1、第第9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換THE LAPLACE TRANSFORM4. 雙邊拉普拉斯變換的性質；雙邊拉普拉斯變換的性質；本章基本內容：本章基本內容：1. 雙邊拉普拉斯變換；雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；雙邊拉普拉斯變換的收斂域；5. 系統函數；系統函數；6. 單邊拉普拉斯變換；單邊拉普拉斯變換；3. 零極點圖；零極點圖；9.0 引言引言 Introduction 通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和變變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不僅能僅能解決解決用傅里葉分析方法可

2、以解決的信號與系統用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統分析問題，而且還能分析問題，而且還能用于用于傅里葉分析方法不適用的傅里葉分析方法不適用的許多方面。許多方面。拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。一章要討論的中心問題。9.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 復指數信號復指數信號 是一切是一切LTI系統的特征函數。系統的特征函數。如果如果LTI系統的單位沖激響應為系統的單位沖激響應為

3、，則系統對，則系統對 產生的響應是產生的響應是: ste( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t edt，其中，其中顯然當顯然當 時，就是連續時間傅里葉變換時，就是連續時間傅里葉變換。sjThe Laplace Transform一一. .雙邊拉氏變換的雙邊拉氏變換的定義：定義：( )( )stX sx t edt稱為稱為 的的雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換，其中，其中 。 ( )x tsj若若 ， 則有則有: :0sj()( )j tXjx t edt 這這就是就是 的傅里葉變換的傅里葉變換。( )x t表明：表明：連續時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換連續時間

4、傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在在 或是在或是在 軸上的特例。軸上的特例。0j( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于 所以所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的的拉氏變換就是拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合的傅里葉變換。只要有合適的適的 存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明明拉氏變換比傅里葉變換有更廣

5、泛的適用性。拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。( )x tte( )tx t e( )( )atx teu t例例1.()001( )atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 時，積分收斂。時，積分收斂。當當 時，時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 顯然，在顯然，在 時，拉氏變換收斂的區域為時，拉氏變換收斂的區域為 ，包括了，包括了 （即（即 軸）。軸）。0aRe sa 0j比較比較 和和 ，顯然有，顯然有 ()X j( )X s( )()sjX sX j當當 時，時，( )( )( )atx teu tu

6、 t0a 1( )u ts可知可知Re 0s 例例2.( )()atx teut 00()1( )atsts a tX se e dtedts a Re sa 與例與例1.比較，區別僅在于收斂域不同。比較，區別僅在于收斂域不同。由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出: :1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上平面上的任何復數都能使拉氏變換收斂。的任何復數都能使拉氏變換收斂。2. 使拉氏變換積分收斂的那些復數使拉氏變換積分收斂的那些復數 S的集合，稱的集合，稱為拉氏變

7、換的收斂域為拉氏變換的收斂域 。拉氏變換的收斂域拉氏變換的收斂域 ROC （Region of Convergence）對拉氏變換）對拉氏變換是非常重是非常重要的概念。要的概念。3. 不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。式，只是它們的收斂域不同。j()( )s jX jX s5. 如果拉氏變換的如果拉氏變換的ROC包含包含 軸，則有軸，則有4. 只有拉氏變換的表達式連同相應的收斂域，才只有拉氏變換的表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關系能和信號建立一一對應的關系。二二. . 拉氏變換的拉氏變換的ROC及零極點圖

8、：及零極點圖：2( )( )( )ttx te u te u t例例3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2j可見：可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。分。ROC總是以平行于總是以平行于 軸的直線作為邊界的，軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的邊界總是與 的分母的根相對應的。的分母的根相對應的。j( )X sRe 1s 若若 是有理函數是有理函數( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ssj2121123( ),1232sX

9、sssss 分子多項式的根稱為分子多項式的根稱為零點零點，分母多項式的根，分母多項式的根稱為稱為極點極點。 將將 的全部零點和極點表示在的全部零點和極點表示在S平面上，平面上，就構成了就構成了零極點圖零極點圖。零極點圖及其收斂域可以。零極點圖及其收斂域可以表示一個表示一個 ，最多與真實的，最多與真實的 相差一個常相差一個常數因子數因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法零極點圖是拉氏變換的圖示方法。9.2 拉氏變換的收斂域拉氏變換的收斂域可以歸納出可以歸納出ROC的以下性質：的以下性質：The Region of Convergence for L

10、aplace Transformsj4. 右邊信號的右邊信號的ROC位于位于S平面平面內一條平行于內一條平行于 軸的直線的右邊。軸的直線的右邊。3. 時限信號的時限信號的ROC是整個是整個 S 平面。平面。2. 在在ROC內無任何極點。內無任何極點。j1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 軸的帶形區域。軸的帶形區域。0( )tTx t edt 若若 ，則，則101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收斂域內。也在收斂域內。 若若 是右邊信號是右邊信號, , , , 在在ROC內內，則有則有 絕對可積，即：

11、絕對可積，即：00( )tx t e( )x tTt 5. 左邊信號的左邊信號的ROC位于位于S平面內一條平行于平面內一條平行于 軸的直線的左邊。軸的直線的左邊。j 若若 是左邊信號，定義于是左邊信號，定義于 , 在在 ROC 內，內， ，則，則100( )x t(,T0101()( )( )TTtttx t edtx t eedt100()( )TTtex t edt 1表明表明 也在收斂域內。也在收斂域內。6. 雙邊信號的雙邊信號的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面內平面內平行于平行于 軸的帶形區域。軸的帶形區域。j0()()0( )11TatstTs a ts a TX s

12、eedtedtesa例例1.( )x t ate0其它其它0tT t考查零點，令考查零點，令()1s a Te 有極點有極點sa ( )X s 顯然顯然 在在 也有一階零點，由于零極也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個點相抵消，致使在整個S平面上無極點。平面上無極點。sa ( )X s2sajkT 得得（k為整數）為整數） 當當 是有理函數時，其是有理函數時，其ROC總是由總是由 的的極點分割的。極點分割的。ROC必然滿足下列規律：必然滿足下列規律：( )X s( )X s3. 雙邊信號的雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區域。的帶形區域。( )X s

13、2. 左邊信號的左邊信號的ROC一定位于一定位于 最左邊極點最左邊極點的左邊。的左邊。( )X s1. 右邊信號的右邊信號的ROC一定位于一定位于 最右邊極點最右邊極點的右邊。的右邊。例例3.21( )321112X sssss可以形成三種可以形成三種 ROC：1) ROC：2) ROC：3) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此時此時 是是右邊信號右邊信號。( )x t此時此時 是是左邊信號左邊信號。( )x t此時此時 是是雙邊信號雙邊信號。The Inverse Laplace Transform 一一. .定義：定義： 由由( )( )stX sx t e

14、dt若若 在在ROC內，則有內，則有:sj()( ) ( )tj ttXjx t eedtx t eF1( )()2tj tx t eXjed11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d9. 3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 當當 從從 時時, , 從從sjj 由由sjdsjd得得 拉氏反變換表明拉氏反變換表明: : 可以被分解成復振幅為可以被分解成復振幅為 的復指數信號的復指數信號 的線性組合。的線性組合。( )x t1( )2X s dsjste1( )( )2jstjx tX s e dsj 的反變換的反變換( )X s二二. .拉氏反變換的求法拉氏反變換的求法

15、: : 對有理函數形式的對有理函數形式的 求反變換一般有兩種方求反變換一般有兩種方法法, ,即即部分分式展開法部分分式展開法和和留數法留數法。( )X s 1. 將將 展開為部分分式。展開為部分分式。( )X sv 部分分式展開法：部分分式展開法：3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質,對每一項進行反變換。對每一項進行反變換。( )X s2. 根據根據 的的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC 。1,2ss 極點：極點：確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。1( )(1)(2)X sss例例1.右邊信號右邊信號1

16、2j左邊信號左邊信號12j雙邊信號雙邊信號12j例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1s 11( )12Xsss1: Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC( )2tseu ts 2( )( )()ttx teu te ut 1. 求出求出 的全部極點。的全部極點。( )X sv 留數法留數法（當（當 是有理函數時）：是有理函數時）：( )X s( )stX s e( )x t3. 求出求出 在在 ROC 右邊的所有極點處的留右邊的所有極點處的留數之和，并加負號，它們構成了數之和，并加負號，它們構成了 的反因果的反因果部分。部分。( )stX s e( )x t2. 求出求出 在在 ROC 左邊的所有極點處