1、第第6節第一型線積分和面積分節第一型線積分和面積分第一型對弧長的曲線積分的計算第一型對弧長的曲線積分的計算第一型對面積的曲面積分的計算第一型對面積的曲面積分的計算( Line integrals and Surface integrals of the first type (or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ) 定理定理由第由第1節，節，1. 第一型曲線積分的定義：第一型曲線積分的定義：.ds其其中中叫叫做做弧弧長長元元素素2. 性質：性質：3. 可積

2、性：可積性：12max,ndsss ( )( , )cf x y ds ( )( , , ) zfydxs 01lim(,)niiiidif xy zs 01lim(,)niiidif x ys ( ,)( , )( )( ),( , ).cf xyf xy zcf x y ds （ ）當當在在光光滑滑曲曲線線弧弧或或上上連連續續時時 對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分存存在在與定積分類似與定積分類似( , , )f x y z ds （ ）（ ）注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(

3、),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數函數1. 對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一階階連連續續導導數數在在其其中中的的參參數數方方程程為為上上有有定定義義且且連連續續在在曲曲線線弧弧設設基本思路基本思路:計算定積分計算定積分轉轉 化化求曲線積分求曲線積分證證: :01 ,nttt 設設為為上上的的一一個個分分割割. .1, iiitts 相相應應曲曲線線有有一一分分割割，記記上上的的弧弧長長為為1, i

4、iitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由積分中值定理由積分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds 記記，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，連連續續22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可可積積)()()(),(22ttttf oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y注xdydsdxyo(2) (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(

5、22x因此上述計算公式相當于因此上述計算公式相當于“換元法換元法”. . (3)( , ),.f x yx y中中不不彼彼此此獨獨立立 而而是是相相互互有有關關的的(1). 定定積積分分的的下下限限 一一定定要要小小于于上上限限., 0 iits從而要求從而要求表示弧長，總是正的，表示弧長，總是正的，(4)對稱性對稱性 .平面曲線積分參照二重積分情況，平面曲線積分參照二重積分情況，空間曲線積分參照三重積分情況空間曲線積分參照三重積分情況._)432(, 13412222 dsyxxyayxll則則其其周周長長記記為為為為橢橢圓圓設設例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解1

6、2431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr .sin,cos),(22 drrrrfdsyxfL 推廣推廣: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf LdsyxI)(計計算算例例1解解.)(;)3 , 2()0 , 2()(;)0 , 2()0

7、, 0()(222的的上上半半圓圓周周是是之之間間的的直直線線段段與與是是之之間間的的直直線線段段與與是是RyxLiiiBALiiLi ()Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201xy dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx ( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20()(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 形形的的整整個個邊邊界界。第第一一象象限限內內所所圍圍成成的的扇扇軸軸在

8、在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa 0,y 2:cos ,sinLxat yat dsdx dsadt 3:(02),Lyxxa 1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 解解 在極坐標系下在極坐標系下它在第一象限部分為它在第一象限部分為利用對稱性利用對稱性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr 1

9、:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求求其其中中 為為雙雙紐紐線線例例422cos2ra 例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解法一解法一由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 進一步進一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 解法二解法二得得代代入入將將2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2

10、sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 則則）（,)2(2232222222axzxazzxx 化為參數方程化為參數方程2203222co23s3Lx datadtsa 2. 幾何與物理意義(1)( , ),x yL 當當表表示示的的線線密密度度時時( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當當,),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱柱面面面面積積dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLAB

11、ab(4),xy曲曲線線弧弧對對 軸軸及及 軸軸的的轉轉動動慣慣量量2222( , ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標)5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數數方方程程為為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 .233 tdttttScos

12、sin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 例例2. 設均勻螺旋形彈簧設均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為cos,sin,xatyat (02 ),zktt (1) 求它關于求它關于 z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量;zI(2) 求它的質心求它的質心 .解解: 設其密度為設其密度為 (常數常數).22() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak (2) L的質量的質量dLms 222ak 而而dLxs 22aak 20cos dtt 0 (1)xyzOakdLys 22aak 20sindtt 0

13、 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故質心坐標為故質心坐標為( 0 , 0 ,)k 例例322222()()zLIxyxyz ds 解解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka ttaakak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z設螺旋線，設螺旋線，線密度，線密度，求（ ）關于 軸的轉動慣量求（ ）關于 軸的轉動慣量（ ）它的重心（ ）它的重心( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx

14、 y z dsxyzmmm 2222222 222022223 232220238( , , )(2)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk akakmak akzkaakk 2222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt

15、ak tk ttdtk tdtk ttt ak tktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 2222232222222( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 222002

16、22202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2ssin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 小結1 1、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算2 2、對弧長曲線積分的應用、對弧長曲線積分的應用一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構件已知曲線形構件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質量的質量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 計計算算下下列列求求弧弧長長的的曲曲線線積積分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L為為圓圓周周222ayx , ,直直線線xy 及及x軸軸在在第第一一象象限限內內所所圍圍成成的的扇扇形形的的整整個個邊邊界界；練習題練習題 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 L