1、1n代數系統定義代數系統定義n同類型與同種的代數系統同類型與同種的代數系統n子代數子代數n積代數積代數5.2 代數系統及其子代數、積代數代數系統及其子代數、積代數2代數系統定義與實例代數系統定義與實例定義定義 非空集合非空集合 S 和和 S 上上 k 個一元或二元運算個一元或二元運算 f1, f2, , fk 組成的系統稱為一個組成的系統稱為一個代數系統代數系統, 簡稱簡稱代代數數，記做，記做 V=. S 稱為代數系統的稱為代數系統的載體載體， S 和運算叫做代數系和運算叫做代數系統的成分統的成分. 有的代數系統定義指定了有的代數系統定義指定了S中的特殊中的特殊元素，稱為代數常數元素，稱為代數

2、常數, 例如二元運算的單位元例如二元運算的單位元.有時也將代數常數作為系統的成分有時也將代數常數作為系統的成分. 3實例實例, , 是代數系統，是代數系統， + 和和 分別表示普通加法和乘法分別表示普通加法和乘法. 是代數系統，是代數系統， + 和和 分別表示分別表示n 階階 (n2) 實矩陣的加法和乘法實矩陣的加法和乘法. 是代數系統，是代數系統，Zn0, 1, , n-1， 和和 分別表示模分別表示模 n 的加法和乘法，的加法和乘法， x,yZn， x y = (xy) mod n，x y = (xy) mod n 也是代數系統，也是代數系統， 和和為并和交，為并和交，為絕對補為絕對補4同

3、類型與同種代數系統同類型與同種代數系統定義定義 (1) 如果兩個代數系統中運算的個數相同，如果兩個代數系統中運算的個數相同，對應運算的元數相同，且代數常數的個數也相同，對應運算的元數相同，且代數常數的個數也相同，則稱它們是則稱它們是 同類型的同類型的 代數系統代數系統. (2) 如果兩個同類型的代數系統規(guī)定的運算性質如果兩個同類型的代數系統規(guī)定的運算性質也相同，則稱為也相同，則稱為 同種的同種的 代數系統代數系統. 例例1 V1 = , V2 = , 為為 n 階全階全 0 矩陣，矩陣，E 為為 n 階單位矩陣階單位矩陣 V3 = 5V1V2V3+ 可交換可交換, 可結合可結合 可交換可交換,

4、 可結合可結合+ 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對對+可分配可分配+ 對對 不可分配不可分配+與與 沒有吸收沒有吸收律律+ 可交換可交換, 可結合可結合 可交換可交換, 可結合可結合+ 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對對+可分配可分配+ 對對 不可分配不可分配+與與 沒有吸收律沒有吸收律可交換可交換, 可結合可結合可交換可交換, 可結合可結合不滿足消去律不滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律對對可分配可分配對對可分配可分配與與滿足吸收律滿足吸收律V1, V2, V3是同類型的代數系統是同類型的代數系統V1, V2是同種的代數系統是同種的代數系統V1, V2與與V3不

5、是同種的代數系統不是同種的代數系統同類型與同種代數系統（續(xù)）同類型與同種代數系統（續(xù)）6子代數子代數定義定義 設設V= 是代數系統，是代數系統，B 是是 S 的非空子集的非空子集 ，如果，如果 B 對對 f1, f2, , fk 都是封閉的，都是封閉的，且且 B 和和 S 含有相同的代數常數，則稱含有相同的代數常數，則稱 是是 V 的子代數系統，簡稱的子代數系統，簡稱 子代數子代數. 有時有時將子代數系統簡記為將子代數系統簡記為 B.實例實例 N是是 和和的子代數的子代數. N 0是是的子代數，但不是的子代數，但不是的子代數的子代數說明：說明： 子代數和原代數是同種的代數系統子代數和原代數是同

6、種的代數系統 對于任何代數系統對于任何代數系統 V ，其子代數一定存在，其子代數一定存在. 7關于子代數的術語關于子代數的術語最大的子代數最大的子代數 就是就是V 本身本身. 如果如果V 中所有代數常數中所有代數常數構成集合構成集合 B，且，且 B 對對V 中所有運算封閉，則中所有運算封閉，則 B 就就構成了構成了V 的的最小的子代數最小的子代數. 最大和最小子代數稱為最大和最小子代數稱為V 的的平凡的子代數平凡的子代數. 若若 B 是是 S 的真子集，則的真子集，則 B 構成構成的子代數稱為的子代數稱為V 的的真子代數真子代數 .例例2 設設V=，令，令 nZ = nz | zZ，n 為自然

7、為自然數，則數，則 nZ 是是 V 的子代數的子代數, 當當 n = 1 和和 0 時，時，nZ 是是 V 的平凡的子代數，其他的都是的平凡的子代數，其他的都是 V 的非平凡的真子的非平凡的真子代數代數. 8積代數積代數定義定義 設設 V1=和和 V2=是代數系統，其中是代數系統，其中 o 和和 是二元運算是二元運算. V1 與與 V2 的的 積代數積代數 是是V=, , S1 S2 , = 例例3 V1=, V2=, 積代數積代數 , Z M2(R) , o = 0212, 31012, 21101, 59積代數的性質積代數的性質定理定理 設設 V1 = 和和 V2 = 是代數系統，其中是代

8、數系統，其中 o 和和 是二元運算是二元運算. V1 與與 V2 的的積代數積代數是是 V= (1) 若若 o 和和 運算是可交換的，那么運算是可交換的，那么 運算也是可交換的運算也是可交換的 (2) 若若 o 和和 運算是可結合的，那么運算是可結合的，那么 運算也是可結合的運算也是可結合的 (3) 若若 o 和和 運算是冪等的，那么運算是冪等的，那么 運算也是冪等的運算也是冪等的 (4) 若若 o 和和 運算分別具有單位元運算分別具有單位元 e1 和和 e2，那么，那么 運算運算 也具有單位元也具有單位元 (5) 若若 o 和和 運算分別具有零元運算分別具有零元 1 和和 2，那么，那么 運

9、算運算 也具有零元也具有零元 (6) 若若 x 關于關于 o 的逆元為的逆元為 x 1, y 關于關于 的逆元為的逆元為 y 1，那，那 么么關于關于 運算也具有逆元運算也具有逆元 105.3 代數系統的同態(tài)與同構代數系統的同態(tài)與同構n同態(tài)映射的定義同態(tài)映射的定義n同態(tài)映射的分類同態(tài)映射的分類單同態(tài)、滿同態(tài)、同構單同態(tài)、滿同態(tài)、同構自同態(tài)自同態(tài)n同態(tài)映射的性質同態(tài)映射的性質11同態(tài)映射的定義同態(tài)映射的定義定義定義 設設 V1=和和 V2=是代數系統，其是代數系統，其中中 和和 是二元運算是二元運算. f: S1S2, 且且 x,y S1, f (x y) = f(x) f( y), 則稱則稱

10、f 為為V1到到 V2 的的同態(tài)映射同態(tài)映射，簡稱，簡稱同態(tài)同態(tài). 12更廣泛的同態(tài)映射定義更廣泛的同態(tài)映射定義定義定義 設設 V1=和和 V2=是代數系統，是代數系統，其中其中 和和 是二元運算是二元運算. f: S1S2, 且且 x,y S1 f (x y) = f(x) f(y) , f (x y) = f(x) f(y)則稱則稱 f 為為V1到到 V2 的的同態(tài)映射同態(tài)映射，簡稱，簡稱同態(tài)同態(tài). 設設 V1=和和 V2=是代數系統，是代數系統，其中其中 和和 是二元運算是二元運算. 和和 是一元運算，是一元運算， f: S1S2, 且且 x,y S1 f (x y)=f(x) f(y)

11、, f (xy)=f(x) f(y), f ( x)=f(x) 則稱則稱 f 為為V1到到 V2 的的同態(tài)映射同態(tài)映射，簡稱，簡稱同態(tài)同態(tài).13例題例題例例1 V=, 判斷下面的哪些函數是判斷下面的哪些函數是V 的自同態(tài)？的自同態(tài)？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1解解 (2) , (5), (6) 不是自同態(tài)不是自同態(tài). (1) 是同態(tài)，是同態(tài)， f(x y) = |x y| = |x| |y| = f(x) f(y) (3) 是同態(tài)，是同態(tài)， f(x y) = (x y)2

12、= x2 y2 = f(x) f(y) (4) 是同態(tài)，是同態(tài)， f(x y) = 1/(x y) =1/x 1/y = f(x) f(y) 14特殊同態(tài)映射的分類特殊同態(tài)映射的分類同態(tài)映射如果是單射，則稱為同態(tài)映射如果是單射，則稱為單同態(tài)單同態(tài)；如果是滿射，則稱為如果是滿射，則稱為 滿同態(tài)滿同態(tài)，這時稱，這時稱 V2 是是 V1 的的同態(tài)像同態(tài)像，記作，記作 V1 V2；如果是雙射，則稱為如果是雙射，則稱為 同構同構，也稱代數系統，也稱代數系統 V1 同構于同構于V2，記作，記作 V1 V2 . 對于代數系統對于代數系統 V，它到自身的同態(tài)稱為，它到自身的同態(tài)稱為自同態(tài)自同態(tài). 類似地可以定

13、義類似地可以定義單自同態(tài)單自同態(tài)、滿自同態(tài)滿自同態(tài)和和自同構自同構. 15同態(tài)映射的實例同態(tài)映射的實例例例2 設設V=， a Z，令，令 fa：ZZ，fa(x)=ax那么那么 fa是是V的自同態(tài)的自同態(tài). 因為因為 x,y Z，有，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 當當 a = 0 時稱時稱 f0為零同態(tài)；為零同態(tài)；當當a= 1時，稱時，稱 fa為自同構；為自同構；除此之外其他的除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài)都是單自同態(tài). 16例例3 設設V1=, V2= ，其中其中Q*= Q 0，令令 f ：QQ*, f(x)=ex 那么那么 f 是是V1

14、到到V2的同態(tài)映射，因為的同態(tài)映射，因為 x, y Q有有 f(x+y) = ex+y = ex ey = f(x) f(y). 不難看出不難看出 f 是單同態(tài)是單同態(tài). 同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實例（續(xù)）17同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實例（續(xù)）例例4 V1=，V2=，Zn=0,1, , n-1, 是模是模 n 加加. 令令 f：ZZn，f(x) = (x)mod n則則 f 是是V1到到 V2 的滿同態(tài)的滿同態(tài). x, yZ有有 f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n (y)mod n = f(x) f(y)18例例5 設設 V=，可以證明恰有，可以證明恰有

15、n 個個G 的自同態(tài)，的自同態(tài)， fp：ZnZn, fp (x) = (px)mod n，p = 0,1, , n 1例如例如 n = 6, 那么那么 f0為零同態(tài)；為零同態(tài)； f1與與 f5為同構；為同構； f2 與與 f4的同態(tài)像是的同態(tài)像是 0, 2, 4 ； f3 的同態(tài)像是的同態(tài)像是 0, 3 . 同態(tài)映射的實例（續(xù)）同態(tài)映射的實例（續(xù)）19同態(tài)映射保持運算的算律同態(tài)映射保持運算的算律設設V1,V2是代數系統是代數系統. o, 是是V1上的二元運算，上的二元運算，o, 是是V2上對應的二元運算，如果上對應的二元運算，如果 f： V1V2是滿同態(tài)，是滿同態(tài)，那么那么 (1)若若o運算是

16、可交換的（可結合、冪等的），則運算是可交換的（可結合、冪等的），則o運運算也是可交換的（可結合、冪等的）算也是可交換的（可結合、冪等的）. (2) 若若o運算對運算對 運算是可分配的，則運算是可分配的，則o運算對運算對 運運算也是可分配的；若算也是可分配的；若o 和和 運算是可吸收的，則運算是可吸收的，則 o和和 運算也是可吸收的。運算也是可吸收的。20(3) 若若e為為o 運算的單位元，則運算的單位元，則 f(e)為為o運算的單位元運算的單位元.(4) 若若 為為o 運算的零元，則運算的零元，則 f( ) 為為o運算的零元運算的零元.(5) 設設 u V1，若，若 u 1 是是 u 關于關于o運算的逆元，則運算的逆元，則 f(u 1) 是是 f(u)關于關于o運算的逆元。運算的逆元。同態(tài)映射保持運算的特異元素同態(tài)映射保持運算的特異元素21同態(tài)映射的性質同態(tài)映射的性質說明：說明：上述性質僅在滿同態(tài)時成立，如果不是滿同態(tài)，上述性質僅在滿同態(tài)時成立，如果不是滿同態(tài)，那么相關性質在同態(tài)像中成立那么相關性質在同態(tài)像中成立. 同態(tài)映射不一定能保持消去律成立同態(tài)映射不一定能保持消去律成立. 例如例如 f : ZZn 是是 V1= 到到 V2=的同的同態(tài)，態(tài)，f(x)=(x)mod n, V1中滿足消去律，但是當中滿足消去律，但是當 n 為合數時為