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文檔簡介

1、2.3 調和函數定義定義1 1 內的調和函數：為區域實函數Dyxu),(內有二階連續偏導數，在區域Dyxu),(0yyxxuuu且滿足(稱為調和方程或Laplace方程) 定理定理1 1： 內的解析函數是區域Dyxivyxuzf),(),()(內的調和函數是區域與Dvu證明： 內解析在Dzf)(,xyxyuvvu 且u, v有任意階連續偏導數 xyyyxyxxvuvu,0.xxyyuu同樣可得 0.xxyyvv注：逆定理顯然不成立，即 對區域D內的任意兩個調和函數 u, v, ivuzf)(不一定是解析函數 .例如： 2222f zzxyi xy是解析函數， 222fzxyi xy不是解析函數

2、。定義定義2 2 若u與v是區域D內的調和函數且滿足C-R程， 則稱v為u的共軛調和函數 .定理定理2 2： ( )( , )( , )f zu x yiv x y函數在區域D內解析 v為u的共軛調和函數 .解析函數的虛部為實部的共軛調和數已知共軛調和函數中的一個，可利用 C-R 方程求得另一個，從而構成一個解析函數。例題1 已知一調和函數22,u x yxyxy求一解析函數f(z)=u+iv解：2,2xyuxy uyx 由 C-R 方程22yxvuxyvxy dy 2122xyyc x 2,xvycx 22xyvuyc xyx 由 21,2c xxc 2211,2.22v x yyxyxc所以于是（法一） 222211222fzxyxyiyxyxc即為所求解析函數。是任意實常數。這里 ciczizf,)2(21)(2（法三） 22xxxyfzuivuiuxyiyx222xi yyixxiyi xiy2i z 21.2ifzzc注意到u(x,y)不包含任意常數,所以c為純虛數,即c=ic1,這里c1是任意實數.（法三） 22xxxyfzuivuiuxyiyx 21.2ifzzc有關。僅與方程zyxivyxuzfzfRC),(),()(, 0).()0()(, 0 xfixfzfixz則令.2)(,0ix

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