1、2013高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學生數學建模競賽章程和全國大學生數學建模競賽參賽規則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規則”，可從全國大學生數學建模競賽網站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名號的話）： 所屬學校（請填寫完整的全名）：吉林醫藥學院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 于邦文 2. 薛盈軍 3. 楊國慶 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 霍俊爽 （論文紙質版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。

3、） 日期： 2013 年 9 月 16 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）： 2013高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：車道被占用對城市道路通行能力的影響摘要本文通過對城市中車道因交通事故被占用問題的分析，探討了事故所處道路橫斷面的實際通行能力的變化過程，并依據事故路段車輛排隊長度與實際通行能力、事故持續時間、路段上游車輛流量之間的關系，最后針對各個問題建立模型并求解。針對問題一，我們首先根

4、據交通學相關的理論知識，并結合視頻1，求出基本通行能力 和實際通行能力的公式，建立Greenshield模型，記錄每隔一分鐘通過事故橫斷面的車輛數得出從事故發生到事故撤離之間實際通行能力的變化。利用EXCEL和 SPSS統計軟件對統計出的數據進行處理，得到相應的圖表：時間點 t1t2t3t4t5t6t7t8t9t10通行能力 820540550610640560480540460420根據數據表我們可以看出通行能力有一定的波動，但是通行能力在事故發生到撤離期間呈現出下降趨勢。針對問題二，我們利用和第一問中相同的方法計算出了視頻2中對應時刻的通行能力，與第一問中得出的視頻1的通行能力進行對比，首

5、先利用SPSS對兩組數據進行配對樣本t檢驗，得出了sig的值小于0.05，認為差距顯著；又用MATLAB對數據進行了擬合得出了可以更直觀看出差異性的圖像，得到視頻2中車道三通行能力大于視頻1中車道一的通行能力；最后查找資料以施工占道不同造成的與本題事故一致影響的模型，對我們的分析進行了檢驗，證明了我們的模型是有效的。針對問題三，我們通過建立元胞自動機模型分析了交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的關系。我們得出的結論是：，即實際通行能力與車輛排隊長度成反比，事故持續時間、路段上游車流量與車輛排隊長度成正比關系；另外，我們通過分析視頻，隨機選取

6、了多組數據，并代入公式，通過對結果進行分析，證明了我們的模型是有效的。 針對問題四，我們利用問題三得出的結論，結合加減速延遲理論，建立穩態延誤模型，通過對交通信號燈的變化規律的研究結合所給資料求出綠信比，進而進一步求出進入事故路段的車流量的變化規律，最終求得需要時間175s。關鍵詞：流體力學模型 交通波理論 Greenshield模型 SPSS MATLAB 元胞自動機模型一、問題重述車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內降低的現象。由于城市道路具有交通流密度大、連續性強等特點，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時間短，

7、也可能引起車輛排隊，出現交通阻塞。如處理不當，甚至出現區域性擁堵。車道被占用的情況種類繁多、復雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設計道路渠化方案、設置路邊停車位和設置非港灣式公交車站等提供理論依據。根據題意，本文需要解決的問題有：1. 觀看視頻1，描述視頻中交通事故發生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。2. 根據問題1所得結論，結合視頻2，說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對實際通行能力影響的差異。3. 構建數學模型，分析視頻1中事故影響路段的車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的

8、關系。4. 假如視頻1中事故所處橫斷面距離上游路口變為140米且下游需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續不撤離。請估算，從事故發生開始，經過多長時間，車輛排隊長度將到達上游路口？二、模型假設1、車輛摩擦系數統一為0.8，平均車長為4m，安全車距為8m，沿途條件修正系數取0.82、假設通行車道改變時，對通行量有影響的各種折減系數與問題一相同3、計算實際通行能力時所用各修正系數絕大部分是引用自美國道路通行能力手冊HCM2000，根據其中公式進行相應的運算。三、符號說明 自由行車速度（km/h） 車輛的制動距離（m） 車頭最小間距（m） 車輛間的安

9、全距離（m） 車輛平均長度（m） 車輛的制動距離（m） 車道寬度修正系數 側向凈空的修正系數 縱坡度修正系數 視距不足修正系數 沿途修正系數 交通條件修正系數 事故持續時間 停車數量 區間平均車速(km/h) 排隊長度 密度(veh/km/lane) 上游車流量 單車道基本通行能力（pcu/h） 車頭最小時距（s） 道路基本通行能力（pcu/h） 路面與車輪之間的摩擦系數 車流阻塞密度(veh/km/lane) 事故段的交通密度(輛/km) 事故地點距上游交叉路口距離（m） 信號周期（s） 問題四中不守交通信號燈控制的車流量 該進口的綠信比 進口車道上停泊車輛后，該進口的飽和度 該進口車輛平均

10、到達率（veh/s） 進口車道上停泊車輛之前，該進口的飽和度 司機在反應時間內車輛行駛的距離（m） 事故點上游的交通密度(輛/km) 由于進口車道被臨時停泊的車輛阻塞，致使通過該進口的全部車輛增加的額外延遲綜合（s）四、模型的建立與求解4.1 對事故發生到撤離期間，事故橫斷面實際通行能力變化過程的描述基本通行能力，是道路和交通都處于理想條件下，由技術性能相同的一種標準車，以最小的車頭間距連續行駛的理想交通流，在單位時間內通過道路斷面的最大車輛數，也稱理論通行能力，實際通行能力是指以理論通行能力為基礎，考慮到實際的地形、道路和交通狀況，確定其修正系數，再以此修正系數乘以前述的理論通行能力，即得實

11、際道路、交通在一定環境條件下的可能通行能力。該橫斷面實際通行能力為： (輛/h)等于（m）（1）取0.875，因為該題目所給視頻的單個車道寬度小于3.65m，則車道寬度參與修正，有條件i)若 則=（%），ii）若 則=（%），故求基本通行能力時取0.875；（2）側向凈空系數取0.81，具體取值見附錄1；（3）縱坡度修正系數取1，因為一般情況下城市道路是沒有陡坡之類的路段的；（4）行車視距修正系數取值規律為： i)當 (km/h)時，取1,；ii） 當 (km/h)時，取0.9；iii）當60v100（km/h）時，取0.7;而在未堵車之前我們求得平均速度約為15m/s，即基本通行能力計算時行

12、車視距修正系數取0.9；（5）沿途修正系數一般取（0.71），求基本通行能力的時候取0.8； （6）交通條件修正系數取理想條件下的1；綜上所取條件，求得=369（輛/h）,但該路面有三個車道，所以基本通行能力為3369=1107（輛/h）,我們對視頻1中大車，小車和中車的數量統計得出它們所占的比例分別為88.5%，5.5%和6%。通過不同車型的輛與pcu之間的關系而關于pcu和輛的關系：小車是1輛=1pcu；中車是1輛=1.5pcu；大車是1輛=2pcu，代入計算，求得=1204（pcu/h）代入求得自事故發生到撤離現場過程中道路實際通行能力如下表1所示：表1事故發生到撤離期間的一系列通行能力

13、數據表時間點 t1t2t3t4t5t6t7t8t9t10通行能力 820540550610640560480540460420根據表中信息，我們做出了可以更為直觀的觀察實際通行能力變化過程的曲線圖和柱狀圖，如下圖1、2所示：圖1該路段實際通行能力變化折線圖圖2該路段實際通行能力變化柱狀圖由圖可知，我們可以得出結論：自事故發生至撤離該橫斷面實際通行能力整體上在不斷的減弱，可見事故對交通的妨礙作用極大。中間有偶爾的反彈現象，但車流大小也不穩定性，且計數過程存在一定的誤差，基本可以忽略對整體的影響。4.2所占車道不同對橫斷面實際交通能力的影響由問題一所得的數據，我們分析了視頻1中當事故占據了車道二和

14、車道三時，事故所處橫斷面的實際通行能力的變化過程。我們通過對視頻的研究得出了在事故發生到撤離期間的一系列交通能力的數據如表1。同樣的通過對視頻2的研究，我們得出了當事故占據了車道一和車道二時，事故所處橫斷面的速度與交通能力的數據如下表2：表2事故發生到撤離期間的一系列速度與通行能力數據表時間點t1t2t3t4t5t6t7t8t9t10通行能力800940980760720760700760640800我們通過MATLAB對兩組數據進行擬合，得出如下圖形：圖3 車道1與車道3通行能力擬合比較圖其中藍色線段表示視頻2中車道3（具體車道情況可見附件3）可以通行的情況，紅色線段表示視頻1中車道1可以通

15、行的情況。同時我們還通過SPSS對兩組數據中的通行能力進行了配對樣本t檢驗得到表3、4：表3 成對樣本相關系數N相關系數Sig.對 1通行能力1 & 通行能力213-.651.016表4 成對樣本檢驗成對差分tdfSig.(雙側)均值標準差均值的標準誤差分的 95% 置信區間下限上限對 1通行能力1 通行能力2-382.30769310.2728386.05420-569.80369-194.81170-4.44312.010Sig是統計中用的P值，是根據t值的大小查表得出來的數值，一般與0.05進行比較，小于0.05認為二組的差別顯著，大于0.05則差別不顯著。而我們得出Sig的值為0.01

16、，故認為兩組的差別比較明顯。而且，根據上邊的分析我們可以得出當通行的是車道3時，路面的通行能力要優于車道1。差距大體如下圖所示：圖4 不同車道通行能力差異根據查閱相關資料我們找到了當路面有施工占據不同車道對通行量的影響，由于施工占道造成的影響與交通事故較為相像，故我們可以以此為模型來對我們的分析結果進行檢驗。4.2.1 單向三車道封閉一車道施工作業（1）、封閉最外側車道施工單向三車道封閉最外側一車道施工作業區,靠近作業區的中間車道基本通行能力較遠離作業區的內側車道要小,內側車道基本通行能力取1520 veh/h,靠近作業區的中間車道基本通行能力取1480 veh/h。（2）、封閉中間車道施工單

17、向三車道封閉中間一車道施工作業區,兩側車道均靠近作業區,但兩條車道的通行能力有較大差異,在道路擁擠狀態下,內側車道的通行能力要明顯大于外側車道,內側車道基本通行能力取1670 veh/h,外側車道基本通行能力取1435 veh/h。（3）、封閉最內側車道施工單向三車道封閉最內側一車道施工作業區,靠近作業區的中間車道通行能力略大于內側車道,中間車道基本通行能力取1510 veh/h,外側車道基本通行能力取1470 veh/h。4.2.2 單向三車道封閉二車道施工作業（1）、封閉外側二車道施工單向三車道封閉外側二車道施工作業區,內側車道基本通行能力取1410 veh/h。（2）、封閉內側二車道施工

18、單向三車道封閉內側二車道施工作業區,外側車道基本通行能力取1405 veh/h。用此模型可以驗證視頻2中車道3（內側車道）的通行能力確實優于視頻1中車道1（外側車道）的通行能力，可見我們的分析符合實際情況。4.3建模分析車輛排隊長度與實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的關系4.3.1模型的構建過程以事故發生路段到上游交叉路口為例,在交通事故持續時間內，交通波陣面S向上游移動的距離為，若該長度小于事故地點至上游交叉口的距離，則排隊長度為；若大于事故地點至上游交叉口的距離，則交叉口向后傳播的交通波為停止波，停止波向上游移動的距離為，根據交通波理論，可以計算停車數量：，式中：為停車波波速（

19、km/h）確定接警時間和處理時間，根據所提供視頻和分別看出對應時間，假設發生交通事故后交警立即趕赴現場而不存在車主自行調節時間。1) 計算交通波速度根據交通檢測系統監測事故占道情況，發生事故路段的交通流速度、密度和事故點上游的交通量、速度、密度等交通數據，以及路網的交通流數據，計算事故點的通行能力，利用交通波公式，計算出由交通事故導致的交通波速度。在接警時間內，交通波速度，在處理時間內，由于處理交通事故時需占用道路進行必要的現場勘測和事故現場保護，本文將事故發生路段在時間看作封閉處理，即上游車輛在事故點排隊，產生的停止波波速為。2）計算排隊長度在接警時間內，車輛排隊長度為，與交通事故發生點距離

20、上游交叉口的長度x進行比較。 若，則車輛排隊長度為； 若，則說明在 內，車流排隊傳播至上游交叉口，計算傳播所需時，在剩余時間內交通波由該交叉口向各個進出口道延伸，波速為各個交叉口的停止波速，在時間 內，各個進口道產生的排隊長度為 ，若排隊延伸至下個交叉口，計算排隊至下個交叉口時間和該交叉口各方向的停車波速，則剩余排隊時間為。根據剩余排隊時間，重復前面的計算過程，直到進行交通事故處理。在處理時間內，若內排隊沒有到達上游交叉口，則在排隊長度的基礎上車輛繼續排隊，此時的交通波為停止波，波速為，向上游交叉口傳播，遇到交叉口則產生“多米諾”現象，重新計算交叉口各個進出口道的停車波速，重復前面的計算步驟；

21、若內排隊已到達上游交叉口，則不改變波速，將直接與相加，計算排隊長度。下圖5可直觀的顯示上述過程。圖5由視頻所給條件我們可以計算出和。下面的模型是在假設車隊堵塞長度沒有達到交叉路口的情況下，可以計算何時到達交叉路口但無法計算到達交叉路口后繼續擴散的長度。根據第一題我們得到了基本通行能力與可能通行能力之間的關系：有車頭時距和車頭間距計算公式：得到：所以： （1）由宏觀交通流模型Greenshield(1934)模型可得密度與車流阻塞密度之間的關系： （2）根據交通波理論可以計算停車數量：所以我們用停車數量除以排隊長度得到了車流阻塞密度： （3）由方程（1）、（2）我們得到： （4） 將（3）和（4

22、）聯立： （5）對（5）進行化簡得到了我們所建立的模型，所求排隊長度計算公式如下： （6）對上述模型代入實際數據得到圖6所示的散點圖，實際數據是我們選取的視頻中所有堵車長度在120米時間段的數據，即視頻中所有停頓的地方，除第六個有明顯誤差可忽略不計外，其他幾個數據基本都在120米左右，即上述模型在誤差允許的范圍內是可行的。 圖6所以我們對模型進行分析得到排隊長度與事故持續時間和路段上游車流量之間存在正比例關系，與事故橫斷面實際通行能力成反比，即當事故持續時間越長，車輛排隊長度越大；路段上有車流量間越大車輛排隊長度越大；當橫斷面通行能力變大時，車輛排隊長度就會相應的變小。4.4計算車輛排隊長度到

23、達上游路口所需要的時間4.4.1下式考慮的是在考慮到上游交通信號燈對交通流的延遲影響由題意得，假設事故發生在距上游路口140米處，路段下游方向需求不變，路段上游流量1500pcu/h，事故發生時車輛的初始排隊長度為零，且事故持續不撤離，則由題意可知該問題的模型要注意的有以下幾點：i)要考慮到路段上游的車流量有4%左右是不受信號燈控制的，其余都是受信號燈控制的（具體計算過程見附錄）ii）事故發生在兩個小區路口的中間，故其中一個小區出來的車流量不再計入堵塞車流量里面iii）綠信比=40%（已知=綠燈有效時間/信號周期），問題四中的上游交通流量中不受交通信號燈控制的的車流量部分= =4%，其中37是

24、從視頻中所有的車輛中數出來的，在視頻1的總時長中總共出現了398輛小車，28輛中車，25輛大車，換算成（pcu/h）的形式就是980（pcu/h）這個和我們計算的實際通行能力有差別，初步考慮原因有二：一是視頻中存在幾處視頻的斷點，其中的車流量數無法計數，這也是最主要的原因，二是計算存在誤差。但在誤差允許的范圍內可以忽略。延遲影響時間計算公式如下：圖7排隊長度與延遲時間4.4.2車輛減-加速過程和減速加速延誤駛入信號控制道路交叉口機動車的運行軌跡或者運行過程的不同可以通過其在停車線前的駐停狀態的不同來進行區分。機動車在停車線前的停車狀態可以分為：不完全停車狀態、完全停車狀態、以及完全不停車狀態。

25、不完全停車狀態(如圖8a所示)是指車輛在紅燈信號時到達或者在車隊消散前到達，需要在未到達停車線之前做出制動減速動作直至速度降至到零，但是并沒有經歷排隊等候時間，而是直接重新起動并且加速至一般正常行駛速度；圖8a 完全停車狀態(如圖8b所表示1是指：車輛在紅燈信號時到達者在車隊消散前到達，需要在未到達停車線之前做出制動減速動作直至速度降至到零并且排隊等候一段時間直至紅燈信號結束或者車隊完全消散，然后重新起動并且加速至一般正常行駛速度；圖8b完全不停車狀態(如圖8c所表示)是指：車輛可能在綠燈信號時到達，但是由于前方車隊沒有完全消散，機動車需要做出制動減速動作但速度并未降到零然后車輛又加速至原來正

26、常行駛速度，這一過程要經歷減速、加速過程，造成時間損失。顯然，這三種過程均要產生車輛運行時間的損失即是車輛延誤。 圖8c上圖是道路交叉口進口車道三種車輛受阻的減速加速過程圖。如果假設車輛的平均正常行駛的速度為，車輛慢速行駛的平均速度為，加速度為a，減速度為b，相應的加速延誤為、減速延誤為，車輛減-加速延誤為，停車延誤為，則有如下公式：=+對于車輛為不完全停車狀態和完全不停車狀態時，有：，對于車輛完全停車狀態，有特別當a=b 時，有所以，從公式上看，車輛減速，加速所產生的延誤與車輛正常的行駛速度和車輛的減速度，加速度有關。文獻和觀測結果顯示出：雖然車輛在信號控制道路交叉口的減速度，加速度不盡相同

27、，但是其所經歷的減速，加速延誤卻并沒有顯著地差異，雖然不同類型車輛的減速度，加速度和行駛速度不盡相同，但是車輛平均正常行駛速度與平均減速度，加速度之比, 卻相似或相同。以觀測的結果來看，不同車輛經歷的平均減速，加速延誤在6-10s之間浮動。由第三問得出的模型：結合第一問中得出的數據，和, 將=1500 (pcu/h), =140 m，代入方程求得=168.56s，取近似整數為169s，將此時間與加減速延誤時間加合即得到當排隊長度到達上游路口時所用時間大致在175s與179s之間。4.5模型檢驗通過使用從視頻中提取到的幾組數據，我們利用SPSS做出了其相關系數，具體見下表，由表可知實際通行能力與

28、車輛排隊長度成反比，事故持續時間、路段上游車流量與車輛排隊長度成正比關系表5描述性統計量均值標準差N長度120.003.8085上游車輛22.404.3365事故持續時間61.6020.3055實際通行能力170.0058.1255表6相關性長度上游車輛事故持續時間實際通行能力長度Pearson 相關性1.969*.973*-.974*顯著性（雙側）.006.005.005N5555上游車輛Pearson 相關性.969*1.996*-.997*顯著性（雙側）.006.000.000N5555事故持續時間Pearson 相關性.973*.996*1-.989*顯著性（雙側）.005.000.001N5555實際通行能力Pearson 相關性-.974*-.997*-.989*1顯著性（雙側）.005.000.001N5555*. 在 .01 水平（雙側）上顯著相關。五、模型評價（一）優點(1)在第一問中，利用函數關系式與圖表相結合的方式比較精確和直觀的描述了交通事故發生制撤離期間，事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。(2)對于變量的處理，巧妙的采用忽略次要因素，突出主要因素，從而簡化問題，更利于對問題的分析和研究，從而得出更精確地結論。(3)