1、HarbinInstituteofTechnology實驗報告課程名稱：隨機信號分析院系：電子與信息工程學院班級：姓名：學號：指導教師：實驗時間：實驗一、各種分布隨機數的產生1 .均勻分布隨機數的產生原理產生偽隨機數的一種實用方法是同余法，它利用同余運算遞推產生偽隨機數序列。最簡單的方法是加同余法yn1=ync(modM)yn1_M為了保證產生的偽隨機數能在0,1內均勻分布，需要M為正整數，此外常數c和初值y0亦為正整數。加同余法雖然簡單，但產生的偽隨機數效果不好。另一種同余法為乘同余法，它需要兩次乘法才能產生一個0,1上均勻分布的隨機數yn1yn1=ayn(modM)Xn1二M式中，a為正整

2、數。用加法和乘法完成遞推運算的稱為混合同余法，即yn1yn1=aync(modM)Xn.1=M用混合同余法產生的偽隨機數具有較好的特性，一些程序庫中都有成熟的程序供選擇。常用的計算語言如Basic、C和Matlab都有產生均勻分布隨機數的函數可以調用，只是用各種編程語言對應的函數產生的均勻分布隨機數的范圍不同，有的函數可能還需要提供種子或初始化。Matlab提供的函數rand()可以產生一個在0,1區間分布的隨機數，rand(2,4)則可以產生一個在0,1區間分布的隨機數矩陣，矩陣為2行4歹限Matlab提供的另一個產生隨機數的函數是random('unif,a,b,N,M),unif

3、表示均勻分布，a和b是均勻分布區間的上下界，N和M分別是矩陣的行和列。2 .隨機變量的仿真根據隨機變量函數變換的原理，如果能將兩個分布之間的函數關系用顯式表達，那么就可以利用一種分布的隨機變量通過變換得到另一種分布的隨機變量。若X是分布函數為F(x)的隨機變量，且分布函數F(x)為嚴格單調升函數，令Y=F(X),則Y必為在0,1上均勻分布的隨機變量。反之，若Y是在0,1上均勻分布的隨機變量，那么X=Fx(Y)即是分布函數為FX(x)的隨機變量。式中FX1()為Fx()的反函數。這樣，欲求某個分布的隨機變量，先產生在0,1區間上的均勻分布隨機數，再經上式變換，便可求得所需分布的隨機數。3 .高斯

4、分布隨機數的仿真廣泛應用的有兩種產生高斯隨機數的方法，一種是變換法，一種是近似法。如果X1,X2是兩個互相獨立的均勻分布隨機數，那么下式給出的Y1,Y2jYi=o；-2lnXicos(2ttX2)+m丫2=-J-2lnXsin(271X2)+m便是數學期望為m方差為1的高斯分布隨機數，且互相獨立，這就是變換法另外一種產生高斯隨機數的方法是近似法。在學習中心極限定理時，曾提到n個在0,1區間上均勻分布的互相獨立隨機變量Xi（i=1,21）,當n足夠大時，具和的分布接近高斯分布。當然，只要n不是無窮大，這個高斯分布是近似的。由于近似法避免了開方和三角函數運算，計算量大大降低。當精度要求不太高時，近

5、似法還是具有很大應用價值的。4 .各種分布隨機數的仿真有了高斯隨機變量的仿真方法，就可以構成與高斯變量有關的其他分布隨機變量，如瑞利分布、指數分布和？2分布隨機變量。（二）實驗目的在很多系統仿真的過程中，需要產生不同分布的隨機變量。利用計算機可以很方便地產生不同分布的隨機變量，各種分布的隨機變量的基礎是均勻分布的隨機變量。有了均勻分布的隨機變量，就可以用函數變換等方法得到其他分布的隨機變量。（三）實驗結果高斯分布隨機數-50052x10"/分布隨機數附：源程序subplot(2,2,1);x=random('unif,2,5,1,1024);plot(x);t田e('

6、均勻分布隨機數')subplot(2,2,2);G1=random('Normal',0,1,1,20000);plot(G1);title('高斯分布隨機數')subplot(2,2,3);G2=random('Normal',0,1,1,20000);R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2);plot(R);title('瑞利分布隨機數')subplot(2,2,4);G3=random('Normal',0,1,1,20000);G4=random('Normal',0,1,1,20

7、000);X=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;plot(X);title('xA2分布隨機數')實驗二、隨機變量檢驗1、均值的計算在實際計算時，如果平穩隨機序列滿足各態歷經性，則統計均值可用時間均值代替。這樣，在計算統計均值時，并不需要大量樣本函數的集合，只需對一個樣本函數求時間平均即可。甚至有時也不需要計算Ntg時的極限，況且也不可能。通常的做法是取一個有限的、計算系統能夠承受的N求時間均值和時間方差。根據強調計算速度或精度的不同，可選擇不同的算法。n設隨機數序列xi,x2，,xn,一種計算均值的方法是直接計算下m=上£咒Nn式中，xn為隨機

8、數序列中的第n個隨機數。另一種方法是利用遞推算法，第n次迭代的均值也亦即前n個隨機數的均值為mnMnmnJxn=mn+1(xn-mn)迭代結束后，便得到隨機數序列的均值nnnm=mN遞推算法的優點是可以實時計算均值，這種方法常用在實時獲取數據的場合。n當數據量較大時，為防止計算誤差的積累，也可米用m=mi+£僅-mJ式Nn：中，mi是取一小部分隨機數計算的均值。2、方差的計算計算方差也分為直接法和遞推法。仿照均值的做法21,N221”22二-二不'(xn-m);u7y'xn-mNnziNnd方差的遞推算法需要同時遞推均值和方差1/、_2n-1p_21,、2“mn=mn

9、一(xn-mn二)；-n=；-n1一一mn/)nnn迭代結束后，得到隨機數序列的方差為二-2=；n其它矩函數也可用類似的方法得到。3、統計隨機數的概率密度直方圖假定被統計的序列x(n)的最大值和最小值分別為a和b。將(a,b)區間等分M(M應與被統計的序列x(n)的個數N相適應，否則統計效果不好。)份后的區間小,(b-a)、,(b-a)2*(b-a)、為(a,a+-),(a+-,a+-),，MMM(b-a)(i-1)2*(b-a)*i(b-a)(M-1)(a.,a.)，(a.,b)。用f，表小MMM序列x(n)的值落在(a+(ba)(iNa+2*(ba)*i)區間里的個數，統計序列MMx(n)

10、的值在各個區間的個數f(i),i=0,2,，M-1,則f就粗略地反映了隨機序列的概率密度的情況。用圖形方式顯示出來就是隨機數的概率密度直方圖。(二)實驗目的隨機數產生之后，必須對它的統計特性做嚴格的檢驗。一般來講，統計特性的檢驗包括參數檢驗、均勻性檢驗和獨立性檢驗等。事實上，我們如果在二階矩范圍內討論隨機信號，那么參數檢驗只對產生的隨機數一、二階矩進行檢驗。我們可以把產生的隨機數序列作為一個隨機變量，也可以看成隨機過程中的一個樣本函數。不論是隨機變量還是隨機過程的樣本函數，都會遇到求其數字特征的情況，有時需要計算隨機變量的概率密度直方圖等。（三）實驗結果3000502460均勻分布隨機數直方圖

11、1001500100050005高斯分布隨機數直方圖2000瑞利分布隨機數直方圖15002000100010000*20246/分布隨機翻直方圖2000r500°202040士Meanl土Mean2土MeanSFhMean4田田田田VariancelVariance2Variance3.5197-0.00711.25453.99370.77191.0056043158*0490附：源程序subplot(2,2,1);x=random('unif,2,5,1,1024);hist(x,2:0.2:5);title('均勻分布隨機數直方圖');s1=0forn1=

12、1:1024s1=x(n1)+s1;endMean1=s”1024;t1=0forn1=1:1024t1=(x(n1)-Mean1)A2+t1;endVariance1=t11024;subplot(2,2,2);G1=random('Normal',0,1,1,20000);hist(G1,-4:0.2:4);title('高斯分布隨機數直方圖');s2=0forn2=1:20000s2=G1(n2)+s2;endMean2=s220000;t2=0forn2=1:20000t2=(G1(n2)-Mean2)A2+t2;endVariance2=t220000

13、;subplot(2,2,3);G2=random('Normal',0,1,1,20000);R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2);hist(R,0:0.2:5);title('瑞利分布隨機數直方圖');s3=0forn3=1:20000s3=R(n3)+s3;endMean3=s320000;t3=0forn3=1:20000t3=(R(n3)-Mean3)A2+t3;endVariance3=t320000;subplot(2,2,4);G3=random('Normal',0,1,1,20000);G4=random('No

14、rmal',0,1,1,20000);X=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;hist(X,0:0.5:30);title('xA2分布隨機數直方圖')s4=0forn4=1:20000s4=X(n4)+s4;endMean4=s420000;t4=0forn4=1:20000t4=(X(n4)-Mean4)A2+t4;end實驗三、中心極限定理的驗證（一）實驗原理如果n個獨立隨機變量的分布是相同的，并且具有有限的數學期望和方差，當n無窮大時，它們之和的分布趨近于高斯分布。這就是中心極限定理中的一個定理。我們以均勻分布為例，來解釋這個定理。若n個隨機

15、變量Xi（i=1,2,n）都為0,1區間上的均勻分布的隨機變量，且互相獨立，當n足夠大時，其和Y=gXi的分布接近高斯分布。i1（二）實驗目的利用計算機產生均勻分布的隨機數。對相互獨立的均勻分布的隨機變量做和，可以很直觀看到均勻分布的隨機變量的和，隨著做和次數的增加分布情況的變化，通過實驗對中心極限定理的進行驗證。（三）實驗結果40123均勻分布隨機數直方圖300200100五個均勻分布之和隨機數直方圖十個均勻分布之和隨機數直方圖高斯分布隨機數直方圖0分析：隨n取值的增大，均勻分布隨機序列求和的圖形越發接近于高斯分布附：源程序X0=random('unif,0,1,1,1024);X1

16、=random('unif,0,1,1,1024);X2=random('unif,0,1,1,1024);X3=random('unif,0,1,1,1024);X4=random('unif,0,1,1,1024);X5=random('unif,0,1,1,1024);X6=random('unif,0,1,1,1024);X7=random('unif,0,1,1,1024);X8=random('unif,0,1,1,1024);X9=random('unif,0,1,1,1024);G=random('

17、normal',0,1,1,1024);Y1=X0+X1+X2+X3+X4;Y2=X0+X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9;subplot(2,2,1);hist(X0,0:0.2:2);title('均勻分布隨機數直方圖')subplot(2,2,2);hist(Y1,0:0.2:6);title('五個均勻分布之和隨機數直方圖')subplot(2,2,3);hist(Y2,0:0.2:8);title('十個均勻分布之和隨機數直方圖')subplot(2,2,4);hist(G,-4:0.2:4);title(&#

18、39;高斯分布隨機數直方圖')(一)實驗原理在實際應用中，我們可以把產生的隨機數序列看成隨機過程中的一個樣本函數。如果平穩隨機序列滿足各態歷經性，則統計自相關序列可用時間自相關序列代替。當數據的樣本數有限時，也只能用有限個數據來估計時間自相關序列，統計自相關序列的估值。若各態歷經序列X(n)的一個樣本有N個數據x(0),x(1)，x(N-1),由于實序列自相關序列是對稱的，自相關函數的估值為1N和|R(m)=N0芻X(n)X(+|m|)(二)實驗目的在隨機信號理論中，自相關函數是非常重要的概念。在實際系統仿真中也會經常計算自相關函數。通過本試驗學生可以親自動手計算自相關函數，加深對概念

19、的理解，并增強實際動手能力。(三)實驗結果分析：分別生成均值為0和1,方差為1的高斯隨機數，由圖形可以明顯看出兩者自相關函數的差異。附：源程序N=256;xn=random('norm',0,1,1,N);Rx=xcorr(xn,'biased');m=-N+1:N-1;subplot(2,1,1);plot(m,Rx);title('均值為0,方差為1的高斯分布的自相關函數');axis(-NN-1-0.51.5);N=256;xn=random('norm',1,1,1,N);Xk=fft(xn,2*N);Rx=ifft(ab

20、s(Xk)A2)/N);m=-N:N-1;subplot(2,1,2);plot(m,fftshift(Rx);title('均值為1,方差為1的高斯分布的自相關函數');axis(-NN-1-0.51.5);實驗五、功率譜密度(一)實驗原理一般把平穩隨機序列的功率譜定義為自相關序列的傅里葉變換。如果自相關X(n)的功率譜與自相關序列的關系為Sx()八Rx(m)emm-_：C,、1，C，、Rx(m)=Sx()e2*與實平穩過程一樣，實平穩序列的功率譜也是非負偶函數，即Sx()-0Sx()=Sx(-)可以證明，功率譜還可表示為N2£x(n)e"|)n-_N當x

21、(n)為各態歷經序列時，可去掉上式中的統計均值計算，將隨機序列x(n)用它的一個樣本序列x(n)代替。在實際應用中，由于一個樣本序列的可用數據個數N有限，功率譜密度也只能是估計1N1Sxm唱x(n)i式中，x()是必0的傅里葉變換。這是比較簡單的一種估計方法，這種功率譜密度的估計方法稱為周期圖方法。如果直接利用數據樣本做離散傅里葉變換，可得到x()的離散值。由于這種方法可借助FFT算法實現，所以得到了廣泛的應用。(二)實驗目的在隨機信號理論中，功率譜密度和自相關函數一樣都是非常重要的概念。在實際系統仿真中也會經常計算。通過本試驗學生可以親自動手，加深對概念的理解，并增強實際動手能力。（三）實驗

22、結果oo-4均值為0,方差為1的高斯分布的功率譜密度50100200250150f/Hz300均值為1,方差為1的高斯分布的功率清密度50100200250150(Hz300附：源程序N=256;x1=random('normal',0,1,1,N);Sx1=abs(fft(x1)A2)/N;subplot(2,1,1);plot(10*log10(Sx1);t田e('均值為0,方差為1的高斯分布的功率譜密度');xlabel('f/Hz')ylabel('SxldB')x2=random('normal',1,1

23、,1,N);Sx2=abs(fft(x2).A2)/N;subplot(2,1,2);plot(10*log10(Sx2);t田e('均值為1,方差為1的高斯分布的功率譜密度');xlabel('f/Hz')ylabel('Sx2dB')實驗六、隨機信號經過線性系統前后信號仿真（一）實驗原理需要先仿真一個指定系統，再根據需要仿真輸入的隨機信號，然后使這個隨機信號通過指定的系統。通過對實際系統建模，計算機可以對很多系統進行仿真。在信號處理中，一般將線性系統分解為一個全通放大器（或衰減器）和一個特定頻率響應的濾波器。由于全通放大器可以用一個常數代替，

24、因此線性系統的仿真往往只需設計一個數字濾波器。濾波器設計可采用MATLA蜒供的函數，也可利用相應的方法自行設計。MATLA班供了多個設計濾波器的函數，可以很方便地設計低通、帶通、高通、多帶通、帶阻濾波器。（二）實驗目的系統仿真是信號仿真處理的一個重要部分，通過該實驗要求學生掌握系統仿真的基本概念，并學會系統的仿真方法。（三）實驗結果1、低通濾波器低通濾'波喜業E00.51mxn的功率譜密度4010.201初經低通濾波器的自相關函數0.3-0120001000010002000m乂n餐低通濾波富的功率譜密度20刈的自相關圖數m乂n的功率譜密度50rO3、高通濾波器帶通濾渡器刈經帚通通流波

25、器的自相關函數0.202-2000-1000010002000m2020高通濾波器刈經高通通濾'波器的自相關函數條帶逋濾波器-0500.5111由經多帶通通濾波器的目相關由教-2000-1000010002000xn經多帚通濾波器的功率諾密度5、帶阻濾波器15帶逋濾液器10.5-051乂n的功率謂密度刈經帚逋通濾波器的自相關函數0.202-2000-10000m100020002050omp35ano汾20Hz附：源程序1 .X(n)N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('

26、;unif,0,1,1,2)*2*pi;xn=sin(2*pi*50*t+fi(1)+Nn;Rx=xcorr(xn,'biased');m=-N+1:N-1;Sx=abs(fft(xn).A2)/N;f=(-N/2:N/2-1)*fs/N;subplot(211),plot(m,Rx);xlabel('m')ylabel('Rx(m)')title('xn的自相關函數');subplot(212),plot(f,fftshift(10*log10(Sx(1:N);xlabel('f/Hz')ylabel('

27、Sx/dB')title('xn的功率譜密度');2 .低通濾波器h=fir1(100,0.4);H=fft(h,2*N);HW=abs(H).A2;Rx=xcorr(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).A2)/(2*N);Sy=Sx.*HW;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(HW(1:2*N);title('低通濾波器');subplot(3

28、12),plot(m,Ry);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經低通濾波器的自相關函數');subplot(313),plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-200200-2020);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經低通濾波器的功率譜密度');3 .帶通濾波器h=fir1(100,0.10.5);H=fft(h,2*N);HW=abs(H)A2;Rx=xcorr(xn,

29、9;biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).A2)/(2*N);Sy=Sx.*HW;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(HW(1:2*N);title('帶通濾波器');subplot(312),plot(m,Ry);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經帶通通濾波器的自相關函數');subplot(313)

30、,plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-200200-2020);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經帶通濾波器的功率譜密度');4 .高通濾波器h=fir1(100,0.6,'high');H=fft(h,2*N);HW=abs(H).A2;Rx=xcorr(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).A2)/(2*N);Sy=Sx.*HW;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-

31、N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(HW(1:2*N);title('高通濾波器');subplot(312),plot(m,Ry);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經高通通濾波器的自相關函數');subplot(313),plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-200200-2020);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經高通濾波器的功率