1、平面向量復習指導教師：謝煥鋼1）向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。2）向量運算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實數與向量乘積的幾何意義共線；定比分點基本圖形起點相同的三個向量終點共線等。3） 向量的三種線性運算及運算的三種形式。向量的加減法，實數與向量的乘積，兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法

2、與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實數與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y24） 運算律加法：+=+，(+)+=+(+)實數與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個向量的數量積：·=·；()·=·()=(·)，(+)·=·+·說明：根據向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘

3、積的運算法則，正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算，例如(±)2=5） 重要定理、公式 （a）平面向量基本定理；如果+是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量，有且只有一對數數1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（b）兩個向量平行的充要條件符號語言：若，則=坐標語言為：設=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y

4、2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數是唯一存在的，當與同向時，>0；當與異向時，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當，確定時，的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中的幾何意義。 （c）兩個向量垂直的充要條件符號語言：·=0坐標語言：設=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0（d）線段定比分點公式如圖，設則定比分點向量式：定比分點坐標式：設P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）則特例：當=1時，就得到中點公式：，實際上，對于起點相同，終點共線三個向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個向

5、量的線性組合表示第三個向量，且系數和為1。5)向量既是重要的數學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標系的引入，體現了向量解決問題的“程序性”特點。四、 典型例題：例1、如圖，為單位向量，與夾角為1200，與的夾角為450，|=5，用，表示。例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標。 例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|=13，|=14，設線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。例5、已知長方

6、形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點（1） 利用向量知識判定點P在什么位置時，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。平面向量練習一、選擇題1若(2，4)，(1，3)，則 ( )A(1，1)B(1，1)C(3，7)D(3，7)2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a| ( )A1BC2D43已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b ( )A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)4在ABC中，若點D滿足，則( )ABCD5已知平面向量a(x，1)，b(x，x2)，則向量ab ( )A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線二、填空題6已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，則向量_7設向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_8已知向量a與b的夾角為120°，且|a|b|4，那么b·(2ab)的值為_9已知向量a(1，)，b(2，0)，則|ab|_10在ABC中，A60 ，則_三、解答題11若點A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)共線，求點C的坐標及中實數的值12已知e1、e2是夾角為60&