1、一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區區間間是是函函數數則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數數對對于于在在區區間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 注意：函數的最大值或最小值是函數的一個整體性質注意：函數的最大值或最小值是函數的一個整體性質.(Maximum and minimum values theorem),sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy例如例如,sin1xy ,2 ,

2、 0上上在在 ; 0min y, 1max yxyo11 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區間上連續在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值的函數一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區間是開區間若區間是開區間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區間內有間斷點若區間內有間斷點, , 定理不一定定理不一定成立成立. .注意注意:1.:1.若區間是開區間若區間是開區間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.

3、若區間內有間斷點若區間內有間斷點, , 定理不一定定理不一定成立成立; ;xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 3、最大值和最小值可能相等；、最大值和最小值可能相等；4、最值可能在區間端點取得，、最值可能在區間端點取得，.5 , 2, 2 xy如如.1 , 0, xxy如如證證,)(上上連連續續在在設設函函數數baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數數baxf定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界. .(Boundedness theo

4、rem)二、介值定理二、介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數數則則使使如如果果xfxxfx (Intermediate value theorem).),(0)(內內至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 定理定理 3(3(零點定理零點定理) ) 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間 ba, 上連續，且上連續，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開那末在開區間區間 ba,內至少有函數內至少有函數)(xf的一個零點的一個零點, ,即至即至少有一點少有一點 )(ba ，使，使0)( f. . (Zero-po

5、int theorem)ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續曲線弧連續曲線弧xxxfy 定定理理 4 4( (介介值值定定理理) ) 設設函函數數)(xf在在閉閉區區間間 ba, 上上連連續續，且且在在這這區區間間的的端端點點取取不不同同的的函函數數值值Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那那末末，對對于于A與與B之之間間的的任任意意一一個個數數C，在在開開區區間間 ba,內內至至少少有有一一點點 ，使使得得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋:MBCAm

6、ab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設設,)(上連續上連續在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續曲線弧連續曲線弧Cyxfy 推論推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大在閉區間上連續的函數必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1P89)P89).)1 , 0(01423內內至至少少有有一一根根在在區區間間證證明明方方程程 x

7、x證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續上連續在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,(0,1), 使使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2( (補充）補充）.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續續在在區區間間設設函函數數證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續上連續在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即

8、即三、小結三、小結 Brief summary 四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區間；閉區間； 2連續函數連續函數這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.輔助函數法輔助函數法: :先作輔助函數先作輔助函數F(x),F(x),再利用零點定理再利用零點定理; ;思考題思考題 Consideration下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內內連連續續，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內內必必有有零零點點.思考題解答思考題解答 Solution to consideration不正確不正確