1、第8講不定積分 內容精要1.原函數：設f(X)在I上連續，如果存在一個F(x)，使得F (X)= f(X)或者dF(x) = f(x)dx，則稱F(x)為f (x)的一個原函數。注意：存在性：連續函數存在原函數，且連續函數的原函數也是連續函數;無窮多性：如果F(x)是f (x)的一個原函數，那么F(x)+c仍是f(x)的原函數。2.不定積分：如果F(x)是f (x)的一個原函數，則稱F(x)+c是f (x)的不定積分，用記號Jf(x)dx表示。即 Jf(x)dx = F(x) +C 3.積分與微分的關系 d J f (x)dx = f (x) dx ； 2(ff(x)dx) = f(x); d

2、x JF (x)dx=F(x) +C ； JdF(x)=F(x)+C。4. 不定積分的性質Jkf (x)dx = k J f (x)dx ； Jf(X)+ g(x)dx = Jf (x)dx+ Jg(x)dx 5. 基本積分表Jkdx =kx+C=十 +C,(a H -1)ot +11J-dx =ln x+C XXJaXdX 孟 +CJsin xdx =cosx + CJcosxdx = s in x + C2Jsec xdx =tanx +C2Jcsc xdx =-cotx+CJ secxta n xdx = secx + CJ cscx cot xdx = - cot X + C1f2 d

3、x = arcta n x + C1+x I . dx =arcsin x+C6. 第一換元法 若被積函數f(x)可以寫成g(x)(x)，則Jf (x)dx = Jg(W(x)Q(x)dx令 jg(u)du 筍X)= G(u)+cu現)第一類換元法主要用于Jf(x)dx不易計算，而Jg(x)d(x) = Jg(u)du容易求出的情 形。7.第二類換元法設 X =(t)單調可微，且 0(t) H0，若 Jf h(t)4(t)dt =F(t) + C，則Jf(x)dx = F第二類換元法主要用于J f (x)dx不易計算，而J f (x)(t)dt = Jh(t)dt容易求出的情形。8.分部積分法

4、Judv =uv - fvdu9.有理函數的積分有理函數的積分，關鍵是將真分式分解成幾個部分分式之和，首先要正確地寫出部分分式的形式，然后確定系數，應該注意：分母分解成一次因式與二次質因式的乘積后，若分母中含有因子k(x+a)，則部分分式中應有k項A1+A2+ Ak(x+ a)k (x+ a)2x + a若分母中含有因子(x? + px +q)s，則部分分式中應有 s項M1X + N1 十 M2X + N2 十+ Msx + Ns (X2 + px+q)s (X2 + px+q)sx2 + px+q10.三角有理函數的積分由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數稱之三角有理函數.一般記為R

5、(sin x,cos x)x令tan-,x曲如u，則有o2u1 usin x= , cosx = , dx1+u21+u2=du1+u2fR(si nx,cosx)dx=.11+u1-u2 ”1 +u2 丿典型例題題型1 ：有關不定積分概念及性質的命題例1 ：設函數f(x)的一個原函數為sin(2x+1)，則 f x)=()(A) 2cos(2x+l)(B) 2cos(2x+1)解：由題意可知sin(2x+1)= f(X)，即 f(X)=2cos(2x+1)所以 f(X)=/sin(2x+1)，故選 D。例2:設函數f(x)有連續導數，則f(3x)dx等于()(A) 3f(X) +C1(B)

6、3 f(3xC(D) 3f (3x)(C) f(3x)+C1 1解：Jf (3x)dx = - Jf (3x)d(3x) =- f (3x) +C，故選 B.33題型2 :分段函數不定積分的計算11 Ovx 1例 1:設 f(l nx)=，及 f(0)=1,求 f(x).X, X a11 t 0解：設|nx=t,x于是原式變為5和，二0 所以，當 t0時，f (t) = Jf(t)dt = Jddt =6 +C2.由于f (t )= Jf t dt = jddt =6 +C2在(w,兄)內連續(包括t=0)，所以其原函數f (x)在(Y,P)內存在且連續，由f(x)在t=0連續,有im f二！

7、im f(t)二f(0)，而f(0)=1，例1:設F(x)是f (X)的一個原函數，則Jcosxf (sin x)dx=()(A) F(x)+C(B)F(sin X)+C(C) -F(x)+C(D)-F(si nx)+C即得C1 =1 +C2 =1.故得C1 =1,C2 =0.所以lx +1 , X f(x)門 X 、題型3:利用第一換元法計算不定積分,x0時,有2 -Xdx12a213a2心H+c當X co時,有相同的結果。dx例2 :求不定積分f dXx2Jx2 -4解:令x=l,當心時，”1dxJR4x(V)原理:反三角函數的代換 令反三角函數為t被積函數f (x)含有arctanx，又

8、含有 一11 +X2,則令 arctanx =t ,從而 x= tant ;被積函數f (x)含有arcsinx，又含有=，則令arcsinx=t，從而x=sint ；求不定積分rarcsin x dx解：令 arcsinx =t ，貝U x =sint，于是x2 J1 -x2arcsin x dcostdt = ft esc 2題型5:利用分部積分法求不定積分 tdtsin tcost=-Jtd(cott) = -(tcott Jcottdt) = tcott +ln sint +Carcs in x +ln x +C例2 :求不定積分fx2 arctan xdx.X2 +1解：令 arct

9、anx =t ，貝U x =tant，于是x2arctanXdx2ta n2t +1X2 +1tdt = Jt tan 2tdt2=Jt(sec t -1)dt2tJtsec tdt Jtdt = Jtd(tant)2t2= ttant-伽tdt-2(I)直接利用分部積分u，其余為dv ；u，其余為dv ；u，其余為dv ；選取反三角函數為 u，其余為dv ；當被積函數為指數函數與三角函數之積時,u,v選取任意，且要用兩次分部積分公式。對象：當被積函數為幕函數與三角函數之積時，選取幕函數為 當被積函數為幕函數與指數函數之積時，選取幕函數為 當被積函數為幕函數與對數函數之積時，選取對數函數為 當

10、被積函數為幕函數與反三角函數之積時，2例1:求不定積分Jxtan2 xdx2 2 2 1 2解：fxtan xdx = J(xsec X-x)dx = Jxsec xdxX,12,_i12=Jxd(tanxx =xtan x - Jtanxdx-x1 2= xta nx + l nlcosxl-x +C例2 :求不定積分Jxedx 解：Jxedx = - fxde = -xe+ Jedx = -xe一 Jedx)=一xe一e+C = -(X +1)e+CI 3求不定積分J巴Jdx、x解:獸 dx =-In 3xd(1-l n3x + 34l n2xdxX，XX，11=-In3X-3JIn 2x

11、d(-)=-XX1 . 31,33, -ln x lnx x=ln3 X -3ln2 X -6 Jln xd(1)xxX=-丄1 n3x-3ln2x-6ln x+6f2dxXXX X1 . 33.26.6 ,.=一一In X-ln x-|nx-+CXX=-(ln3 x + 3ln2Xx+ 6ln x+6) +Cx+6f丄In xdx x求不定積分 J (arcsi nx)2dxdx1 解: f(arcsin x)2dx =x(arcsin x)2 - fx 2arcsin x-xV1= x(arcsin x)2+ 2 farcsin xd Ji -x2= x(arcsin x)2+ 2 / X

12、2 arcsin x - 2 J 丿1 -x1J1 -X2dx= x(arcsin x)2= x(arcsin x)2+ 2 Ji x2 arcsin x - 2 Jdx + 2 Ji -x2 arcsin x -2x +C例5:求不定積分 Jxarctanxdx.解 Jxarctanxdx= Jarctanxdx2=arcta nx-1 fdx22T +x2x21 f=arctanx - f M -22、Iijdx2 .x , X 1=a r ct axn- + 2 2ar (xaCn例6 :求不定積分e2? dx解：Je%in2dxJs吟尹-丄 ex sin - +1 fe二X 丄 cos

13、-dx2 2 2 2 21 lx.X 1esi n-2 21 2x.Xesin-2 21 .Xesin-2 2_丄 fcos-dex8 21x一一 e cos-821 e8-2xx cos-21_2x 1 x ,+一 fe (- s in-)dx8 2 21 rlx x . -fe sin -dx16 2一1尹cos2+C1.上屮sinxdx丄ernZ16 2 2 2(n)換元法與分部積分法的結合 例1 ：求不定積分 Jedx解：令 奴=t ,則 X =t3,dx=3t2dtje酥dx =3 Jtdt =3 det-6 Jtddt= 3t2e6 ftdet =3t2et -6te6 fetdt

14、 =3 qd +6+C =須化2 -2t +2) +C =3e 衣(疔-2仮 + 2) +C例2:求不定積分 jcos(lnx)dx解：令 Inx=t,則 X =et,dx =etdt,fcos(ln x)dx = Jet costdt = Jcostdeet cost + Je sintdt=et cost + Jsin td d =cost sint - fet costdt =x cos(l n X)+ xs in (l n x) - fcos(l n x)dxx心0s(lnx)dx=2cos(lnx)+sin(ln x)+C例3 :求不定積分令普dx解：先作變換，令arcsinx =t

15、，則x =sint，于是arcs in x , dxx2 7r7fJcostdt = ft csc2 tdtsi n2tcost-ft d c 0 tt - t( c o 卜 ctodtt )斗cott + ln stn+CIarcsixnx(川)分部積分的雜例例1：求不定積分farcsdx.X解dx = _2 farcsin Vxd J1-x-X= -2/1 -x arcs in 仮中 2 J-xdarcs in 奴=-2Jl -x arcsin 坂 + f-dx vx=-2-x arcsin 仮中 2 V?中 C例2 :求不定積分庁乎dx.xarctanxdx=farcta nxd+x2+

16、 x2=J1 +x2 arctanx - J _ dxTvkX=J1 +x2 arctanx - f dx1+x2=Jl +x2 arctanx In(x + Jl +x2) +C例3 :求不定積分X2 arctan x , dx.X2 +1f X=x arctan x - 1 +x2dx - Jarctanxd(arctan x)解x2a嚴n Xdx “arctan xdx-00 dxX2 +1、一-、 X +11 2 1 2=Xarctan x 一 In(1 + x ) (arctan x) + C2 2例4：求不定積分Jxf (x)dx解：Jxf 7x)dx = fxd( f (x) =

17、xf(X)- J f (x)dx = xf (x) - f (x) +Csin X例5：設叱為f(x)的一個原函數，求不定積分Jxf (x)dxX.解：由已知得 f f (x)d =-si +C X所以有 f(xHXcOssinXx2又因為 Jxf (x)dx = Jxd(f(X) =xf(x) - J f (x)dxxc c 9(- sin s ixnC例6：設函數f (x)具有二階連續導數，計算不定積分f f(X)+ f (x)sin xdx解：J f (x) + f (x)sin xdx = J f (x)sin xdx + J f (x)sin xdx=ff( x) si txdJsi

18、 nxd (f (x =f f ( x) s i rxdx f (伙)s+iX f (x ) ccxdx = Jf(x)sin(d 丈f(x) si nX c cxd f x= Jf(x)sirxdx f(x) si nxf (x ) Coxs f x ) sXdx C=f( X)”s i nx - f (X ) c oxS C題型6:有理分式函數的積分dx例1:求不定積分 f2一2(x+1) (X +1)解：這是有理函數的積分，先把被積函數分解成部分分式之和，設A + B + Cx + D(X +1)2(x2 +1) (x+1)2 x+1X2+1(*)有 1 = A(x2 +1) +B(x

19、+1)(x2 +1) +(Cx +D)(x +1)21令x = -1，解得A =-2令 X = 0，得 A + B + D = 1（* ）式兩邊對x求導得0 =2Ax + B(x2 +1) + 2Bx(x +1) +C(x +1)2 +2(Cx + D)(x +1)令 x = 0，得 B +C + 2D =0 令 x = -1，得-2A + 2B =0 由(1)、( 2)、(3)、(4)解得11A = B = , C = 一，D = 02因此f_(A+B)x2 +(B +C A)x +(A+C)3-(x+1)2(x2 +1)dx,1+ld X +12 x+1 丄 ld(X+1)2 4X2 +1

20、-d(x2 +1)+c2 2(x+1)+C1例2 :求不定積分Jx石dx12Bx + C 2+1 (x+1)(x2-x+1)亠+2x+1 X x + 1x3+1X3 +1從而于是A + B =0B+C -A=0A + C = 1解得aJ3B = 133x-2 13(x+1) 3(x2 x+1 )1 dx 1 2x1 =23 x+1 6 XIdxx+iT11=-l n|x+1 -ln36(x+1)2 + -x+1 Ta2丄.x -x+1dx(x) + 24亠 1+ 2x-1+arctan=- +CV3V31 arcta n2律1 +CV3例3 :求不定積分xfdx3 x -x解:5丄4cX +X -8人r/ 23dx 可(XX -X+ x+12J + x8d+3)dxx -xX丄X丄丄1.cr1.=+ + x+ fdx8f dx3 2x-1x3-xx3 x211111=+ +x + ln|x-1 -81(-丄 +丄亠 +丄 丄)dx3 2x 2x-1 2 x + 132=寧 +牛 +x+8ln|xl -3ln|x_1|-4lnlx+1 +C3 2題型7:三角有理