1、第六章第六章 靜定結構的內力計算靜定結構的內力計算林國昌2古代石平板橋與古代石拱橋：石平板橋施工簡單，造價低，為什么還要建石拱橋？古石橋的思考！趙州橋：又名安濟橋，位于河北趙縣洨河上，它是世界上現存最早、保存最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽為“華北四寶之一”。建于隋大業(公元605-618)年間，是著名匠師李春建造。橋長50.82米，跨徑37.02米，拱高7.23米，是當今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩型石拱橋。6-6 6-6 三鉸拱三鉸拱4CFs圖M 圖內容回顧梁在豎向荷載作用下，材料只承受彎矩和剪力，沒有軸力作用。5第六節 三鉸拱拱的種類：6第六節 三鉸拱三鉸拱的幾何參

2、數三鉸拱的幾何參數: :1.拱軸線拱軸線:拱身各橫截面形心的連線 (曲線部分ABC);2.拱趾:支座 A 和 C ;3.跨度跨度:兩個支座間的水平距離 l ;4.起拱線:兩個支座的連線 ;5.拱頂:拱軸線上距起拱線最遠的一點；6.拱高拱高:拱頂到起拱線的距離 f 。7.高跨比高跨比:拱高與跨度之比 。lf拱高f起拱線高跨比高跨比:是拱的基本參數，通常高跨比控制在1/101的范圍內。7第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算1.支座反力的計算取整體為分離體:i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF得:取左半部分為分離體:( )0CMF 1122()()222VAHAlllFFaFaFf0)(FM

3、B( )0AMF 0 xF 三鉸拱是靜定結構，其全部約束力和內力都可以通過靜力平衡方程獲得。8第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算1.支座反力的計算i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF1122()()222VAHAlllFFaFaFf三鉸拱是靜定結構，其全部約束力和內力都可以通過靜力平衡方程獲得。結論：在只有豎向荷載作用下，三鉸拱產生了對支座的水平推力水平推力。而只有豎向荷載作用的簡支梁不會產生水平推力。C9第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算1.支座反力的計算考察一個與該拱跨度相同、荷載相同的簡支梁的內力。由規律(2)得：001122=()()222CVAlllMFFaFa0VAF0VBF

4、取整體為分離體:00i iVAiiVBFbFlFaFl得:0)(FMB( )0AMF 規律規律(2)(2)：梁的任一橫截面上的彎矩代數值等于該截面一側(左側或右側)所有外力對該截面與梁軸線交點的力矩的代數和。其中每一力矩的正負號按彎矩的正負號規定確定。10第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算i iVAFbFliiVBFaFlHAHBHFFF1122()()222VAHAHBlllFFaFaFFf00,VAVAVBVBFFFF0CHAHBHMFFFf001122=()()222CVAlllMFFaFa0VAF0VBF與該拱跨度相同、荷載相同的簡支梁0i iVAFbFl0iiVBFaFl結論：結論：11

5、第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算1.支座反力的計算（1）在豎向荷載作用下,三鉸拱的豎向支座反力 與相應簡支梁的支座反力相同；（3）FH 稱為水平推力水平推力，當跨度不變時,水平支座反力與f 成反比。0VAF0VBF00,VAVAVBVBFFFF0CHAHBHMFFFf結論：結論：（2）拱的水平支座反力水平支座反力等于相應簡支梁截面C 處的彎矩 除以拱高 f；12第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算2.內力的計算內力有彎矩、剪力和軸力。符號規定：彎矩以使拱內側受拉為正； 剪力以使分離體順時針轉動為正； 軸力以使分離體受拉為正。K 截面的內力:KMNKFSKF彎矩剪力軸力拱內側拱內側a113第六節 三鉸拱

6、一、三鉸拱的計算2.內力的計算求 K 截面的內力！取 AK 段為分離體:（1）彎矩計算得:11()KVAKKHKMF xF xaF y0KHKMF y結論: 1)拱內任一截面的彎矩等于相應簡支梁對應截面處的彎矩減去拱的水平支座 反力引起的彎矩 FHyK 。11( )0,()0KVAKKHKKMFF xF xaF yM00,VAVAVBVBFFFF由于水平推力的存在,拱中各截面的彎矩要比相應簡支梁的彎矩小。14第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算2.內力的計算取 AK 段為分離體:（2）剪力計算S10,cossincos0yKKHKVAKFFFFF得:S1()cossinKVAKHKFFFF0coss

7、inSKKHKFFxy（3）軸力計算N10,()sincosxKVAKHKFFFFF0NsincosKSKKHKFFF 00,VAVAVBVBFFFF15第六節 三鉸拱一、三鉸拱的計算（2）剪力計算0cossinKSKKHKFFFxy（3）軸力計算0NsincosKSKKHKFFF （1）彎矩計算0KKHKMMF y內力計算方法：先求等跨度梁的內力，之后代入上式。結論：與該拱跨度相同、荷載相同的簡支與該拱跨度相同、荷載相同的簡支梁相比，拱的截面所受的軸向壓力較大，梁相比，拱的截面所受的軸向壓力較大，而彎矩和剪力較小。而彎矩和剪力較小。16第六節 三鉸拱拱結構在工程中有著廣泛的應用。常見的拱結構

8、三鉸拱。總結拱的特點: 2.水平推力減小了橫截面的彎矩,使得拱主要承受軸向壓力作用;3.建筑材料可選用抗壓性能好而抗拉性能差的材料(磚、石、混凝土等)。4.要求有堅固的基礎,施工困難。1.在豎向荷載作用下,支座處產生水平推力水平推力;17第六節 三鉸拱例 611 試繪制圖所示三鉸拱的內力圖，拱的軸線方程為 。)(42xLxLfy解: (1)求支座反力i iVAiiVBHAHBHFbFlFaFlFFF01122()()222=VACHAlllFFaFaMFff18第六節 三鉸拱例 611 試繪制圖所示三鉸拱的內力圖，拱的軸線方程為 。)(42xLxLfy解:(2) 把拱跨八等分,分別算出相應各截

9、面的 M、FS、FN值。0CHMFf424 44(164)3m16y計算 4m 處截面的M、FS、FN值:2d4tan(2 )dyfLxxL424 4tan(162 4)0.516 0S4444cossin0SHFFF0N4444sincos13.4kNSHFFF 04444kN.mHMMF ykN/m2q（2）剪力計算0cossinKSKKHKFFF（3）軸力計算0NsincosKSKKHKFFF （1）彎矩計算0KKHKMMF y19第六節 三鉸拱例 611 試繪制圖所示三鉸拱的內力圖。拱的軸線方程為)(42xLxLfy解: 各截面內力列表如下:0cossinKSKKHKFFF0Nsinc

10、osKSKKHKFFF 0KKHKMMF y20第六節 三鉸拱例 611 試繪制圖所示三鉸拱的內力圖。拱的軸線方程為)(42xLxLfy解: 各截面內力列表如下:0cossinKSKKHKFFF0NsincosKSKKHKFFF 0KKHKMMF y21第六節 三鉸拱例 611 試繪制圖所示三鉸拱的內力圖。拱的軸線方程為)(42xLxLfy解: (3) 繪制內力圖22第六節 三鉸拱 拱的內力計算步驟總結如下:(1)先將拱沿水平方向分成若干部分。(2)求出相應簡支梁各截面的 M 0 及 。(3)由給定的拱軸方程求出拱各截面的傾角 。(4)求出各截面的彎矩M、剪力FS 和軸力FN 。(5)按各截面

11、的彎矩M、剪力FS 和軸力FN 值繪制內力圖。0SF23第六節 三鉸拱二、拱和梁的比較拱的合理軸線1.拱和梁的比較(1)在豎向荷載作用下,拱的軸力較大,為主要內力;(2)在豎向荷載作用下,梁沒有軸力,只承受彎矩和剪力,不如拱受力合理, 拱比梁能更有效地利用材料的抗壓性。0KKHKMMF y拱任一截面K 的彎矩值由于水平推力的存在,三鉸拱的彎矩比同跨簡支梁相應截面的彎矩值小。,其中水平推力:0CHMFf(3) 在豎向荷載作用下,拱對支座有水平推力,所以設計時要考慮水平推力 對支座的作用。屋面采用拱結構時,可加拉桿來承受水平推力。24第六節 三鉸拱二、拱和梁的比較拱的合理軸線2.拱的合理軸線一般情

12、況下,拱任一截面上內力有彎矩、剪力和軸力。若能適當地選擇拱的軸線形狀,使得在給定的荷載作用下,拱上各截面只承受軸力,而彎矩為零,這樣的拱軸線稱為合理軸線合理軸線。0KKHKMMF y拱任一截面K 的彎矩值拱上任意截面形心處縱坐標用y(x)表示;該截面彎矩用M(x)表示;相應簡支梁上相應截面的彎矩用M0(x)表示。要使拱的各橫截面彎矩都為零,則應有：0)()()(0 xyFxMxMH0( )( )HMxy xF結論：在豎向荷載作用下,三鉸拱的合理軸線的縱坐標與相應簡支梁彎矩圖的縱坐標成正比。25第六節 三鉸拱二、拱和梁的比較拱的合理軸線例612試求圖所示三鉸拱在均布荷載作用下的合理軸線。解： 相

13、應簡支梁如圖所示其彎矩方程為)(212121)(20 xlqxqxqlxxM拱的水平推力為022H188CMqlqlFfff合理軸線方程為：022()( )42( )()8Hqx lxMxfy xx lxqlFlf結果表明：在滿跨均布荷載作用下,三鉸拱的合理軸線是拋物線。 房屋建筑中拱的軸線常采用拋物線。C6-7 6-7 靜定平面桁架靜定平面桁架27第七節 靜定平面桁架一、概述桁架 是由若干直桿用鉸連接而組成的幾何不變體系。桁架的特點是:(1)所有各結點都是光滑鉸結點。桁架結構的優點是：（1）重量輕,受力合理, (2)能承受較大荷載,可做成較大跨度。(2)各桿的軸線都是直線并通過鉸鏈中心。(3

14、)荷載均作用在結點上。平面桁架 桁架中各桿軸線處在同一平面內。二力桿符合上述假定條件的桁架稱為理想桁架。因此桿的橫截面上只產生軸力。28第七節 靜定平面桁架桁架的桿件布置必須滿足幾何不變體系的組成規則。常見的桁架一般是按下列兩種方式組成：（1）由一個基本鉸接三角形或基礎開始,逐次增加二桿結點,組成一個桁架, 用這種方式組成的桁架稱為簡單桁架。29第七節 靜定平面桁架(2) 由幾個簡單桁架聯合組成的幾何不變體系,稱為聯合桁架。CAB30上邊的各桿稱為上弦桿, 下邊的各桿稱為下弦桿在中間的各桿稱為腹桿, 腹桿又按方向分為豎桿和斜桿。弦桿上相鄰兩結點的區間稱為節間, 其間距 d 稱為節間長度。兩支座

15、的連線到桁架最高點之間的垂直距離 H 稱為桁高。兩支座間的水平跨距離稱為跨度, 用 l 表示。上弦桿下弦桿豎桿斜桿dH第七節 靜定平面桁架l31ByF第七節 靜定平面桁架二、結點法計算桁架內力例6-13 試計算圖示桁架各桿內力。解： 先計算支座反力。以桁架整體為分離體,求得：kN20kN,20ByAyFF逐次截取出各結點求出各桿的內力。畫結點受力圖時,一律假定桿件受拉。結點1：130, (205)kNsin300yFF得：1330kNF 由：13120,cos300 xFFF得：1225.98kNF 32ByF第七節 靜定平面桁架二、結點法計算桁架內力例6-13 試計算圖示桁架各桿內力。解：結

16、點2：0,yF 得：230F 由：0,xF 得：252125.98kNFF2由：結點3：由：得：343520kN,10kNFF 3435310,cos30cos30cos300 xFFFF3435310,sin30sin30sin30100yFFFF1225.98kNF 1330kNF 33ByF第七節 靜定平面桁架二、結點法計算桁架內力例6-13 試計算圖示桁架各桿內力。解：結點4：0,xF 得：434720kNFF 由：由：得：4510kNF 45430,102sin300yFFF注意：因為結構及荷載是對稱的,故只需計算一半桁架,處于對稱位置的 桿件具有相同的軸力,也就是說,桁架中的內力是

17、對稱分布的。34ByF第七節 靜定平面桁架二、結點法計算桁架內力例6-13 試計算圖示桁架各桿內力。解：注意：因為結構及荷載是對稱的,故只需計算一半桁架,處于對稱位置的 桿件具有相同的軸力,也就是說,桁架中的內力是對稱分布的。35第七節 靜定平面桁架注意零桿的判斷： 不在一直線上的兩桿相交于一個結點,且此結點上無外力作用時, 此兩桿的內力為零。內力為零的桿稱為零桿F2=0F1=0(2)三桿結點上無外力作用,如其中任意二桿共線,則第三桿是零桿。F1F2F3=012FF 36第七節 靜定平面桁架例題 12： 求圖示桁架中桿 a 的內力。AB4m4m4m30kN2m2ma51234解: 由結點 1

18、可知：120F 450由結點 2 可知：230F340F由結點 3 可知：由結點 4 可知：450F37第七節 靜定平面桁架例題： 求圖示桁架中桿 a 的內力。AB30kN2ma51234解:4502m取節點 5 為脫離體，畫受力圖。00,300sin45yaFF42.4kN(aF 拉力）4m4m4m545030kNFA5FaF2538第七節 靜定平面桁架三、截面法求內力 截面法就是用一個截面截斷若干根桿件, 將整個桁架分為兩部分( 包括若干結點在內 )作為脫離體, 建立平衡方程, 求出所截斷桿件的內力。例 614 求圖示桁架中指定桿件1、2、3 的內力。解： 先求出桁架的支座反力。以桁架整體

19、為分離體,求得：0,5 . 2,5 . 2AxByAyFFFFF39第七節 靜定平面桁架三、截面法求內力例 614 求圖示桁架中指定桿件1、2、3 的內力。用截面-將桁架截開 取截面左半部為分離體。10, 2.50yFFFFF得：10.5FF40第七節 靜定平面桁架三、截面法求內力例 614 求圖示桁架中指定桿件1、2、3 的內力。用截面-將桁架截開 取截面右半部為分離體。2( )0,2.50CMFFaF aF a得：21.5FF 30,cos452.50yFFFFF得：322FF 41第七節 靜定平面桁架例 13 試求圖示桁架 CK中桿的內力ddd900300600F/2GABCDEKFBF

20、A解: (1) 求支座反力2ABFFFFF/2F23由-截面,取截面右邊為脫離體, 畫受力圖。F42第七節 靜定平面桁架例 13 試求圖示桁架 CK中桿的內力ddd900300600F/2GABCDEKFBFA解:FF/2FF900300600FF/2GBKFBEFCKFGEFKE033330,0tan302422CKEddFdMFF2BFF43第七節 靜定平面桁架 結點法和截面法是計算桁架的兩種基本方法,各有其優缺點。（1）結點法適用于求解桁架全部桿件的內力,但求指定桿內力時, 一般說來比較繁瑣。（2）截面法適用于求指定桿件的內力,但用它來求全部桿件的內力時, 工作量要比結點法大得多。應用時

21、,要根據題目的要求來選擇計算方法。應用時,要根據題目的要求來選擇計算方法。44第七節 靜定平面桁架四、幾種梁式桁架受力性能的比較桁架中各桿的內力是與桁架的形狀、桿件布置、外荷載作用位置等因素有關的。常用的幾種桁架:1.平行弦桁架2.三角形桁架3.拋物線型桁架討論:三種桁架在相同荷載、相同跨度、相同高度條件下各桿的內力值。通過分析可知,所有桁架的上弦桿受壓,下弦桿受拉。45第七節 靜定平面桁架四、幾種梁式桁架受力性能的比較(1) 平行弦桁架的內力分布不均勻，內力變化較大。這類桁架在工程上一般采用相同截面的弦桿,并廣泛用于輕型桁架中,而不會造成較大的浪費。(2) 三角形桁架的內力分布也不均勻,上、下弦桿的內力,隨靠近支座遞增,支座處最大。腹桿的內力隨靠近支座遞減。支座端結點處弦桿間夾角很小,構造復雜。但它有較大的坡度,便于排水,適合屋頂結構的要求,廣泛用于屋架結構中,且木屋架應用