1、選修2-1（邏輯用語·二次曲線·空間向量）教材深度反思作者：張建軍 我是河北人是我是中國人的什么條件？ 曲線與方程： 在適與適在 向量方法三部曲：轉化·運算·翻譯專題教學，步驟講解語言生動，寓教于樂重點解讀，難點突破思想方法，技巧規律 【專題一】學語文，還是學數學 談命題及其四種關系【探究一】語文中的句子是怎樣分類的？什么叫陳述句？ 答：按語氣用途分： 【探究二】什么叫命題？怎樣區分真假？答：一般地，在數學中，把可以判斷真假的陳述句叫做命題，【模式】：“誰，怎么樣”，動詞總在第二位。其中判斷為真的的語句叫做真命題：判斷為假的語句叫做假命題。【點撥】:判斷

2、一個語句是不是命題，就要看它是否符合“是陳述句”“可以判斷真假”這兩個條件。【探究三】命題的標準形式是什么？四種命題及其關系有哪些？1.命題的標準形式是什么？【標準形式】“若p,則q”，其中p叫條件，q叫結論。2. 四種命題互化及其等價關系？（1）四種命題互化關系：語言轉化原命題逆命題否命題逆否命題自然語言符號語言【點撥】：一個命題不是“若p,則q”的形式，先要化為“若p,則q”的形式，才能進行四種變換。變換后條件和結論都是陳述句，且“主語相同，謂語可不同”。（2）四種命題等價關系：原命題“ 逆否命題“” 逆命題“” 否命題“”【點撥】：）原命題與逆否命題、逆命題與否命題互為逆否命題，數學上也

3、叫做等價命，它們具有相同的真假性。）當原命題的證明較困難時，我們可以通過證明逆否命題而得到原命題的證明，這一思想在數學上叫等價轉化思想。【題型針對訓練】1. 下列不是命題的是 是無限循環小數 當=4時， 作垂直于同一直線的兩條直線平行嗎？ 一個數不是質數就是合數二次函數的圖像太美了！ 4是集合的元素2. 把下列命題寫成“若p,則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，且判斷真假：實數的平方是非負數。當=2時，。等底等高的兩個三角形是全等三角形。3.命題的否命題是 。4.命題：已知均為銳角，若,寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，且判斷真假。5.寫出下列命題的逆命題，否命題，并判斷真

4、假：若,則。當.6.命題“一元二次方程，條件p: ,結論q: , 是 （填“真”或“假 ”）命題。 7.給出下列命題：在中，若A>B,則sinA>sinB函數函數若將函數y=sin2x的圖像向左平移個單位，則得到函數y=sin(2x+)的圖象。其中正確命題的序號是 。8.已知命題甲：，命題乙：，命題丙：，命題丁：若甲真則乙為真 若乙真則丙為真 若丙真則丁為真 若丁真則甲為真說法正確的是 。【專題二】我是河北人，我是中國人？ 三種語言解讀充分、必要、充要條件【探究一】充分、必要、充要條件深度解讀：定義：p 是q的充分條件，q 是p的必要條件：（自然語言）“”為真命題（符號語言）（集合

5、語言）(已知)【探究二】三種語言轉化：1. 出現（真）命題怎么辦？【解讀】 “”為真命題，其中p為條件，q為結論，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件2. 出現“是”字怎么辦？【解讀】p 是q的充分條件:p在是的左邊，q在是的右邊，那么；p是q的必要條件，p在是的左邊，q在是的右邊，那么;p是q的充要條件，那么，即。3.出現“箭頭”（）怎么辦？【解讀】：p在箭頭左邊，q在箭頭右邊，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件；：出現雙箭頭，那么p與q互為充要條件。4.出現“范圍”怎么辦？【解讀】：A的范圍小，B的范圍大，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件：A=B：范圍相等，那么p與

6、q互為充要條件。例如：我是河北人是我是中國人的充分條件；我是中國人是我是河北人的必要條件；【探究三】六種條件詳解：p 是q充分條件p 是q充分不必要條件p 是q必要條件p 是q必要不充分條件P是q的充要條件p 是q既不充分也不必要條件“若p,則q”為真命題“若p,則q”為真命題；“若q則p”為假命題“若q,則p” 為真命題若q,則p” 為真命題; “若p,則q” 為假命題“若p,則q”為真命題；“若q,則p” 為真命題“若p,則q”為假命題；“若q則p”為假命題且且且 （子集） （真子集） （子集） （真子集）A=B（相等）且【備注】解題原則：先化簡，后運算 用符號語言解題 注意三種語言的等價

7、轉化【針對訓練】1.下列各題中p是q的什么條件：p:四邊形的對角線互相平分,q:四邊形是矩形p:x=1或x=2,q: p:在中，A，q:sinAp:m>0, q: 2.已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是 。s是q的充分條件 p是q充分不必要條件 r是q的必要不充分條件 r是s的充分不必要條件3.b=0是函數f(x)= 條件。4.a<0是方程至少有一個負數根的 條件。5.已知a,b都是實數，那么“”是a>b的 條件。6.若aR,則“a=2”是”“(a-1）(a-2)=0”的 條件。【專題三】復合命題“或”、“且”、

8、“非”談簡單邏輯連接詞【探究一】命題的分類？按邏輯結構【探究二】分類解讀：1.“或”（or）字命題:有“或此、或彼、或兼”三種意思。記作 ，讀作“p或q”。類比理解：）與集合中的并集()運算具有一致性。）與物理電學中的并聯電路閉合與斷開相對應。真假判斷：（8字口訣記憶）“同假則假，有真則真”2.“且”(and)字命題：“既又”（同時成立）記作pq,讀作“p且q”。類比理解：）與集合中的交集()運算具有一致性。）與物理電學中的串聯電路閉合與斷開相對應。真假判斷：（8字口訣記憶）“同真則真，有假則假”3.“非”（not）字命題：“不是、不對、不會”記作,讀作: “非p”或“p的否定” 真假判斷：“

9、一真一假，互為補集，去偽存真” 常用量詞的否定如下表：詞語是一定都是或=><任意的所有的詞語的否定不是一定不不都是且某個某些【探究三】“命題的否定”和否命題的區別： 命題的否定：只否定結論，不否定條件，不必寫成“若p,則q”的標準形式，直接否定謂語動詞即可。 否命題：必須先寫成“若p,則q”的標準形式，然后既否定條件，又否定結論。【舉例】寫出“對頂角相等“的否定形式和否命題：否定形式： 。否命題： 。【題型針對訓練】1命題的否定是 。2.“a和b都是偶”的否定形式是（ ）Aa和b至少有一個是偶數 B. a和b至多有一個是偶數 C.a是偶數，b不是偶數 D.a和b都是偶數3.某食品的

10、廣告詞為“幸福的人都擁有”初聽起來，似乎是贊美詞，然而它的實際意義等價于（ ）A不擁有的人不一定幸福 B.不擁有的人可能不幸福C擁有的人們不一定幸福 D.不用有的人們不幸福4.寫出下列命題的否定形式及否命題并判斷真假：若 若 若 若 ABC是等腰直角三角形矩形的對角線互相平分且相等 5.若命題p: ( )A. 6. 已知命題：函數的值域為；命題：函數在上是減函數。若是真命題，是假命題，則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D.7若命題“”為假，且“”為假，則（ ） A或為假 B假 C真 D不能判斷的真假8將原命題及其逆、否、逆否命題分別設為A，B，C，D，則下列說法錯誤的是( ).AA是B

11、成立的充分條件BB是C成立的必要條件CD是A成立的充要條件D若AB為真，則CD也為真9.若命題：關于的不等式的解集是，命題：關于的不等式 的解集是。則在命題“”“”“非”“非”中，是真命題的是 。【專題四】比較法學習全稱命題和特稱命題“有比較才有鑒別”，學習相似的東西若采取比較法，搞清區別和聯系，往往事半功倍，直達目的，關于全稱命題和特稱命題列表比較如下（表一）：比較項目全稱命題特稱命題量詞（）任意的、所有的、一切、每一個、任給、凡是、全體、所有的都是（）存在一個、至少有一個、有些、有一個、對某個、有的、存在一個不是命題格式對M中任意一個,有p()成立存在M中的元素，使p()成立關系互為否定，

12、一真一假，互為否定，一真一假，變換 真假判斷全稱命題舉反例特稱命題舉實例（表二）常用量詞的否定形式比對表：關鍵詞否定詞關鍵詞否定詞等于不等于任意的（）存在一個（）大于不大于（或小于等于）存在不存在小于不小于（或大于等于）至多有一個至少有兩個是不是至多有n個至少有n+1個一定是一定不是至少有一個一個也沒有都是不都是（至少有一個不是）至少有n個至多有n-1個必有一個一個也沒有所有成立存在一個不成立【題型針對訓練】1. 寫出下列命題的否定，并判斷真假 對任意實數，. 每個正方形都是平行四邊形. 2. 分別寫出由下列命題構成的“”“ ”“”式的新命題，并判斷真假.（1）是無理數.不是無理數.（2）方程

13、有兩個相等的實根. 方程兩根絕對值相等.3.用符號“”“”表示下列含有量詞的命題. (1) 自然數的平方大于零。 （2）圓上任一點到圓心距離是 （3）存在一對整數，使得。 （4）存在一個無理數，它的立方是有理數。4.“”是“一元二次方程”有實根的 條件； 的必要不充分條件是 A B C D 5. 下列命題中，是真命題的是_ xR，x0；xR，x2x1<0；xR，|x|>x至少有一個整數，它既不是合數，也不是素數；xx|x是無理數，是無理數6. 設命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.7設命題p：實數x滿足x24ax3a2<0，其中a>0，命題q：實數x

14、滿足 (1)若a1，且pq為真，求實數x的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍8.設有兩個命題：的解集為；是減函數。若這兩個命題有且只有一個是真命題，求實數的取值范圍。【專題五】要敢于摘取皇冠上的明珠求參數的取值范圍題探幽俗話說，“成功一百九十半”。學習本章，若不會求參數的取值范圍，則相當于放棄了皇冠上的明珠。由于本章聯系前后知識較多，希望大家溫故而知新，不斷復習舊知識，今從三個方面談一下這類題的解題方法。一【解題原則：】先化簡，后運算 (溫故而知新/不斷復習舊知識)用符號語言解題 （符號語言指數與式、函數、方程、不等式）注意三種語言的等價轉化（自然語言圖形語言符號語言）參

15、數的取值范圍求交還是求并（小心參數的原始范圍）二【出題角度】：【題型一】：1. 利用命題的等價關系及充分、必要條件解題：【解讀】命題的等價關系：原命題逆否命題；逆命題否命題命題與條件的轉化關系：若p，則q為真命題（自然語言）pq（符號語言） P是q的充分條件，q是P必要條件【特別提示】：.等價命題具有相同的真假性,當原命題的判斷較困難時,我們可以通過判斷等價命題而得到原命題的真假性。（課本原話28頁）已知定義或自然語言都要轉化為符號語言解題，具有簡潔美。例題講解：1.設命題；命題；若是的充分不必要條件，求的范圍。解：由p得：，解之得： (先化簡)由q得：即（先化簡)由題得：，那么p的范圍是q的

16、范圍的真子集(口訣)故，即 ， 所以，的范圍為【題型二】：2. 利用p、q、非p、非q、pq、pq之間的真假關系解題： pq的真假由p、q決定：(口訣：同真則真，有假則假)【解讀】：）pq為真包括p真q真一種情況;）pq為假包括p真q假、p假q真、p假q假三種情況。 pq的真假由p、q決定：(口訣：同假則假，有真則真) 【解讀】：）pq為真包括p真q假、p假q真、p真q真三種情況，用自然語言可以說：“p,q至少有一個是真命題”，兩者等價。）pq為假包括p假q假一種情況。 非p的真假性由p決定：非p與p一真一假，互為補集，做題時要去偽存真，切記！切記！ 【特別注意】已知：“pq為真，pq為假”兩

17、個條件同時滿足時，共有9種情況，最終符合條件的有兩種即：p與q一真一假。分p真q假和p假q真兩種情況進行分類討論，結果取并集。用自然語言可以說：“p,q有且只有一個是真命題”， 兩者等價。例題講解.命題解集為。命題函數為增函數. 已知“”與“ ”一真一假，求的范圍。解：由p得：<0(自然語言圖形語言符號語言)即，解之得： (先化簡)由q得：，解之得 (先化簡)由“”與“”一真一假，可知p與q一真一假。）當p真q假時，有 ， 即）當p假q真時，有， 即綜上所述：a的取值范圍是：。【題型三】：利用全稱命題和特稱命題之間的關系求參數的取值范圍 例題講解：已知命題1,2，命題，若命題pq為真命題

18、，求實數a的取值范圍。解：由pq為真命題，知p真q真，若p真，則，對于恒成立，所以，若q真，則關于的方程等價于：=即綜上所述a的取值范圍是：。（具體求參數取值范圍請參閱必修五第14頁）【高考指南】拋物線是高考熱點考察內容之一，一般以選擇題為主，高考多拋物線的考察主要有（1）拋物線標準方程的計算，（2）拋物線準線的運用、焦點弦、最值、參數范圍等問題（3）拋物線與直線、圓錐曲線的綜合考察。【高考指南】橢圓既是圓錐曲線的重要內容，也是高考的重要內容。高考中一般主觀題和客觀題都有考察，分值17分左右。高考對橢圓的考察主要有（1）橢圓標準方程的計算，(2)求橢圓的離心率（3）橢圓與直線、圓錐曲線的綜合考

19、察。備考時注意注重“三基”訓練，重點掌握定義和性質，尋求合理的運算方案，得到簡化運算的基本途徑和方法。【題型針對訓練】1.已知命題 為實數，命題，若命題至少有一個是真命題，求實數的取值范圍 。2.已知有兩個不等的負根。無實根。若一真一假，求的范圍。3.已知； 若是的充分不必要條件，求實數的范圍。4.命題甲：關于x的不等式：函數（1）.甲乙至少有一個是真命題。（2）.甲乙有且只有一個是真命題。分別求符合（1）(2)的實數a的取值范圍。5.設p: q: 若p是q的充分不必要條件，求a的取值 范圍。6.已知命題p:lg命題q: 若p是真命題，q是假命題，求實數的取值范圍。7. 已知命題p：函數f(x

20、)log2m(x1)是定義域上的增函數，命題q：xR，x2mx10.(1)寫出命題q的否定 q；并求出m的取值范圍，使得命題 q為真命題；(2)如果“pq”為真命題，“pq”為假命題，求實數m的取值范圍8.已知a>0,且a1，設p:lg在（0，+）上單調遞減，q: 的圖像與x軸交于不同兩點，如果pq為真，pq為假，求a的取值范圍。9. 已知命題p：實數x滿足，q:實數x滿足10. 已知命題p: 命題q:恒成立，如果pq為真，pq為假，求a的取值范圍。11.已知集合, B=，若,求m的取值范圍。熟能生巧，百煉成鋼，學習數學從提高計算能力開始！【專題六】曲線與方程的關系求曲線的方程之方法面面

21、觀【探究一】什么叫解析幾何？解析幾何研究問題的方法是什么？解析幾何研究那兩類問題？【答】解析幾何是用代數方法（坐標法）來研究幾何問題的一門學科。解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示曲線的方程。（2）通過曲線的方程，研究曲線的幾何性質。【探究二】曲線與方程的關系四字秘訣：符合以上兩點，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。【探究三】求曲線（軌跡）的方程常見六種方法：方法1直接法（也叫五步法) 建系設點p(x,y)(注意點的任意性) 等量找尋（注意用符號語言）坐標代換（坐標表示點，線段，曲線）整理化簡（得到標準形式）檢驗剔除（在適、適在檢驗，剔除不合題意的點）【點撥】本

22、方法是一般方法，適合所有題型，不論曲線已知還是未知。舉例：如圖，設，的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程方法2待定系數法： 設出方程，（設出已知曲線標準方程，注意焦點位置，確定待定系數） 找等量關系（通過定義、定理、代入法、幾何關系,列出關于待定系數方程組）， 得出方程（解關于待定系數方程組，求出待定系數，代入方程,）【點撥】本方法僅適合已知曲線，設方程時要分清焦點的位置（x軸，y軸），還要注意巧妙的設出一些曲線系方程，其數學思想是方程思想，一定要注意：有幾個待定系數必須找出幾個獨立條件，列出幾個方程，才能求出對應系數，一定要挖掘完條件。舉例：求中心在原點，且過兩點

23、(,2),(,-8)兩點 的雙曲線的標準方程。方法3定義法：【類型1】）如果能夠確定動點的軌跡滿足某一曲線的定義，則可根據曲線的定義，直接寫出方程。）如果動點的軌跡與圓錐曲線有關，則可運用圓錐曲線定義求出動點的軌跡方程。具體步驟如下：根據不同的曲線的定義（自然語言）找到定義中包含的幾何等量關系（符號語言）根據幾何等量關系確定基本量系數（a、b、c、r）代入系數得出標準方程（注意焦點位置對應不同方程）舉例：1.已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10，求它的標準方程。2. 已知定圓x2+y2-6x-55=0，動圓M和已知圓內切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程

24、3. 求與圓和圓都外切的圓的圓心軌跡方程。方法4相關點法：已知一動點A的運動軌跡，所求的動點p(x,y)隨著點A的運動而運動，則點A叫做點P的相關點，根據點A與點P的坐標間的關系，用表示(x,y)，代入已知點A的軌跡，整理化簡，就可得到點P的軌跡方程。具體步驟如下： 設點坐標（已知點設為，所求點設為(x,y)） 等量找尋（尋找坐標與(x,y)之間的等量關系） 反解代換（用含(x,y)的式子表示） 代入（已知）軌跡 整理化簡（得到標準形式） 檢驗剔除（根據題意，剔除不合題意的點）舉例：在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？【點撥】【專題七】待定系數法求

25、方程【專題八】橢圓標準方程及其性質知識點大全一. 教學內容：橢圓的定義、標準方程及幾何性質 二. 本周學習目標 掌握橢圓的定義，標準方程，能根據條件利用待定系數法求橢圓的方程，掌握橢圓的幾何性質。了解橢圓的參數方程，能根據方程討論曲線的性質，了解橢圓的一些實際應用，掌握直線與橢圓的位置關系的判斷方法，能夠正確熟練地解決直線和橢圓的位置關系的一些問題。 三. 知識點精析（一）橢圓的定義1、第一定義：平面內與兩個定點為F，F的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。特別地，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡

26、。 （二）橢圓的標準方程及幾何性質1、標準方程是指中心在原點，坐標軸為對稱軸的標準位置的橢圓方程。 中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標準方程參數方程為參數)為參數)圖 形  頂 點對稱軸軸，軸；短軸為，長軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，橢圓越扁）準 線通 徑（為焦準距）焦半徑焦點弦僅與它的中點的橫坐標有關僅與它的中點的縱坐標有關焦準距說明：方程中的兩個參數a與b，確定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定型條件，焦點F，F的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標準方程的類型，常數a，b，c都大于零，其中a最大且a=b+c2、橢圓焦點三角形：設P為橢圓上任意一

27、點，F，F為焦點且FPF，則PFF為焦點三角形，Sbtan。3、方程表示橢圓的充要條件是：ABC0，且A，B，C同號，AB。AB時，焦點在y軸上，AB時，焦點在x軸上。4、弦長公式：x，x分別為弦PQ的橫坐標，弦PQ所在直線方程為y=kx+b，代入橢圓方程整理得Ax2+Bx+C=0，則，若y，y分別為弦PQ的縱坐標，則，5、直線與橢圓的位置關系：設直線l的方程為：Ax+By+C=0，橢圓（ab0），組成方程組，消去y(或x)利用判別式的符號來確定。若>0則直線與橢圓有兩個交點，若=0則直線與橢圓有一個交點，若<0則直線與橢圓沒有交點。6、斜率為k的弦的中點軌跡方程：設弦PQ的端點為

28、P(x，y)，Q(x，y)，中點為M（x，y），把P，Q的坐標代入橢圓方程后作差相減用中點公式和斜率公式可得（橢圓內不含端點的線段）7、設P（x，y）是橢圓（ab0）上一點，則過P點的切線方程是：8、點P和橢圓（ab0）的關系：（1）點P（x，y）在橢圓外>1，（2）點P（x，y）在橢圓上1，（3）點P（x，y）在橢圓內<19、橢圓（ab0）按（x，y）平移得（它的中心、對稱軸、焦點、準線方程都按（x，y）作了相應的平移。）考點指要在歷年的高考數學試題中，有關圓錐曲線的試題所占的比重約占試卷的15%左右，且題型，數量，難度保持相對穩定：選擇題和填空題共2道題，解答題1道，選擇題和填

29、空題主要考查圓錐曲線的標準方程，幾何性質等；解答題往往是以橢圓，雙曲線或拋物線為載體的有一定難度的綜合題，問題涉及函數，方程，不等式，三角函數，平面向量等諸多方面的知識，并蘊含著數學結合，等價轉化，分類討論等數學思想方法，對考生的數學學科能力及思維能力的考查要求較高。近幾年解答題注意了控制運算量，增加了思維容量，即邏輯思維，數學思維的考查容量有所增加，運算能力的考查略有下降。主要考查：圓錐曲線的概念和性質；直線與圓錐曲線的位置關系；求曲線的方程；與圓錐曲線有關的定值問題，最值問題，對稱問題，范圍問題等。曲線的應用問題，探索問題以及圓錐曲線與其它數學內容的交匯問題也將是高考命題的熱點。 

30、;【專題九】雙曲線相關知識點講解大全 (一)雙曲線的定義及雙曲線的標準方程：1. 雙曲線定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲 線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。 ()注意： (二)雙曲線的簡單幾何性質標準方程圖形如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上.性質焦點，焦距范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點（,0） (,0)(0,) (0,)軸長實軸長為,虛軸長為焦點在實軸上，；焦距：離心率1)漸近線方程 (三)焦點三角形的面積 雙曲線標準方程: xyAB (四)通徑 雙曲線標準方程: (五) 離心率與漸近線之間的

31、關系 （1） （2） （六）雙曲線的方程與漸近線方程的關系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.(4)與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是(5)與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是（七）等軸雙曲線：離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；(八)直線與雙曲線的位置關系：直線： 雙曲線C：（0，0） （1) 當，即時，直線與雙曲線的漸進線_平行_，直線與雙曲線C相交于一點； （2) 當，即時，1 時，直時，直線與雙曲線相切，有且僅有一個公共點2 時，直線與雙曲線相離，無公共點（3

32、) 直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線必相切嗎?為什么?（不一定） （九）相交弦AB的弦長3 線與雙曲線相交，有兩個公共點直線： 雙曲線C：（0，0）1 聯立方程法： 設交點坐標為,，則有,以及，在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如弦長公式： （含x的方程） （含y的方程） （十）圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。 中點為的弦的斜率k的求法:設弦AB的端點為，把A,B的坐標代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得: ，公式變形求。 斜率為k的弦的中點軌跡方程求法：:設弦AB的端點為，把A,B的坐標代入雙曲線方程后，作差相減用

33、中點公式和斜率公式可得: .雙曲線標準方程: ，以為中點的弦所在直線的斜率雙曲線標準方程: ，以為中點的弦所在直線的斜率【針對訓練】：1、已知F1,F2為定點，則動點A的軌跡是（） A.焦點為F1，F2的雙曲線B.不存在C.以F1，F2為端點且方向相反且無公共點的兩條射線D.以上都有可能2、已知動點P滿足|PA|-|PB|=8，其中A（0，-5），B（0，5）則P的軌跡方程是（ ） A. B. C.（x4） D.（y4）3、雙曲線的焦點坐標為（ ）A（-5,0），（5,0） B（-6,0），（6,0） C.（0,-1），（0,1） D.（-,0），（,0）4、雙曲線過焦點F1的弦AB的長為m，

34、另一焦點為F2，則ABF2的周長為 （ ）A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 5、已知方程表示雙曲線，則k的取值范圍是（ ）A.-1<k<1B.k>0C.k0D.k>1或k<-16、雙曲線的焦距是（ ）A.10B.-1C.D. 27、雙曲線的焦距是（ ）A.4B.2C.8D.與有關8、焦點分別為，且經過點，則雙曲線的標準方程為 9、雙曲線y2-4x2=64上一點P到它的一個焦點的距離等于1，則P到它的另一個焦點的距離等于為 10、已知定點A、B，且|AB|=4，動點P滿足|PA|-|PB|=3，則|PA|的最小值是 11、雙曲線和橢圓有共同的焦

35、點，則 12、雙曲線的一個焦點為，則的值為_ 。【專題十】活用【定義法】巧解題【專題十一】登峰造極,唯我獨尊談直線和雙曲線的位置關系之（1）聯立方程法直線與雙曲線的位置關系題型包括判斷交點個數判斷相切、相交、相離三種位置關系求弦長及三角形面積等問題；用到的思想是數形結合思想，方法是聯立方程法，具體做法如下：a) 聯立方程： 直線： 雙曲線C：（0，0）消去y(或x) ，得到關于x(或y)的方程 b) 討論二次項系數為零和不為零兩種情況）為零，相交，且只有一個交點當，即時，直線與雙曲線的漸進線_平行_，直線與雙曲線C相交于一點； ）不為零時，利用判別式來判斷當，即時，時，直線與雙曲線相交，有兩個

36、公共點 時，直線與雙曲線相切，有且僅有一個公共點時，直線與雙曲線相離，無公共點【點撥】直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線必相切嗎?為什么? ?（不一定）直線與雙曲線相交，必有兩個公共點?（對嗎，為什么?）弦長公式： ） （含x的方程） ）（含y的方程）相交兩點時，首先，）若直線與雙曲線交與單支；）直線與雙曲線交與兩支；）若，且直線與雙曲線交于右單支；）若，且直線與雙曲線交于左單支。【針對訓練】1. 過（4,0）的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的方程相切，求切線的方程相交，求斜率k的取值范圍。2. 已知雙曲線，直線l過右交點，且傾斜角為，與雙曲線交與A、B兩點，試問A、B兩點是否位于

37、雙曲線的同一支上？并求弦AB的長。3. 設雙曲線漸近線的直線與雙曲線交與點B，則AFB的面積為 。4.已知曲線C：及直線l: (1).若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍。（2）若l與C交與A、B兩點，O是坐標原點，且AOB面積為，求實數k的值。5.直線相交于A、B兩點，O為坐標原點，（1）若，求a的值。（2）若A、B在雙曲線的左右兩支上，求a的取值范圍。6.(1)求直線與雙曲線(2)求直線被雙曲線截得的弦長。7.已知雙曲線C：（）的兩個焦點為（-2,0），(2,0),點P（3，）在曲線上，（1）求雙曲線的方程（2）記O為坐標原點，過Q（0,2）的直線l 與雙曲線C相交于不同兩點E,F

38、，若OEF的面積為，求直線l的方程。8.直線l: 與雙曲線C: 的右支交與不同的兩點A、B，（1）求實數k的取值范圍。（2）是否存在實數k,使得一AB為直徑的圓經過雙曲線的右焦點F？若存在，求出開的值，若不存在，說明理由。勤學苦練，善于總結，注重思維，講求方法【專題十二】九大區域定乾坤再談直線和雙曲線的位置關系之（2）數形結合法上節講到聯立方程法解決直線與雙曲線的位置關系，無疑是通解通法，但在操作過程中，由于計算量大，學生望而生畏。若適當的利用圖形的幾何特征，采取數數形結合法，確定點所在的九大區域，順逆時針旋轉直線，觀察相交、相切、相離三大位置所顯示的數據特征，再借助于口訣，那么有助于簡化運算

39、，化解難點，九大區域及做題具體步驟如下：九大區域區域分類位置關系數形結合法右內1交于一點2.交于兩點（無相離、相切的位置關系）【步驟1】找出定點，確定區域。【步驟2】做出過定點且與漸近線平行的兩條直線。【步驟3】順逆時針旋轉直線， 觀 觀察相交、相切、相離時的區域,，用用陰影表示。【步驟4】按要求求出邊緣直線的的斜率，并注意虛實。 【步驟5】利用口訣確定斜率范圍.（包含取兩邊，不含取中間）。左內同上，只是左右相反右外1.交于一點2. 交于兩點3.相切4.相離（4種情況全有）左外同上同上，只是左右相反上外1.交于一點.2. 交于兩點3.相切4.相離（4種情況全有）下外同上，只是左右相反原點1.交

40、與兩點2.相離(無交于一點和相切的位置關系)右頂點1.交于一點.2. 交于兩點3.相切（無相離位置關系）左頂點同上，只是左右相反【點撥】：1.聯立方程得到的一元二次方程一定要考慮二次項系數為零和不為零兩種情況。2.相切、相交（一點或兩點）分為與左支和右支兩種情況，要具體問題具體分析。3.數形結合法和聯立方程法要結合使用，考慮問題要全面，結果要做到不重不漏。【高考展望】雙曲線是高考重點考察內容之一，其中選擇題主要考察雙曲線的性質，解答題考察與雙曲線有關的綜合問題。分值一般在12 分左右。【高考對雙曲線的考察主要有】（1）求解雙曲線的標準方程（2）求雙曲線的離心率（3）雙曲線的漸進線方程及有關計算

41、（4）雙曲線與直線、圓錐曲線的綜合。【例題講解】例1：過原點的直線l與雙曲線有兩個交點，則直線l的斜率的取值范圍為（ ）A.（-1,1） B.( ,-1) (1, ) C.(-1,0) 90,1） D例2已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是 。例3：已知中心在原點的雙曲線C右焦點為（2,0），實軸長為，（1） 求雙曲線C的方程。（2） 若直線l：與雙曲線C左支交與A,B兩點，求k的取值范圍。【針對練習】1.過點P(3,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線l共有 條。2.斜率為2的直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分

42、別相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A.e< B. C D3.設雙曲線C：與直線l：相交于兩個不同的點A、B；求雙曲線C的離心率的取值范圍。4.已知雙曲線直線l：，討論直線與雙曲線公共點個數。5.已知直線與雙曲線，當為何值時，直線與雙曲線：（1）.有兩個公共點 (2).有一個公共點。（3）沒有公共點。6.已知橢圓，雙曲線的左、右焦點分別是橢圓的左、右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點，（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B,且，（其中O為坐標原點），求的取值范圍。【專題十三】“設而不求”為了求另辟蹊徑巧解題三談直線和雙曲線的位置關系之（3）設而不求法直

43、線與雙曲線的位置關系除了求斜率的取值范圍外還有求弦長求中點弦問題求與向量結合的綜合問題等,這些問題的共性是都得聯立方程,求交點的坐標，但已知直線或雙曲線往往含有參數,解方程計算量大。我們在求解這類問題時若采取“設而不求”思想，可以得到簡化計算量的目的，今從四個方面談一下：【問題1】求弦長：常規方法先聯立方程，再解方程求出交點坐標，然后用兩點間距離公式d=求出弦長。若采用“設而不求”思想，利用“韋達定理”，變換一下公式，可以簡化運算，公式如下：弦長公式： （含x的方程）（含y的方程）【問題二】圓錐曲線的“中點弦”問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。題型1：已知中點為，求被點M的

44、平分的弦的斜率及方程： 【方法】設弦PQ的端點為P(x，y)、Q(x，y)，把P，Q的坐標代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得: ，公式變形求k.然后利用點斜式求出方程。【特別說明】若中點位置在九大區域中的、區域時，即漸近線和雙曲線所夾的“蝴蝶翅膀”區域（包括邊界）中時，這條直線不存在，但中點是原點時除外，這時有無數條。題型2：已知斜率為k的一系列平行弦的中點軌跡方程的求法：【方法】設中點為，弦PQ的端點為P(x，y)，Q(x，y)，把P，Q的坐標代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得:.（直線）題型3：求過定點的直線被雙曲線截得的弦的中點的軌跡方程：【例題】求過定點

45、（0,1）的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。【方法一參數法】 解設弦的端點為P(x，y)、Q(x，y)，中點為，弦的斜率為根據上面有結論： （1） 又由于（2） 由（1）、（2）消去參數得：。【方法二公式法】解利用公式即：。【問題三】與圓錐曲線有關的向量問題：以直線和圓錐曲線的位置關系為載體，以向量為表達已知條件的主要形式，通過向量的坐標運算，結合“韋達定理”設而不求，解決問題。【常見關系有】若 【例題】橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，右焦點為F，直線與軸相交于點A，且，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。（1）求橢圓的方程及離心率。（2）若，求直線PQ的方程。【問題四】圓錐曲線中的對稱問

46、題：這類問題涉及“中點弦”，一定要充分運用“垂直平分”這兩個特征，此外還要注意“點差法”這一“設而不求”思想的運用。【例題】已知雙曲線，雙曲線上存在關于直線對稱的兩A、B,求實數的取值范圍。解當=0時，顯然不成立。當時，設，中點，根據，由于垂直，此時所以中點軌跡方程為，整理得： （1）中點又在與上， （1）與聯立解之得:中點為（，3）這條中點弦存在，點（，3）不能在、“蝴蝶翅膀”區域內，那么有：） ）漸近線方程為：所以：綜合）、）取并集得：，由于所以的取值范圍為：。【變式練】1.已知雙曲線雙曲線上是否存在兩點關于直線對稱。2.已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于

47、該直線對稱。【針對練習】（一）直線和雙曲線的位置關系1.直線與雙曲線有且只有一個交點，則k的取值范圍是（ ）（A）=±（B）=± （C）=±或=± （D）2.若直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍是（A）<< （B）<<1 （C）1<< （D）<或>3、已知曲線及直線. (1) 若與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍；(2) 若與交于兩點，是坐標原點，且的面積為，求實數的值.（二）弦長公式1.等軸雙曲線中心在原點，焦點在軸上，與直線交于兩點，若，則其方程為（A） （B） （C） （D）2.過雙曲線的右焦

48、點作傾斜角為的弦AB，則|AB|等于 .【能力提高】1、 直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？2、垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長為，求直線的方程（三）中點弦1.過點A(3, 1)且被A點平分的雙曲線的弦所在的直線方程是 2.直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是（ ）（A）(1, 2) （B）(2, 1) （C）(1, 2) （D）(2, 1)3.雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且與直線相交所得弦的中點的橫坐標是，求這個雙曲線方程.4.求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。5.已知雙曲線的方程，試問是否存在被點(1,

49、 1)所平分的弦？如果存在，求出所在直線；如果不存在，說明理由。【能力提高】（1）求直線被雙曲線截得的弦長；（2）在雙曲線上求一點，使到直線的距離最短。（3）直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，求實數的取值范圍.【專題十四】離心率求解三途徑【專題十五】雙曲線經典例題、常見方法大觀【高考展望】雙曲線是高考重點考察內容之一，其中選擇題主要考察雙曲線的性質，解答題考察與雙曲線有關的綜合問題。分值一般在12 分左右。【高考對雙曲線的考察主要題型有】（1）求解雙曲線的標準方程（2）求雙曲線的離心率（3）雙曲線的漸進線方程及有關計算（4）雙曲線與直線、圓錐曲線的綜合。【解題技巧】熟練掌握雙曲線的定義、標準方程、幾何性質；解題常用的思想方法有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化，設而不求