）聯系它們）.()ABAAB ()( )()( )( )P ABP AP ABP AP B 1.8( )0.3,( )0.5,().)P AP BP AP ABB 求及求及,ABABA解解由由知知所所以以設設 A, B 是兩個隨機事件是兩個隨機事件, 已知已知 AB 且且()( )()( )( )0.5 0.30.2P ABP BP ABP BP A ,()( )0ABA BP A BP 由由知知所所以以設設 A, B 是兩

25、個隨機事件是兩個隨機事件, 已知已知( )0.3,( )0.4,()0.5P AP BP AB (),(),().P ABP ABP AB 求求及及1.9()( )( )()0.30.40.50.2P ABP AP BP AB 解解 由加法公式得由加法公式得于是于是()( )()0.40.20.2()( )()0.30.20.1P ABP BP ABP ABP AP AB1.10設設 A, B, C 是三個隨機事件是三個隨機事件, 已知已知()0.25,()0.25,()0.25()0,()0,()0.125P AP BP CP ABP BCP AC 求隨機事件求隨機事件 A, B, C 中至

26、少有一個發生的概率中至少有一個發生的概率 .解解由由 P(AB)= 0 知知P(ABC)= 0 , 故所求概率為故所求概率為()( )( )( )()()()()0.250.250.250.125000.625P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC設設 A, B ,C是三個隨機事件是三個隨機事件, 已知已知()()()0.5,()0.2P AP BP CP ABC ()()()0.3P ABP ACP BC 1.11()()1()P ABCP ABCP ABC 1 ( )( )( )()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC求事件求事件A, B

27、 ,C全不發生的概率全不發生的概率 .解解1 0.5 30.3 30.20.2 1.12,( )( )()1ACP AP CP AC 因因所所以以()1()10.60.4P CP A 從從而而,( )( )0.4,BCP CP B又因所以又因所以( )0.6,( )0.4,P AP BAC 已已知知，( )().BCP CP CA ， 求求及及解解( )0.4P C 于于是是,AC 另外, 因所以另外, 因所以()( )()0.400.4P CAP CP AC( )0.7,P B 問問: : 設設A, B是兩個隨機事件是兩個隨機事件. 已知已知( )0.6,P A 1.13 (1) 在什么情況

28、下在什么情況下P(AB)取得其最大值取得其最大值, 最大值最大值是多少？是多少？ (2) 在什么情況下在什么情況下P(AB)取得其最小值取得其最小值, 最小值最小值是多少？是多少？解解 (1) 當當A B時時, P(AB)取得其最大值取得其最大值, 最大最大 值是值是(2) 當當AB=U時時, P(AB)取得其最小值取得其最小值, 最最小值是小值是P(AB)=P(A)=0.6P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.7-1=0.3 在一批在一批 N 件產品中有件產品中有 M 件次品件次品, 從中從中任取任取 n 件件, 求取出的求取出的 n 件產品中件產品中: (1) 恰有恰有

29、m 件次品的概率件次品的概率; (2) 有次品的概率有次品的概率. 在在 N 件產品中取件產品中取 n 件產品的每一種取件產品的每一種取1.14解解CnN法構成一基本事件法構成一基本事件, 基本事件總數為基本事件總數為 因事件因事件 “取出的取出的 n 件產品中恰有件產品中恰有 m 件次件次品品” 包含了包含了 個樣本點個樣本點, 故所求概率為故所求概率為: (2) 因事件因事件 “取出的取出的 n 件產品中有次品件產品中有次品” ( 記記作作A) 的逆事件為的逆事件為 “取出的全是合格品取出的全是合格品”, 故所求故所求概率為概率為:C Cmn mMNM C CCmn mMNMnN ( )

30、1( ) 1CCmMnNMP AP A (1) 由于不關心東、南、西三家之間的分配情由于不關心東、南、西三家之間的分配情況況, 故問題相當于從故問題相當于從52張牌中隨機地抽取張牌中隨機地抽取13張給張給北家北家, 欲求北家分到的牌中恰有欲求北家分到的牌中恰有5張黑桃、張黑桃、4張紅張紅心、心、3張方塊和張方塊和1張草花的概率張草花的概率. 在橋牌比賽中在橋牌比賽中, 把把 52 張牌隨機地分給張牌隨機地分給東、西、南東、西、南、北四家北四家(每家每家13張張), 求北家的求北家的13張張牌中恰有牌中恰有5張黑桃、張黑桃、4張紅心、張紅心、3張方塊和張方塊和1張草花張草花的概率的概率.1.15

31、分析分析 本問題為一抽球問題本問題為一抽球問題, 從從52張牌中抽取張牌中抽取13張張牌給北家的每一種牌給北家的每一種 抽取方法構成一基本事件抽取方法構成一基本事件, 總總數為數為 , 而北家分到而北家分到 5張黑桃、張黑桃、4張紅心、張紅心、3張方張方塊和塊和1張草花的方式有張草花的方式有 種種, 故所求概故所求概1352C543113131313C C C C5431131313131352C C C C:(0.0054)C 率為率為解解 從從0, 1, 2, , 9等等10個數字中任取一個個數字中任取一個,求取得奇數的概率求取得奇數的概率. 從從10個數字中取個數字中取1個的每一種取法構

32、成一個的每一種取法構成一基本事件基本事件, 其總數為其總數為10, 而取得奇數的有而取得奇數的有5種種, 故故所求概率為所求概率為5/10, 即即0.51.16解解 設電話號碼由八位數組成設電話號碼由八位數組成, 每位數字每位數字可以是可以是0, 1, 2, , 9中的任意一個中的任意一個, 但第一位數字但第一位數字不能為不能為0. 現隨機地抽取一個電話號碼現隨機地抽取一個電話號碼, 求該電話求該電話號碼由全不相同的數字組成的概率號碼由全不相同的數字組成的概率.1.17解解79 10, 碼碼共共有有種種 而而全全由由不不同同的的數數字字組組成成的的共共有有797979P9P,(0.0181)9

33、 10 種種 故故所所求求概概率率為為(0)由由八八位位數數 第第一一位位數數不不是是組組成成的的電電話話號號 從從20個球隊中抽個球隊中抽10個球隊作為甲組的方法個球隊作為甲組的方法有有 種種, 而最強的兩個隊中只有一個在甲組的方而最強的兩個隊中只有一個在甲組的方 為了減少比賽場次為了減少比賽場次, 把把20個球隊分成兩個球隊分成兩組組, 每組每組10個隊個隊, 求最強的兩個隊被分在不同組的求最強的兩個隊被分在不同組的概率概率.1.18解解1020C918C種種, 故所求概率為故所求概率為 91810202C100.5263C19法有兩種法有兩種, 其余其余18個隊中有個隊中有9個分在甲組的

34、方法有個分在甲組的方法有. 某工廠生產的一批產品共某工廠生產的一批產品共100個個, 其中其中有有5個次品個次品. 現從中抽取一半來檢查現從中抽取一半來檢查, 求查出的次求查出的次品不多于品不多于1個的概率個的概率.1.19解解 從從100個產品中取其一半的取法共有個產品中取其一半的取法共有 種種,50100C其中次品數為其中次品數為0的有的有 種種, 為為1的有的有 種種, 故故次品不多于次品不多于1個的概率為個的概率為 5095C149595C C501499559550100CC C(0.1811)C 把把10本書隨機地放在書架上本書隨機地放在書架上, 求其中求其中指定的指定的3本書放在

35、一起的概率本書放在一起的概率.1.20解解38!,而而其其中中指指定定的的 本本書書要要放放在在一一起起的的方方法法有有種種831(0.0667)1015 ！ ！故故所所求求概概率率為為！1010!,把把本本書書放放在在書書架架上上的的方方法法共共有有種種,33!,此此外外這這本本書書又又有有種種不不同同的的排排列列方方列列方方式式 在在1100共共100個數中任取個數中任取1個個, 求它能求它能被被2或或3或或5整除的概率整除的概率.1.21解解235,ABCAB 則則表表示示取取出出的的數數能能被被 或或 或或 整整除除 而而,2A B C用用分分別別表表示示事事件件“取取出出的的數數能能

36、被被 整整,6,10,15, 30AC BC ABC則則分分別別表表示示取取出出的的數數能能被被35,除除”、 “取取出出的的數數能能被被 整整除除”、 “取取出出的的數數能能被被 整整除除”整除整除, 即被即被整除整除236, 2510, 3515, 23530 2,3,5,6,10,15,30由由于于題題目目中中的的一一百百個個數數中中能能被被50,33,20,16,10,6,3,整整除除的的分分別別有有個個 故故由由加加法法公公式式得得()()()P ACP BCP ABC 0.74 ()()()()()P ABCP AP BP CP AB 0.50.330.20.160.10.060.

37、03 1.22將將3個球隨機地投入個球隨機地投入4個盒子中個盒子中, 求求(1) 3個球位于個球位于3個不同盒子中的概率個不同盒子中的概率; (2) 3個球位于同一個盒子中的概率個球位于同一個盒子中的概率; (3) 恰有恰有2個球位于同一個盒子中的概率個球位于同一個盒子中的概率. 解解3344.將將 個個球球投投入入 個個盒盒子子的的方方法法共共有有種種34(1)43(1),C4 個個盒盒子子中中任任取取 個個 各各放放置置 個個球球共共有有,33!,種種取取法法 而而 個個球球的的不不同同排排列列方方式式又又有有種種 故故所所求求34 3!(0.375)4 概概率率為為41(3),4個個盒盒

38、子子中中任任取取 個個 放放置置 個個球球共共有有種種(2)(3)32(1),個個球球中中任任取取 個個 放放置置在在同同 個個盒盒子子中中共共有有23C3,24 種種取取法法 而而放放置置這這 個個球球的的盒盒子子可可以以是是 個個盒盒1,4,1子子中中的的任任意意 個個 共共有有 種種取取法法 余余下下的的 個個球球可可以以放放31,3.置置在在余余下下的的 個個盒盒子子中中任任意意 個個里里 共共有有 種種方方法法2334 3 C(0.5625)4 故故所所求求概概率率為為34,( 0.0625)4 取取法法 故故所所求求概概率率為為 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊甲乙兩艘輪船駛向一個

39、不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊兩艘輪船的碼頭停泊, 它們都在某一晝夜內到達它們都在某一晝夜內到達,并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的. 如如果甲船的停泊時間是果甲船的停泊時間是1小時小時, 乙船的停泊時間是乙船的停泊時間是2 小時小時, 求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來的概率的概率.1.23解解,x y分分別別以以表表示示甲甲乙乙兩兩艘艘輪輪船船到到達達的的時時,024,024,xy 刻刻 則則,x y以以為為坐坐標標建建立立平平面面直直角角坐坐標標系系 則則試試驗驗( , )024,024x yxy 的的樣樣本

40、本空空間間可可以以用用正正方方形形(),內內的的點點來來表表示示 如如圖圖所所示示而而兩兩1yx2xy122424Oxy輪輪船船在在碼碼頭頭不不相相遇遇的的充充要要條條件件( , )x y是是點點位位于于正正方方形形內內且且滿滿足足21xyyx 或或( , ),x y即即點點位位于于圖圖中中陰陰影影部部分分. .這這是是一一幾幾何何概概型型 所所求求概概率率為為圖圖中中陰陰影影部部分分的的面面積積與與正正方方形形的的面面積積之之比比， 即即222232210.87932224 如果如果 把長度為把長度為a的線段按任意方式折成三的線段按任意方式折成三段段, 求它們能構成三角形的概率求它們能構成三

41、角形的概率.1.24解解,這這是是一一幾幾何何概概型型 取取該該線線段段為為數數軸軸 左左端端點點.,xy為為原原點點 設設兩兩折折斷斷點點的的坐坐標標分分別別為為 和和則則( , )x ya即即點點位位于于邊邊長長為為 的的正正方方形形0,0 xaya aaOxy(),內內 如如圖圖所所示示而而折折斷斷后后三三條條新新線線段段能能構構成成三三角角形形的的條條件件是是,()xyxayxy 當當,()yxyaxxy 或或當當即即( , )x y亦亦即即當當且且僅僅當當落落入入圖圖中中aaOxy2a2a0()22aaxyxxy 當當0()22aayxyxy 或或當當三數中任意兩數之和大于第三數三數

42、中任意兩數之和大于第三數,陰陰影影部部分分22(2)0.25aa 故故所所求求概概率率為為 設一口袋中有設一口袋中有4個紅球和個紅球和3個白球個白球, 從從中任取一個球后不放回中任取一個球后不放回, 再從這口袋中任取一球再從這口袋中任取一球.求第一次取得白球而第二次取得紅球的概率求第一次取得白球而第二次取得紅球的概率.1.25解解,AB設設為為事事件件“第第一一次次取取得得白白球球”為為事事件件,“第第二二次次取取得得紅紅球球”則則3342( )()437423P AP B A ,于于是是 由由乘乘法法公公式式得得32()( ) ()0.285773P ABP A P B A 1.26設事件設

43、事件 A, B 和和 AB 的概率依次為的概率依次為0.5,0.7 和和0.9, 求條件概率求條件概率 .()P B A解解( )( )()( )P AP BP ABP A ()()( )P ABP B AP A 0.5 0.7 0.90.60.5 設設A表示事件表示事件 “取出的取出的2個球都是白球個球都是白球” , Bi 表示事件表示事件 “所取袋子的裝球情況屬于第所取袋子的裝球情況屬于第 i 種種” , i = 1, 2, 3, 則則 有有10個袋子個袋子, 各袋中裝球情況分為下列各袋中裝球情況分為下列3種種: (1) 共有共有2袋袋, 各裝有各裝有2個白球和個白球和4個黑球個黑球; (

44、2) 共有共有3袋袋, 各裝有各裝有3個白球和個白球和3個黑球個黑球; (3) 共有共有5袋袋, 各裝有各裝有4個白球和個白球和2個黑球個黑球.1.27 現從現從10個袋子中任取個袋子中任取1個個, 從中任取從中任取2個球個球, 求取出的都是白球的概率求取出的都是白球的概率.解解于是于是,2211262C1(),()10C15P BP AB 213356( )0.273310 1510 1510 15P A 232226C33(),()10C15P BP AB 33265C46(),()10C15P BP AB 由全概率公式得由全概率公式得 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊甲乙兩艘輪船駛向一個

45、不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊兩艘輪船的碼頭停泊, 它們都在某一晝夜內到達它們都在某一晝夜內到達, 并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的并且在該晝夜內任何時刻到達都是等可能的. 如如果甲船的停泊時間是果甲船的停泊時間是1小時小時, 乙船的停泊時間是乙船的停泊時間是 2 小時小時, 求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來求其中任何一艘都不需要等候碼頭空出來的概率的概率.1.28 設設A為事件為事件 “取出的零件是合格品取出的零件是合格品”, B 為事件為事件 “取出的零件是第一臺車床加工的取出的零件是第一臺車床加工的”, 則則解解于是于是,21( ),( )33P BP B ( )( ) ()(

46、 ) ()P AP B P ABP B P AB ()0.97,()0.03P ABP AB 由全概率公式得由全概率公式得()0.98,()0.02P ABP AB 210.970.9833 0.9733 沿用習題沿用習題1.28中的記號中的記號, 由貝葉斯公式由貝葉斯公式得得 在習題在習題1.28中中, 如果取出的零件是廢如果取出的零件是廢品品, 求它是第二臺車床加工的概率求它是第二臺車床加工的概率.1.29解解( ) ()()( ) ()( ) ()P B P ABP B AP B P ABP B P AB 10.0230.25210.030.0233 發報臺分別以概率發報臺分別以概率0.

47、6與與0.4發出信號發出信號“” 與與 “”. 由于通信系統受到干擾由于通信系統受到干擾, 當發出信當發出信號號“” 時時, 收報臺分別以概率收報臺分別以概率0.8和和0.2收到信號收到信號“”和和“” ; 又當發出信號又當發出信號 “” 時時, 收報臺分別以概率收報臺分別以概率0.9 和和 0.1 收到信號收到信號“ ” 和和“ ” . 求求:1.30 (1) 當收報臺收到信號當收報臺收到信號 “” 時時, 發報臺確系發報臺確系發出發出“” 的概率的概率; (2) 當收報臺收到信號當收報臺收到信號 “” 時時, 發報臺確系發報臺確系發出發出“” 的概率的概率. 設設A為事件為事件 “收報臺收

48、到信號收報臺收到信號 ”, B 為事件為事件 “發報臺發出信號發報臺發出信號”, 則則解解于是于是,( )0.6,( )0.4P BP B ()0.8,()0.2P ABP AB 所求概率可利用貝葉斯公式計算如下所求概率可利用貝葉斯公式計算如下:()0.1,()0.9P ABP AB ( ) ()(1)()0.9231( ) ()( ) ()P B P ABP B AP B P ABP B P AB ( ) ()(2)()0.75( ) ()( ) ()P B P ABP B AP B P ABP B P AB 獵人在距離獵人在距離100米處射擊一動物米處射擊一動物, 擊中擊中概率為概率為0.

49、6; 若第一次未擊中若第一次未擊中, 則進行第二次射擊則進行第二次射擊,但因動物逃跑使距離變為但因動物逃跑使距離變為150米米; 若第二次又未擊若第二次又未擊中中, 則進行第三次射擊則進行第三次射擊, 這時距離變為這時距離變為200米米. 假定假定擊中的概率與距離成擊中的概率與距離成 反比反比, 求獵人擊中動物的概率求獵人擊中動物的概率.1.31 設設 A為事件為事件 “第一次擊中第一次擊中”, B為事件為事件 “第第二次擊中二次擊中”, C為事件為事件 “第三次擊中第三次擊中”, 則則 A ,B , C相互獨立且相互獨立且解解100( )0.60.3200P C 100( )0.6( )0.

50、60.4150P AP B 于是于是, 獵人擊中動物的概率為獵人擊中動物的概率為()1()P ABCP ABC 1( ) ( ) ( )P A P B P C 1 (1 0.6)(1 0.4)(1 0.3) 0.832 1 1( )1( )1( )P AP BP C 如圖如圖1.2所示二系統所示二系統, 設構成二系統的設構成二系統的每個元件的可靠性都是每個元件的可靠性都是 p( 0 p 1 ) , 并且各個元并且各個元件能否正常工作是相互獨立的件能否正常工作是相互獨立的, 求系統求系統(1), (2) 的的可靠性可靠性, 并比較它們的大小并比較它們的大小.1.32系統（系統（1 1）6L5L4L3L1L2L系統（系統（2 2）6L3L4L1L5L2L圖圖 1.2 設設