1、平面向量及其加減運算(基礎(chǔ))知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義2 .理解向量的幾何表示，掌握向量加、減運算，并理解其幾何意義3 .理解兩個向量共線的含義.【要點梳理】要點一、平面向量1 .有向線段：規(guī)定了方向的線段叫做有向線段.有向線段的方向是從一點到另一點的指向，這時線段的兩個端點有順序，前一點叫做起點，另一點叫做終點，畫圖時在終點處畫上箭頭表示它的方向.要點詮釋：(1) “有向線段AB'符號標(biāo)記為AB,且AB表示點B相對于點A的位置差別.(2)用兩個字母標(biāo)記有向線段時，起點字母必須寫在終點字母的前面2 .平面向量的定義及表示(1)向量：既有大

2、小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模(或向量的長度).要點詮釋：向量的兩要素：向量的大小、向量的方向數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；而向量有方向，有大小，具有雙重性，不能比較大小向量與有向線段的區(qū)別：(a)向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相等的向量；(b)有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.(2)向量的表示方法：小寫英文字母表示法：如a,b,c,等.幾何表示法：用一條有向線段表示向量，如AB,CD等.(3)向量的分類：固定向量：有大小、方向、作用點

3、的向量；自由向量：只有大小、方向，沒有作用點的向量要點詮釋：我們學(xué)習(xí)的主要是自由向量.3 .特殊的向量零向量：長度為零的向量叫零向量.單位向量：長度等于1個單位白向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量.互為相反向量：長度相等且方向相反的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又稱為共線向量).規(guī)定：0與任一向量共線.要點詮釋：(1)零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫的不同.(2)平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.(3)零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.要點二、平面向量的加法運

4、算1 .定義：求兩個向量的和向量的運算叫做向量的加法2 .運算法則：(1)三角形法則：一般來說，求不平行的兩個向量的和向量時，只要把第二個向量與第一個向量首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點、第二個向量的終點為終點的向量就是和向量.這樣的規(guī)定叫做向量的加法的三角形法則.如圖：(2)多邊形法則：一般地，幾個向量相加，可把這幾個向量順次首尾相接，那么它們的和向量是以第一個向量的起點為起點、最后一個向量的終點為終點的向量，這樣的規(guī)定叫做幾個向量相加的多邊形法則.(3)平行四邊形法則：如果a、b是兩個不平行的向量，那么求它們和向量時，可以在平面內(nèi)任取一點為公共起點，作兩個向量分別與a、6相等；再以這

5、兩個向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點為起點，作這個平行四邊形的對角線向量，則這一對角線向量就是a、b和的向量.如圖：1 .兩個向量的和是一個向量，規(guī)定a00aa.2 .可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點3 .“向量平移”(自由向量)：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加，即得到幾個向量相加的多邊形法則.4 .|a|b|ab|a|b|.探討該式中等號成立的條件，可以解決許多相關(guān)的問題.3.運算律：(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)要點三、向量的減法運算1 .定義：已知兩個向量的和及其中一個向量，求另一個向量的運

6、算叫做向量的減法2 .運算法則：在平面內(nèi)任取一點，以這點為公共起點作出這兩個向量，那么它們的差向量是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量，這樣求兩個向量的差向量的規(guī)定叫做向量減法的三角形的法則.要點詮釋：(1)減去一個向量等于加上這個向量的相反向量，即：ABADABDA而，從而用加法法則來解決減法問題.(2)向量的加法、減法的結(jié)果仍然是向量，規(guī)定aa0.(3)與AB長度相等、方向相反的向量，叫做AB的相反向量，即ABBA.【典型例題】類型一、向量的基本概念，1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由(1)向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上.(2)單位向量

7、都相等.(3)任一向量與它的相反向量不相等.【思路點撥】對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進行考慮，并且要注意這兩方面的結(jié)合.【答案與解析】解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量Xej.XC在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1,但方向不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的【總結(jié)升華】本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.舉一反三：【變式】下列命題正確的是()A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線.B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一

8、平行四邊形的四頂點c.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行【答案】C.類型二、向量的加法運算2.已知互不平行的向量a、bcd（如圖），求作abcd.【思路點撥】一般地，幾個向量相加，可把這幾個向量順次首尾相接，那么它們的和向量是以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量.【答案與解析】解：如圖，在平面內(nèi)任取一點O,順次作向量OAa,ABb,函c,CDd；再以O(shè)為起點，D終點作向量OD,則:【總解升華】OAAAA3A4AAOAn舉一反三：【變式】如圖，已知梯形ABC邛,AB/DC,點E在AB上,EC/AD.在圖中指出下列幾個向量的和向量：(1)

9、AEECCDBE(2) ABBCCEAD【答案】(1)BC(2)AC類型三、向量的減法運算解：如圖:a-b,c-d.O差向量的終點指向被,由它可以“生”成除利用向量加、減法【總結(jié)升華】兩個向量相減，表示兩個向量起點的字母必須放在一起，減向量的終點.類型四、向量加減綜合運算陟歹4.如圖所示，口ABCD的兩條對角線相交于點M,且ABa,ADb,用a,b表示MA,MB,MC,MD.【思路點撥】利用三角形法則和數(shù)乘運算，用向量法討論幾何問A題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄浚绢}的基底就是a,bAC,DB,【答案與解析】解：在口ABCD中.ACABADab,DBABADab,11-1111一1一.MA-AC-a-b,MB-DB-a-b22222211-11-1-1MC-AC-a-b,MDMBDB-a-222222【總結(jié)升華】用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運用加法三角形、平行四邊形法則，運用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)