1、課件制造：運用數學系概率統計課程組概率論與數理統計概率論與數理統計2.2-2.32.2-2.3隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數一、離散型隨機變量的概念一、離散型隨機變量的概念二、離散型隨機變量的分布函數二、離散型隨機變量的分布函數三、常見的離散型隨機變量的概率分布三、常見的離散型隨機變量的概率分布隨機變量的分類隨機變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類：隨隨機機變變量量離散型隨機變量離散型隨機變量延續型隨機變量延續型隨機變量一切取值可以逐個一切取值可以逐個一一列舉一一列舉全部能夠取值不僅全部能夠取值不僅無窮多，而且還不無窮多，而且還不能一一列舉，而是能一一列舉，而是充溢一個區間充溢一個區間

2、.定義定義: 假設隨機變量假設隨機變量 X 的能夠取值是有限多個或無的能夠取值是有限多個或無窮窮 可列多個，那么稱可列多個，那么稱 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量.描畫離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布描畫離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性質概率分布的性質一、離散型隨機變量的概念一、離散型隨機變量的概念q , 2 , 1, 0kpk非負性非負性q 11kkp規范性規范性F( x) F( x) 是分段階梯函數，在是分段階梯函數，在 X X 的能夠取值的能夠取值 xk xk 處處發生延續，延續點為第一類騰躍延續

3、點發生延續，延續點為第一類騰躍延續點. .二、離散型隨機變量的分布函數二、離散型隨機變量的分布函數)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(OOO)(xXP216131120 x61211)(xF分布函數圖分布函數圖概率函數圖概率函數圖留意右延續留意右延續留意留意: :離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機變量的概率分布分以下幾步來求: : (1) (1)確定隨機變量的一切能夠取值確定隨機變量的一切能夠取值; ; (2) (2)設法如利用古典概率計算取每個值的概率設法如利用古典概率計算取每個值的概率. . (3) (3)

4、列出隨機變量的概率分布表或寫出概率函數列出隨機變量的概率分布表或寫出概率函數. .例例2.2.12.2.1 從從1 11010這這1010個數字中隨機取出個數字中隨機取出5 5個數字，令個數字，令X X：取出的：取出的5 5個數字中的最大值試求個數字中的最大值試求X X的分布律的分布律 kXP 詳細寫出，即可得詳細寫出，即可得 X X 的分布律：的分布律：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解：X X 的能夠取值為的能夠取值為.1065， k5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且510C41 kC=求分

5、布率一定要闡求分布率一定要闡明明 k k 的取值范圍！的取值范圍！例例2.2.2 2.2.2 袋內有袋內有5 5個黑球個黑球3 3個白球個白球, ,每次抽取一個不放每次抽取一個不放回回, ,直到獲得黑球為止。記直到獲得黑球為止。記X X為取到白球的數目為取到白球的數目,Y,Y為抽為抽取次數，求取次數，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。 解解: (1)X: (1)X的能夠取值為的能夠取值為0,1,2,3, 0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3P(X=1)=(35)/(85)/(87)=15/56,7)

6、=15/56,類似有類似有P(X=2)=(3P(X=2)=(32 25)/(8 5)/(8 7 7 6)=5/56, 6)=5/56, P(X=3)=1/56, P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的能夠取值為1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 類似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布為：(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=

7、6/56(1) 0 (1) 0 1 1 分布分布X = xk 1 0X = xk 1 0Pk p 1-pPk p 1-p0 p 10 p 11 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 注注: :其分布律可寫成其分布律可寫成三、常見的離散型隨機變量的概率分布三、常見的離散型隨機變量的概率分布 凡是隨機實驗只需兩個能夠的結果，凡是隨機實驗只需兩個能夠的結果，運用場所運用場所常用常用0 0 1 1分布描畫，如產品能否格、人口性別統分布描畫，如產品能否格、人口性別統計、系統能否正常、電力耗費能否超負荷等等計、系統能否正常、電力耗費能否超負荷等等. .(2) (2) 離散型均勻分布離散型均勻分布 X1x

8、2xnxkpn1n1n1如在如在“擲骰子的實驗中，用擲骰子的實驗中，用 表示事件出現表示事件出現 點，點， 那么隨機變量那么隨機變量 是均勻分布是均勻分布 iX iXX14kp6123566161616161(3) (3) 二項分布二項分布),(pnB背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 實驗中，每次實驗感興實驗中，每次實驗感興趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次實驗中發生的次數次實驗中發生的次數 X X是一離散型隨機變量是一離散型隨機變量假設假設P ( A ) = p , P ( A ) = p , 那么那么nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1

9、()()(稱稱 X X 服從參數為服從參數為n, p n, p 的二項分布的二項分布( (也叫也叫BernolliBernolli分布分布).).記作記作),(pnBX0 0 1 1 分布是分布是 n = 1 n = 1 的二項分布的二項分布. .二項分布的圖形 例例3.1.1 3.1.1 一大批產品的次品率為一大批產品的次品率為0.10.1，現從中取，現從中取 出出1515件試求以下事件的概率：件試求以下事件的概率： B = B = 取出的取出的1515件產品中恰有件產品中恰有2 2件次品件次品 C = C = 取出的取出的1515件產品中至少有件產品中至少有2 2件次品件次品 ,取取出出一

10、一件件產產品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產品中取由于從一大批產品中取1515件產品，故可近似件產品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli實驗實驗解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CC例例3.1.2 3.1.2 一個完全不懂英語的人去參與英語考試一個完全不懂英語的人去參與英語考試. .假設此考試有假設此考試有5 5個選擇題，每題有個選擇題，每題有n n重選擇，其中只重選擇，其中只有一個答案正確有一個答案正確. .試求：他通

11、暢能答對試求：他通暢能答對3 3題以上而及題以上而及格的概率格的概率. . 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個答案 對于他來說都是一樣的，而且他能否正確回答各題 也是相互獨立的.這樣，他答題的過程就是一個 Bernoulli實驗 .)5 , 1 , 0(,)1()( kppknkmPpknkk:,4,1此此人人及及格格的的概概率率是是時時于于是是當當其其中中 nnp10. 041554341454341355423543 ppp)/1 , 5(nBm這這個個隨隨機機變變量量他他答答對對題題數數(4) Poisson (4) Poisson 分布分布)(或或)(P或或假設假設, 2 ,

12、1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常數，那么稱是常數，那么稱 X X 服從參數為服從參數為的的Poisson Poisson 分布，記作分布，記作)()(P在一定時間間隔內：在一定時間間隔內：一匹布上的疵點個數；一匹布上的疵點個數； 大賣場的顧客數；大賣場的顧客數；運用場所運用場所: :總機接到的次數；總機接到的次數；一個容器中的細菌數；一個容器中的細菌數；放射性物質發出的粒子數；放射性物質發出的粒子數；一本書中每頁印刷錯誤的個數；一本書中每頁印刷錯誤的個數；某一地域發生的交通事故的次數某一地域發生的交通事故的次數;市級醫院急診病人數；市級醫院急診病人數；等等等等.例例3.1.3 3

13、.1.3 設隨機變量設隨機變量X X 服從參數為服從參數為的的PoissonPoisson分布，分布，且知且知 21 XPXP解：隨機變量解：隨機變量 X X 的分布律為的分布律為 試試求求4 XP ，210! kekkXPk 由知由知 21 XPXP假設隨機變量假設隨機變量X 的分布律為的分布律為 ., 2 , 1! kkckXPk 為為常常數數其其中中0 試確定未知常數試確定未知常數c .例例3.1.4, 1!11 kkkkkckc 由分布率的性質有由分布率的性質有解：解： 1!kkk 而而1 e.11 ec所所以以1!0 kkk (5) (5) 幾何分布幾何分布 設用機槍射擊一次擊落飛機

14、的概率為設用機槍射擊一次擊落飛機的概率為 , ,無限次地射擊，無限次地射擊，那么初次擊落飛機時所需射擊的次數那么初次擊落飛機時所需射擊的次數 服從參數為服從參數為 的幾的幾何分布，記何分布，記 . .即即 pXp)(pGX,)1 ()(1ppkXPk, 2 , 1k 容易驗證，假設在前容易驗證，假設在前 m m 次射擊中未擊落飛機，那么次射擊中未擊落飛機，那么, ,在在 此條件下，為了等到擊落時辰所需求等待時間也服此條件下，為了等到擊落時辰所需求等待時間也服 從同一幾何分布，該分布與從同一幾何分布，該分布與 m m 無關，這就是所謂的無關，這就是所謂的 無記憶性無記憶性. . (6) (6)

15、超幾何分布超幾何分布 設有產品設有產品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件件 ，從中隨機地不放回抽取，從中隨機地不放回抽取 件，件， ，記，記X X為抽到的為抽到的的正品件數，求的正品件數，求X X 的分布律的分布律. .此時抽到此時抽到 件正品的概率為件正品的概率為 sNMNMsnNn k k=0 k=0，1 1， ， nsknMkNkXP)(n稱稱X X 服從超幾何分布服從超幾何分布. .記記 ),(nNMHX可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此可以證明超幾何分布的極限分布就是二項分布，因此在實踐運用中，當在實踐運用中，當 都很大時，超幾何分布都很大時，超幾何分布可用

16、下面式子近似可用下面式子近似 NMs, nsknMkNkXP)(,)()(knksMsNkn (7) (7) 負二項分布負二項分布PascalPascal分布分布) () (自學自學) ) (8) (8) 截塔截塔ZipfZipf分布分布 ( (自學自學) ) 課堂練習課堂練習1. 將一枚均勻骰子拋擲將一枚均勻骰子拋擲3次，令次，令X 表示表示3次次中中出現出現“4點的次數點的次數求求X的概率函數的概率函數3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkk提示：提示：. . 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p,p,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-pq=1-p，令，令X X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒中個嬰兒中“男孩的個數男孩的個數. .求求X X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率函數是：的概率函數是：男男 女女解解:X :X 表示隨機抽