1、第十六章二次根式導學案二次根式(1)一、學習目標1、了解二次根式的概念，能判斷一個式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意義的條件。3、掌握二次根式的基本性質：a 0(a 0)和(F)2 a(a 0)二、學習重點、難點重點：二次根式有意義的條件；二次根式的性質.難點：綜合運用性質 n 0(a 0) ffi(Va)2 a(a 0)。三、學習過程(一)復習回顧：(1) 已知 x2 a ,那么 a是x的;*是2的, 記為, a一定是數。(2) 4的算術平方根為 2,用式子表示為/4 = ；正數a的算術平方根為, 0 的算術平方根為 ;式子va 0(a 0)的意義是。(二)自主學習(1)/6的平方根是

2、；(2)一個物體從高處自由落下，落到地面的時間是t (單位：秒)與開始下落時的高度h(單位：米)滿足關系式h 5t2。如果用含h的式子表示t,則t=;(3)圓的面積為S,則圓的半徑是 ;正方形的面積為b 3,則邊長為。思考：而，機,J,后方等式子的實際意義.說一說他們的共同特征.定義：一般地我們把形如 后(a 0)叫做二次根式，a叫做。J。1、試一試：判斷下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？316 3 45 _a(0) x2 1(a )32、當a為正數時指a的,而0的算術平方根是 ,負數,只有非 負數a才有算術平方根。所以，在二次根式 右中，字母a必須滿足，才有意義。3、根據算術平方根

3、意義計算：(1)(的)2(2)(、2(3)(汨)2(4)心2根據計算結果，你能得出結論：(.)2 ，其中a 0,4、由公式(扃 a(a 0),我們可以得到公式a = «a)2 ,利用此公式可以把任意一個非負數寫成 一個數的平方的形式。如(、5)2=5;也可以把一個非負數寫成一個數的平方形式，如5=( ,5)2.練習：(1)把下列非負數寫成一個數的平方的形式：60.35(2)在實數范圍內因式分解2-72x 74a -11(三)合作探究例：當x是怎樣的實數時，/口在實數范圍內有意義？解：由x 2 0 ,得x 2當x 2時，5rx""2在實數范圍內有意義。練習：1、x取

4、何值時，下列各二次根式有意義？ J3x 4 J2 2 x J，32 x2、(1)若ja一a有意義，則a的值為:(2)若 廠x在實數范圍內有意義，則*為()。A.正數 B.負數 C.非負數 D.非正數1 2x3、(1)在式子二中，x的取值范圍是1 x(2)已知 Vx2 4 + 2xy = 0,貝U x y .(3)已知 y 43x2 ,則 yx=0(四)達標測試(一)填空題：1、2、若 <2x 1 y 1 0 ,刃B么 x=, y=。3、當x=時，代數式;4TW有最小值，其最小值是 o4、在實數范圍內因式分解：(1)x29 x2 ( )2=(x+ ) (y-)(2)x2 3x2( )2=(

5、x)(y-)(二)選擇題：1、一個數的算術平方根是a,比這個數大3的數為()A、a3 B、jM3 C> Va 3 D、a232、二次根式中，字母a的取值范圍是()A、 a< l B 、a< 1 C 、a>1 D 、a>12、已知0則x的值為A x>-3 B 、x<-3 C 、x=-3 D、x 的值不能確定3、下列計算中，不正確的是 ()。2A 3= (V3)2 B、 0.5= (V0.5)2 C、7060.6 D、(547)2 35課后記：二次根式(2)、學習目標1、掌握二次根式的基本性質： Ja2 a 2 、能利用上述性質對二次根式進行化簡、學習重點

6、、難點重點：二次根式的性質va7 a.難點：綜合運用性質 后 | a進行化簡和計算三、學習過程(一)復習引入：(1)什么是二次根式，它有哪些性質？(2)二次根式J-2有意義,則x。:x 5(3)在實數范圍內因式分解：x2 6 x2 ( ) 2= (x+ ) (y-)(二)自主學習1、計算：/42而2y(327202 5 觀察其結果與根號內幕底數的關系，歸納得到：當 a 0時，2、計算： 式 4)2 J( 0.2)2小 |)2 J( 20)2觀察其結果與根號內幕底數的關系，歸納得到：當 a 0時,Ja2 3、計算：0Q2 當 a 0時，Va_2_ (三)合作交流1、歸納總結將上面做題過程中得到的

7、結論綜合起來，得到二次根式的又一條非常重要的性質：a a 0二-2-vaa 0 0a a 02、化簡下列各式：(1)、d諼 (2)、J( 0.5)2 (3)、v；(6)2 (4)> v 2a 2 =(a 0)3、請大家思考、討論二次根式的性質(點)2 a(a 0)與J7 |a有什么區別與聯系。(四)鞏固練習化簡下列各式(1) <4x2 (x 0)(2)&(3) % (a 3)2 (a 3)(4) 2 2x 3 2 (x<-2) 注：利J用J/ a可將二次根式被開方數中的完全平方式“開方”出來，達到化簡的目的，進行 化簡的關鍵是準確確定“ a”的取值。(五)達標測試：A

8、組1、填空：(1)、&2x 1) 21 2 x f 4 - , (x -)4 x. x-(j2x 3)2(x 2)=. (2)、7(4)?= (3) a、b、c為三角形的三條邊，則 J(a b c)2 |b a c .2、已知2Vx<3,化簡：加2)2 |x 3313已知0<x<1,化簡：'( B組4邊長為a的正方形桌面，正中間有一個邊長為 a的正方形方孔.若沿圖中虛線鋸開，可以拼成 3一個新的正方形桌面.你會拼嗎？試求出新的正方形邊長.、一15、把2爪口的根號外的2 x適當變形后移入根號內，得()A <2 x B、v'x 2 C、<2 x

9、 D、 Jx 2 6、若二次根式q 2x 6有意義,化簡I x-4 | - | 7-x |課后記:二次根式的乘除法二次根式的乘法、學習目標理解盧弗=4a (a>0, b> 0), Oab=Oa 耶(a>0, b>0),并利用它們進行計算和化簡二、學習重點、難點重點：掌握和應用二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質。難點：正確依據二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質進行二次根式的化簡。三、學習過程(一)復習引入1.填空：(1) >/4x/=, y/49=；(2) 炳 xV25=, J16 25=；VT6 x V25 木6 25(3)廊0 義質=, J100 3

10、6 =7100 X V36_J100 36(1)75x 77例2、化簡(1) .9 16鞏固練習(1)計算：屈X或5V5 X2v;15 12a3(2)化簡: 20；.18;.24 ;54 ;12a* 2b2(二)、探索新知1 、學生交流活動總結規律.2 、一般地，對二次根式的乘法規定為ya . yb = yan.(a>0, b>0 反過來：jab=ja 內(a>0, b>0)（三）、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:(1) ,( 4) ( 9) C。(2)1412 X 應5=4X .12 X 255 =4j12 X 725=4/

11、2=873 25': 25 25(四)展示反饋展示學習成果后，請大家討論：對于 展x工眨7的運算中不必把它變成 V243后再進行計算，你有什么好辦法？注：1、當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘以單項式法則進行計算：即系數之積作為積的系數，被開方數之積為被開方數。2、化簡二次根式達到的要求：（1）被開方數進行因數或因式分解。（2）分解后把能開盡方的開出來。（五）達標測試：A組1、選擇題（1）等式?成立的條件是（）A . x>1 B . x>-1 C . -1 <x<1 D . x>1 或 x"（2）下列各等式成立的是（）.A. 4<5 X

12、 2/5 =875B . 5 <3 X42 =2075C. 4<"3 X3V2 =7<5 D . 573 X42 =2076（3）二次根式；（2）2 6的計算結果是（）A . 2而 B , -2 66C .6 D . 122、化簡：(1) 7360;(2) J32x4 ；3、計算:1、選擇題(1)若 a 2 b2 4b 4 Jc2 c 1 0 ,則 jb2 ?4£? A =()A. 4 B , 2 C . -2 D.1(2)下列各式的計算中，不正確的是()A .忒 4) ( 6) C 口= (-2) X (-4) =8B .<14a4J4Va442

13、，(a2)22a2C .<32 42J9 16 255D.1321 22.(131 2)(13 1 2)13 1 21 3 1 225 12、計算：(1) 6V8 X (-2 J6);(2) 780b J氤；3、不改變式子的值，把根號外的非負因式適當變形后移入根號內。(1) -33(2)課后記:二次根式的除法、學習目標1、掌握二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質。2、能熟練進行二次根式的除法運算及化簡。、學習重點、難點重點：掌握和應用二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質。難點：正確依據二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質進行二次根式的化簡。三、學習過程（一）復習回顧1、寫出二

14、次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質2、計算:(1) 3 乖乂 (-4 喬)(2) J12ab,6ab33、填空:般地，對二次根式的除法規定:反過來,卜面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目.（二）、鞏固練習).注：1、當二次根式前面有系數時，類比單項式除以單項式法則進行計算：即系數之商作為商的系數，被開方數之商為被開方數2、化簡二次根式達到的要求：（1）被開方數不含分母；（2）分母中不含有二次根式（三）拓展延伸閱讀下列運算過程：1 _3_ 直 _2_ _215_ 2.5君於a 3,非 V5V55數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”。利用上述方法化簡：(1) 工 (2) 3=

15、 三二( 4)邛=63,2122,5（四）達標測試:1、選擇題（1）計算后行舊的結果是（A. 2 # B .2 C.7277（2）化簡里!的結果是（）,27A.q B .一寶 C .-2、計算：（D2（2） 率48, 8x用兩種方法計算:(2)(1)專課后記:最簡二次根式一、學習目標1、理解最簡二次根式的概念。2、把二次根式化成最簡二次根式.3、熟練進行二次根式的乘除混合運算。二、學習重點、難點重點：最簡二次根式的運用。難點：會判斷二次根式是否是最簡二次根式和二次根式的乘除混合運算 三、學習過程（一）復習回顧1、化簡(1) .96x4 =(2) 3= =2733 248(3) =(4) -=

16、=-5.272a2、結合上題的計算結果，回顧前兩節中利用積、商的算術平方根的性質化簡二次根式達到的要求是什么?(二)自主學習 觀察上面計算題1的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式有如下兩個特點:1 .被開方數不含分母；2 .被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.2、化簡： 352(2)Jx2y4 x4y2(3)國7(4) 半(三)合作交流2、比較下列數的大小(1)必與同(2)7也與 677注：1、化簡二次根式的方法有多種，比較常見的是運用積、商的算術平方根的性質和分母有理 化。2、判斷是否為最簡二次根式的兩條標準：(1)被開方數不含分母；

17、(2)被開方數中所有因數或因式的幕的指數都小于 2.(四)拓展延伸觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：1 (、,2 1).2 1.2 1( . 2 1)(、2 1)2 1<2 1,1 (,3 .2)(.3 .2)( . 32)同理可得：= 2 33 ,2,.3從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算+.2009, 2008)(20099 1)的值.（五）達標測試:1、選擇題(D如果（y>0）是二次根式，化為最簡二次根式是（）.r.三(y>0) B .弧(y>0) C.為（y>0） D .以上都不對 y(2)化簡二次根式a,a 2、-

18、.a 22、填空:(1)化簡. x4 x2y2,(x>0)一，1.(2)已知x y,貝U x.5 23、計算:512533b4、計算:Jab ?( 7a b) 3J ( a>0, b>0)b21. a5、若 x、y 為實數，且 y= x2 44 x21,求 j7"?；M 的值 x 2'課后記:二次根式的加減學案（1）學習內容：同類二次根式二次根式的加減學習目標：1、理解同類二次根式，并能判定哪些是同類二次根式2、理解和掌握二次根式加減的方法.3 、先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再總結 經驗，用它來指導根式的計算和化簡

19、.學習重點、難點1、重點：二次根式化簡為最簡根式.2、難點：會判定是否是最簡二次根式.學習過程-、 自主學習（一）、復習引入計算.(1) 2x 3x; (2) 2x2 3x2 5x2 ; (3) x 2x 3y; (4) 3a2 2a2 a2（二）、探索新知學生活動：計算下列各式.(1) 2 版+3 版=(2) 2乖-3乖+5冊=(3) "+2"+3>/9"7 =(4) 3>/3-2 73+72 =由此可見，二次根式的被開方數相同也是可以合并的，如2V2與通表面上看是不相同的,但它們可以合并嗎？也可以.（與整數中同類項的意義相類似我們把 3/3與2/3

20、, 3jW、 2ja與4指這樣的幾個二次根式，稱為同類二次根式）3.2 + ,8=3,2+2<2 =5,23,3+ 27 =3.3+3,3 =6.3所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，？再將同類二次根式進行合并.例1.計算 （1）忠+犧(2) ,T6x + . 64x例 2.計算(1) 3748-9 /1+3V12(2)(V48+V20 ) + (VT2-V5)歸納：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式;第二步，將相同的最簡二次根式進行合并.、鞏固練習12('3 S)( .4820) ( -125) x:；4y(4)6x x)、學生小組交流解疑，教師

21、點撥、拓展例 3.已知 4x2 3+y2-4x-6y+10=0 ,求(？x而+y2)-(x23 y-5x I-)的值.四、課堂檢測（一）、選擇題.以下二次根式： 瘋；萬；J|；商中，與73是同類二次根式的是（）.A .和 B .和 C .和 D .和2.下列各式：3代+3=673;-"=1；/|+而=78=27l ；W|4=2VI,其中錯誤7. 3的有（）.A .3個 B.2個 C.1個 D.0個3 .在下列各組根式中，是同類二次根式的是 （）(A) 73 和瓦 (B) J3 和，-(C) Va2b 和 v/ab2 (D) 和4 .下列各式的計算中，成立的是（(A) 2,5 2 -

22、5(B) 4 5 3,51 (C)x2 y2x y (D) . 45. 20. 55 .若 a -J-, b2 1b）的值為（ a(A)2(B) -2(D) 22、填空題1 .在 5/8、.125、2/37'、3底、 a-2（中，與島是同類二次根式的4 .若最簡二次根式73a b與a痂 是同類二次根式,則a=, b =5 .計算:1) ) -V27a3a2 J33a J- J108a(2) > 32J12Pv75V053a ' 34. 8' 3三、綜合提高題先化簡，再求值.(6x 丫 3%守)(4xJ-久36xy),其中 x=3 , y=27. x y'

23、y2課后記:二次根式的混合運算、學習目標熟練應用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進行二次根式的混合運算、學習重點、難點重點：熟練進行二次根式的混合運算。難點：混合運算的順序、乘法公式的綜合運用 三、學習過程（一）復習回顧:1、填空(1)整式混合運算的順序是： (2)二次根式的乘除法法則是：(3)二次根式的加減法法則是： (4)寫出已經學過的乘法公式：2、計算：(1)屈居榭(二)合作交流1、探究計算：(1) ( V8 33 ) X 762、探究計算：(1) (、.2 3)(.2 5)(三)展示反饋1巾計算： (1) ( 27 V24 33(3) (3 <2 2 T3)2(2) - J(3

24、) 2 3 8 8 -122. - Y50.41625(2) (4.2 3,6) 2,22(2) (2,3 、2)點 *12(2) (2J3 V5)(v 2 33)(4)(V10-”)(-710-77)注：整式的運算法則和乘法公式中的字母意義非常廣泛，可以是單項式、多項式，也可以代表二次根式，所以整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算。(四)拓展延伸同學們，我們以前學過完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2,你一定熟練掌握了吧！現在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數(包括0)都可以看作是一個數的平方，如 3= ( 73)2) 5= ( ；5) 2,下面我們觀察：(.2 1)2

25、(,2)2 2 12 12 2 2、.2 1 3 2、. 2反之，3 2,2 2 2,2 1 (、.2 1)23 2.2 ( .2 1)23 2.2 =2-1仿上例，求：(1); ,4 2北(2)你會算v'4行2嗎?(3)若 x*a 2cb Vm 而，則 m n與a、b的關系是什么？并說明理由.(六)達標測試：1、計算：(1) (<80 90)展A組(2) 24.3.6 2.3(3) (403b 3ab vab") (Vab) (a>0, b>0)(4) (2辰 5商- 2«- 5&)2、已知 a 7二,b,求 v'a2 b2 10

26、 的值.2 1、2 1B組1、計算：(1) (<3箍 1)(<3 姓 1)(2) (3月) 2009(3 炳 2009課后記:二次根式復習、學習目標1、了解二次根式的定義，掌握二次根式有意義的條件和性質。2、熟練進行二次根式的乘除法運算。3、理解同類二次根式的定義，熟練進行二次根式的加減法運算。4、了解最簡二次根式的定義，能運用相關性質進行化簡二次根式。、學習重點、難點重點：二次根式的計算和化簡。難點：二次根式的混合運算，正確依據相關性質化簡二次根式。三、復習過程(一)自主復習1. .若a>0, a的平方根可表示為 a的算術平方根可表示2. 當a 時，J1 2a有意義，當a 時，J3a5沒有意義。3. «32 師 2)2 4. V14 V48 ； <72 <18 5. 122 9 ;4V25 <20 (二)合作交流，展示反饋1、式子 三 以4成立的條件是什么？x 5 x 52、計算： 2配14r3 57243.計算：(1)應 5我 3/75(2)(3,2 2、3)2(三)