1、青島市名師課堂青島市名師課堂青島二中青島二中 于世章于世章高中數學高中數學2021.10.26 青島二中青島二中“藍心結公藍心結公益課堂益課堂執(zhí)教人執(zhí)教人 于世章于世章2019 10 26莫道秋草黃莫道秋草黃 卻見君行早卻見君行早假設問由何聚假設問由何聚 此番風景此番風景好好羨鶴排空上羨鶴排空上 吟詩碧霄朝吟詩碧霄朝唯愿追夢人唯愿追夢人 爭舞潮頭豪爭舞潮頭豪一引子一引子 在德國數學家高斯的一部傳記中，有這樣一在德國數學家高斯的一部傳記中，有這樣一段話：段話： 有一個異鄉(xiāng)人在巴黎問當地人，有一個異鄉(xiāng)人在巴黎問當地人，“為什么貴國為什么貴國歷史上出了那么多偉大的數學家？歷史上出了那么多偉大的數學家

2、？ 巴黎人回答，巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學習數學我們最優(yōu)秀的人學習數學. 又去問法國數學家，又去問法國數學家，“為什么貴國的數學不斷為什么貴國的數學不斷享譽世界呢？享譽世界呢？ 數學家回答，數學家回答，“數學是我們傳統文化中最優(yōu)秀數學是我們傳統文化中最優(yōu)秀的部分的部分. 假設有一個異鄉(xiāng)人在中國的高中學校內問假設有一個異鄉(xiāng)人在中國的高中學校內問高三學生：中國的高三學生為什么熱衷于數學？高三學生：中國的高三學生為什么熱衷于數學？為什么學習數學廢寢忘食？為什么學習數學廢寢忘食？ 把數學看成是傳統文化的一部分，而不是做為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數學事業(yè)就會興隆興隆，數學研討和人才培育就會成為

3、一種有序的制度，中國也有望成為真正的數學大國. 二數學的根本思想二數學的根本思想 很多教師講課的時候，內容講很多教師講課的時候，內容講得很清楚，但是不講思想得很清楚，但是不講思想.結果是結果是學生往往抓不住問題的本質，這對學生往往抓不住問題的本質，這對培育發(fā)明性思想非常不利培育發(fā)明性思想非常不利. 有些教師教課很受學生歡迎，有些教師教課很受學生歡迎，緣由是什么呢？我個人以為，這樣緣由是什么呢？我個人以為，這樣的教師不僅將內容講的透徹，而且的教師不僅將內容講的透徹，而且還會讓學生明白為什么這么講，數還會讓學生明白為什么這么講，數學內容為什么采用這樣的呈現方式，學內容為什么采用這樣的呈現方式，這就

4、不僅要知其然還要知其所以然這就不僅要知其然還要知其所以然.這很重要這很重要. 什么是數學思想呢？函數方程、什么是數學思想呢？函數方程、等量交換、數形結合、分類、遞歸、等量交換、數形結合、分類、遞歸、轉換；配方法、換元法、加強不等轉換；配方法、換元法、加強不等式等等式等等. 本節(jié)課將在轉換、數形結合、函數本節(jié)課將在轉換、數形結合、函數方程等方面進展深化討論方程等方面進展深化討論. 為了更好的突出本節(jié)課的主題，我們?yōu)榱烁玫耐怀霰竟?jié)課的主題，我們一同來做一個游戲一同來做一個游戲.課題課題 怎樣解題怎樣解題 三三.小試牛刀小試牛刀共需要件，丙各元，現在購買甲、乙、件，共需件、丙件、乙若購買甲元，件，

5、共需件、丙件、乙買甲，若購有甲、乙、丙三種貨物12 . 4110415. 3173【引例【引例1】 元. 我遭到的啟發(fā)我遭到的啟發(fā) 數學解題才干的數學解題才干的提高，是建立在思想才干提高的根提高，是建立在思想才干提高的根底之上，不能把思想限定在知的框底之上，不能把思想限定在知的框架內，突破框架的途徑往往來自靈架內，突破框架的途徑往往來自靈感感. .不能否認部分靈感是普通常識，不能否認部分靈感是普通常識，而常識又經常是保守的而常識又經常是保守的, ,靈感也確靈感也確實沒有論證的力量，缺乏精細，但實沒有論證的力量，缺乏精細，但它并不妨礙我們對問題的思索它并不妨礙我們對問題的思索. .【引例【引例2

6、】(2019年華約年華約x1,x2,x3,x4,x5是正整數，任取是正整數，任取4個，其和組成的集合個，其和組成的集合為為44,45,46,47，求這五個數，求這五個數. 四四.在劃歸與轉化中提升才干收獲在劃歸與轉化中提升才干收獲成果成果 化歸與轉化的思想，就是在研討和化歸與轉化的思想，就是在研討和處理數學問題時采用某種方式，借助某處理數學問題時采用某種方式，借助某種函數性質、圖象、公式或知條件將問種函數性質、圖象、公式或知條件將問題經過變換加以轉化，進而到達處理問題經過變換加以轉化，進而到達處理問題的思想題的思想.轉化是將數學命題由一種方式轉化是將數學命題由一種方式向另一種方式的變換過程，化

7、歸是把待向另一種方式的變換過程，化歸是把待處理的問題經過某種轉化過程歸結為一處理的問題經過某種轉化過程歸結為一類曾經處理或比較容易處理的問題類曾經處理或比較容易處理的問題.22ABC4 0)( 4 0)1259sinsinsinxoyACxyACB例1 在平面直角坐標系中，已知的頂點（ ，和，頂點B在橢圓上，則 .為（）中，則都在集合和且），（的夾角，滿足，面向量若兩個非零的平，定義，面向量對于任意兩個非零的平變式baZnabbababa|2n24.1mOCOBOAmOHHABC），則實數，兩條邊上高的交點為，外接圓的圓心為變式(O2 .BABAcbacbaCBAcoscos1coscosAB

8、C3數列，則成等差、，若、的邊分別為，所對、中，角在變式 .為的值，則，若，分別交于點，直線與作一的重心如圖，過變式yxxyACyAEABxADED110.ACABGABC4 .大值為的最為銳角），則、（北京高考）變式coscoscos(1sinsinsin5222 .15cos2-6cos4-cos6-cos32R201366的值求，年北約）對于任意的（變式一特殊與普通的相互轉化一特殊與普通的相互轉化 對于那些結論不明或解題思緒對于那些結論不明或解題思緒易發(fā)現的問題，可先用特殊情形探易發(fā)現的問題，可先用特殊情形探求解題思緒或命題結論，再在普通求解題思緒或命題結論，再在普通情況下給出證明，這不

9、失為一種解情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉題的明智之舉.側面的二面角范圍嗎？兩個你能求出正三棱錐相鄰例2形中心的軌跡是的矩于給定如圖，內接變式ABC1 .oCAB .是的取值范圍時，當的取值范圍是則，且域內（不含邊界）運動的延長線圍成的陰影區(qū)及、線段在由射線，點如圖所示，變式yxxOByOAxOPABOBOMPABOM21/2 .二有限與無限的相互轉化二有限與無限的相互轉化 假設將極限思想與特殊化原那么假設將極限思想與特殊化原那么相結合，根據圖形元素的極端位置相結合，根據圖形元素的極端位置或某一類量的極端情形，來研討處或某一類量的極端情形，來研討處理數學問題，尤其是最大值、最小理數學

10、問題，尤其是最大值、最小值、邊境值等問題，經常是快速有值、邊境值等問題，經常是快速有效效. .)2014(1) 1 (2)()2(3)()3(R)(3ffxfxfxfxfxxf，則，且，都有任意實數上的函數，對是定義在例 .的取值范圍是，則，滿足項和為的前數列的等差，公差為實數，首項為是，浙江高考）設（變式dSSSnadadann01520106511三等與不等的相互轉化三等與不等的相互轉化 等與不等是辯證的兩個方面，等與不等是辯證的兩個方面，把不等問題轉化成相等問題，可以把不等問題轉化成相等問題，可以減少運算量，提高正確率；把相等減少運算量，提高正確率；把相等問題轉化為不等問題，能突破難點問

11、題轉化為不等問題，能突破難點找到解題的突破口找到解題的突破口.074) 12(242個整數根何值時此方程至少有一取為正整數，問中的已知二次方程例aaaxaax.2|) 1(1212的取值范圍值都成立，求的取的一切實數對于滿足設不等式變式xmmxmx222( )2 ()213( )2xxf xet exxtf x變式2 （遼寧高考）已知，求證：四常量與變量的相互轉化四常量與變量的相互轉化 處理數學問題時，變量的選取處理數學問題時，變量的選取對問題處理起至關重要的作用，突對問題處理起至關重要的作用，突破思想常規(guī)，合理選擇變量，常使破思想常規(guī)，合理選擇變量，常使難題峰回路轉柳暗花明，起到事半難題峰回

12、路轉柳暗花明，起到事半功倍之效功倍之效.22.1.1 .0 .)2cos(0cossin4 , 02sinR44533DCBAyxayyyaxxayx）的值為（則，且，、設例0.0.0.0.3232R1xyDxyCyxByxAyxxyyx）那么（，且，已知變式.010R2的取值范圍，求實數，且，已知變式abcacbacba五函數與方程的相互轉化五函數與方程的相互轉化 用函數與方程思想方法解題，就是用函數與方程思想方法解題，就是對所給出的數學問題，從不同角度仔細對所給出的數學問題，從不同角度仔細審視，看看此數學問題的解法，能否與審視，看看此數學問題的解法，能否與函數或方程有關聯，假設有，就可用函

13、函數或方程有關聯，假設有，就可用函數或方程的有關性質來求解；外表上看數或方程的有關性質來求解；外表上看假設沒有，能否經過一番改造轉化假設沒有，能否經過一番改造轉化為函數或方程的問題，這樣會便于問題為函數或方程的問題，這樣會便于問題的處理的處理.最小周長為的一點，則上任意是側棱的中點，是側棱，各條棱的長都是中，如圖，正三棱錐例ADEPBDPCEABCP26 .ACBPED變式變式 如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，底面為直角三角形，底面為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是是BC1上一上一動點，那么動點，那么CPPA1的最小值是的最小值是_.PC1B1A1CA

14、B六高維與低維的相互轉化六高維與低維的相互轉化 事物的空間構成，總是表現為事物的空間構成，總是表現為不同維數且遵照由低維想高維的開不同維數且遵照由低維想高維的開展規(guī)律，經過降維轉化，可把問題展規(guī)律，經過降維轉化，可把問題有一個領域轉換到另一個領域而得有一個領域轉換到另一個領域而得以處理，這種轉化在立體幾何中特以處理，這種轉化在立體幾何中特別常見別常見.為有理數？與，使實數年北大）是否存在（例3cot3tan20097xxx.22) 1(3442222的取值范圍軸有交點，求實數有一條與中至少，已知三條拋物線：變式axaaxxyaxaxyaaxxy 七 正與反的相互轉化 對于那些從“正面進攻很難奏效或運算較難的問題，可先攻其反面，從而使正面問題得以處理.仿佛為他而等待仿佛為他而等待整整三十一載整整三十一載不不 滿滿一節(jié)課滿滿一節(jié)課才等來了這笑語歡聲才等來了這笑語歡聲短暫相聚的光陰短暫相聚的光陰在在“轉化轉化“的輕柔與飄灑中的輕柔與飄灑中享用心中沸騰的樂章