1、2017年全國高中數學聯賽A卷一試一、填空題1 1 .設f(x)是定義在R上的函數，對任意實數x有f(x3)f(x4)1.又當0 x7時，f(x)10g2(9x),則f(100)的值為.22 2 .若實數x,y滿足x2cosy1,貝Uxcosy的取值范圍是. .22一xy3 3 .在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的方程為：1,F為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位910于第一象限內的動點，則四邊形OAPF的面積的最大值為.4 4 .若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差不超過 1,1,則稱其為“平穩數”.平穩數的個數是5 5 .正三棱錐PABC中，AB1,AP2,過AB的平面將其體積平分，則棱

2、PC與平面所成角的余弦值為.6 6 .在平面直角坐標系xOy中，點集K(x,y)x,y1,0,1.在K中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為55的概率為.7 7 .在ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點若A一,ABC的面積為J3,則AMAN的最3小值為.8 8 .設兩個嚴格遞增的正整數數列an,bn滿足：a10b102017,對任意正整數n,有an2an1an，bn12bn,則a1n的所有可能值為.二、解答題、一.，、，2/一一1、一一一匚9 9 .設k,m為實數，不等式xkxm1對所有xa,b成立.證明：ba2V2. .x2X3、1010 .設x1,x2,x3是非負頭數，滿

3、足x1x2x31,求(x13x25x3)(x1)的取小值和取大值352_21111.設復數Zi,Z2滿足Re(Zi)0,Re(Z2)0,且Re(z1)Re(z2)2(其中Re(z)表示復數z的實部)(1)求Re(z1z2)的最小值；(2)求z12z224z2的最小值.2017年全國高中數學聯賽A卷二試一.如圖，在ABC中，ABAC,I為ABC的內心，以A為圓心，AB為半徑作圓1,以I為圓心，舊為半徑作圓2,過點B,I的圓3與i, ,2分別交于點P,Q（不同于點 B B）. .設IP與BQ交于點R. .證明：BRCR二.設數列an定義為a11,an1ann,ann,ann,ann,n1,2,.求

4、滿足arr32017的正整數r的個數.將3333方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數相等同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數的最小值四.設m,n均是大于1的整數，mn,a1,a2,an是n個不超過m的互不相同的正整數，且a1,a2,an互素.2.證明：對任息頭數x,均存在一個i(1n),使得,乂|-|x|,這里|y|表示實數y到與它最近的整數的距離.若相鄰連個小方格的顏色不2017年全國高中數學聯賽A卷一試答案1.1.解：由條件知，/(工+14)=f(jc)所以工+7)A-1001=/(-100+Hx?)=I 隼2.2.答案工：-L0+1.犍：由于”1-26

5、gh,F-L3故苫曰 61I1由 UQ4_可知，*C 快 I-v-_-Y-lr：.因此當x=時，-JI14a匚儂 有最小值 1(這時 r可以取二)： 當 V6時 fg&r有最大值方 (這時J可以取齊),由于:(K+-1 三二宜二某建h6+口,從而 KC05J 的取值范國是-L/+1.3.3.解：易知加 3,0),901).設 2 的坐標是(3m 雙 M 中口見狀0.g,則535“川“$團二；TWhin，I 二 1，.久 uE=(yfioeusf/Igin#)=0+/).2arrunv1.當-小皿后時，四邊形 U產而枳的最大值為處1024.答案！75.修士考慮平穩數嬴.若b=04則口=1

6、匚丘0/卜有 2 個平穩數.若h=L則 nWH,%dO.L2有 2x3=6 個平穩數.其中丁若之 W6 工 2,則明共獨一 1,比占+13 有 7x3x3=63 個平穩數.若 8=9,則&cw祗9,有 2K2=4 個平穩數.綜上可知 平穩數的個數是 2 十 6+63+4=75.答案*-Id解:設 X 與/U 的中點分別為陌 M.則易證平而廿就是平而門.由中線長公式知、人4二/vl/vlj j 2KMfC枚棱尸 c與平面口所或免的余弦值為 HL106.6.5.4答案:-.解:易知 K 中有 q 個點，放在 K 中 Rfi 機取出三個點的方式數為 C；=14 種.將K中的點按右圖標記為其中

7、有8對點之間的距底為妻由對稱性，考慮取其,出兩點的情況，則剩下的一個點有 7 種取法，這樣有 7K8=56 個三點細（不計號組中三點的次序 1對每個 4（?=1，21，印，犬中恰有4W4T兩點與之距更為后（這里下標按模 g 理蜂人因而恰有V4,4T，4TH=1、2,盼這&個三點組被計了兩次.從而滿足條件的三點蛆個數為畀-&=48,進而所求概率為竺=土8477.7.又易知直域尸 U 在平面 n 上的射影是直線MK.而CH=I,KC=-,所以rR42U)一一 （,所以KM=力/一答案：320.解】由條件可知：外,附，向均為正整數 且匕力=51M，故九41.2.3.反復運用包的遞推關

8、系知u口+門+4一1%匚I2ti-u立1一-8。_+5”（IM.r7n1!、3%+迎=21/一】34-34H21叩因此2肛三心=5123三2（m（xi34）,W13Z2I-M-8Ih故有/一/MMBX2A-26/（IIHX1?JL另一方面，注意到4,有55/344+21%512%故qI）Y 言小517當方一I時，分別化為/一？&frmM34）,口一r無解.梟當42時，分別化為%=521。04+修與二得到唯一的正整數%一1降此時叫一一工。.當八一R時*工,分別化為7Sniod?4）.u,： 得到唯一的正整數55%一10,比時力+4-1工綜上所述，勺+也的所有可能值為1工20.9.9.,.

9、4力 由十一2K知.笑生可愜什.力-24手卜4,故力一2VL用分10.10.鰥：由柯西不等 M5+3覆+5巧W：+6哼）之（石百=（茍+%4-x3r=I當天=I,W=0.與=0時不等式等號成立，故欲求的最小值為L因為（*+3+5七）|工.5+孑）=*-3+5/心巧一手+/）（工.+3甚*5JCJ+5工54k201。,W 一式二 Re（zf）=2.因此=艮以石+/i）（三+y：i）=天/-為外=加+2 城+/一見/帆”|+2）一抄 R2.又當馬時，Re（再為）=2.這表明,的最小值為 2.5 分（2）時 Jt=L2,將 4 對應到平面直角坐標系立方中的點以（%必），記是片關于才的對稱點，則外理均

10、位于雙曲線 C:-#=2 的右支上.設耳 E 分別是匚的左、右焦點，易知 6（-2。%管 Q,o）.根據雙曲線的定義，有怛勾二|PFj+2 把,年典二|次|+2 比進而得,+2|十月+2 卜區一司=歸+2|+歷+2-卜一司=團|+|明-|叫=4 丐+|曲|+|明-舊用“日15 分等號成立當且僅當居位于線段月月上（例如，當%=畛=。+力時，月恰是戶 g 的中點工“綜上可知，B+2|+。2-鼻一目的最小值為 40.20 分2017年全國高中數學聯賽A卷二試答案證明：孟接旭，/CiIQ.PB,吟由于點0在腳匚上.故由二/0,所以上由。二Z7(W.乂A.LP.0四點共酬.所以dQB=上，PB,節注IB

11、Q=IPB.放ZRP-Z&R從而市上依4.2Mr.IIIBIP,IR18注意到且為2U班的內心.他俯=/一所以干是3/匚/33/RC,ttZ/C=Z/Cf.2又點尸件圓廠L的孤此上.故，8斤=1851乙1.因此Z=W 耐H*Z/ffC=21RP+ZKP=上RPC?bo*-fo(r+|ZJ-jIK(T一：乙4jt&BRICR.*io分解:由數列的定義可如=1.小=2.W設對某個整數F之丁行我們證明對=1上,r-1*有&,.=2r+f*tr+2/-Lar(=r-fr,由定義*ur=(ir+r=r+r=2rr+1.：=a,tJ-(r+l=2r-tr+l)=r-1r+2t+l口

12、1r.，心=可J一(r+27+1)=2r+f-(r+21+l)=F-F-r+2/+2即結論對r4l也成立.由政學歸納法如，對所有f=L2-l成立.特別當/二F-I時.有0JL!=1r從而d31=。-工+=Jr-1,若將所有滿足=的正展數r從小到大記為小人.則由上面的結論可知r=l,r：=2.20分1山此可知,二 l,；H一】,“/H從m?玷仃XI+1由于=3期，二二公在12產”中滿足%=F的數r4Udfa共有201g個.為不公飛30分由可初.對每個走MLN“2017,+1一工一2中恰行 T 滿足彳州匚人i4.由于/+1=+1與均為奇數.而在之I.+L.產”中.奇數均滿足4人偶數均滿足與其中的得

13、數比奇效少I個.因此滿足外，工3押門的正整數l的個數為|(37-2018-1)=3ai2019.40分解：記分隔邊的條數為首先.將方格紙按如圖分成二個區域.分別染成一種顏色.粗線匕均為分隔邊*此時共有56條分隔邊.即4=56.下面證明356.將方格紙的行從上至下依次記為4,應,.4尸列從左至右依次記內瓦.冬,小行4中方格出現的撅色數記為用送） 列絳中方格出現的爆色個數記為加81.三種顏色分別記為Gg.對一種顏色勺,設打）是含有勺色方格的行數與列數之和.記JL若4行含有弓色方格.加4勺）小否則.類似地定 M 況6r,勺L于是一（加4耳）=）力（儀4，弓）+鳳&勺）#1Hljvl=E（5（

14、A.c）+用邑*/）=慨）.IIfT由于染色的方格有，33工=363個.設含有口色方格的行有&個，列有b個.則口色的方格一定在這門行和力列的交叉方格中,因此江之363,從而（c/=。+方A2fab22-36338.故，1.2.3.*20分由于在行4中有M41種顏色的方格，因此至少有E4J-I條分隔邊同理在列當中.至少有打（約）一1條分隔邊.于是F之內-D+5-1）ff=li=lJ3=（n（4）+n（fif-66r=l3=，內（r.）-66.-i30分下而分兩種情形討論.情形1二仃一行或一列全部方格同色.不妨設有一行全為q色,從而方格紙的33列中均含有片色的方格.由尸。色方格有363個，

15、故至少有”行中;VTT.色方格.于是由.及即得上川G)+WJ)+打SJ-66之44+39+39-66=56.10分40分情形2:沒有一行也沒有一列的全部方格同色.則對任意13433,均有以4)22.MS)A2.從而由知L之Z(，.4J+fi(2)-66之33x4-66=6656.綜上所述.分隔邊條板的最小值等于56.50分證明，苜先證明以卜兩個結論.結論I:存在整數*滿足q/必+%=1t并且IqK/w.Ii4門.由于(4%*q)=1由裴蜀定理,存在整效&,勺，,q,滿足+c4+-*G4hI*下而證明,通過調整,存定一組6gc滿足，且絕對值均不超過明記$(64-)=2624%)=Z1。倬0,句0.那么存在&m1*于是qq