1、30/4/200906/ec/C180/黃山學院信息工程學院黃山學院信息工程學院自動控制自動控制第五章 頻率分析法第五章 頻率分析法 在工程實際中，人們常運用頻率特性法來分析和設計控制系統的性能。 頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統的開環頻率特性的圖形來分析閉環系統的性能，因而可避免繁瑣復雜的運算。來分析和設計控制系統的性能。第一節 頻率特性 頻率分析法的數學模型是頻率特性。通過對系統頻率特性的分析來分析和設計控制系統的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章 頻率分析法G(S)R(s)C(s) 系統結構圖如圖系統結構圖如圖: 一 頻率特

2、性的定義設系統傳遞函數為設系統傳遞函數為 第一節 頻率特性特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反變換得變換得: c(t)=A1 e-j tej t+A2 ni=1esit+Bi 系統的穩態響應為系統的穩態響應為 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系數求待定系數: A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理:

3、-jG(j )G(-j )=|G(j )|e根據根據 -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系統正弦信號作用下的穩態輸出是與系統正弦信號作用下的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為值之比為| |G(jG(j)|,)|,穩態輸出與輸入間的穩態輸出與輸入間的相位差為相位差為G(jG(j) )。 系統輸入輸出曲線系統輸入輸出曲線 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t

4、)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定義頻率特性為定義頻率特性為: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅頻特性：幅頻特性： )=|G(j )|A( 相頻特性：相頻特性： G(j ) ( )= 頻率頻率特性表征了系統輸入輸出之間的特性表征了系統輸入輸出之間的關系，故可由頻率特性來分析系統性能。關系，故可由頻率特性來分析系統性能。第一節 頻率特性例 求圖所示RC電路的頻率特性，并求該 電路正弦信號作用下的穩態輸出響應。解解: 傳遞函數為傳遞函數為 G(s)=Ts+11T=RC頻率特性頻率特性 電路的穩態輸出電路的穩態輸出: +-ucur+

5、-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一節 頻率特性0-80-60-40-200()12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 頻率特性可表示為：頻率特性可表示為：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ( )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一節 頻率特性0ReIm=0

6、二 頻率特性的幾何表示法 頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。 1幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線稱奈魁斯特曲線 幅相頻率特性曲線 也稱極坐標圖也稱極坐標圖第一節 頻率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12對數頻率特性曲線 對數頻率特性曲線又稱伯德圖對數頻率特性曲線又稱伯德圖. 對數幅頻特性十倍頻程十倍頻程縱坐標表示為：橫坐標表示為： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 為方便只表示L( )=20lgA()單位為單位為 dB 斜率斜率

7、 對數相頻特性對數相頻特性) ( 第一節 頻率特性第五章 頻率分析法第二節 典型環節與系統頻率特性 頻率特性法是一種圖解分析法，它是通頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統的頻率特性來分析系統的性能過系統的頻率特性來分析系統的性能,因而可因而可避免繁雜的求解運算。與其他方法比較避免繁雜的求解運算。與其他方法比較,它具它具有一些明顯的優點有一些明顯的優點.一、典型環節及其頻率特性二、控制系統開環頻率特性三、傳遞函數的頻域實驗確定第二節 典型環節與系統的頻率特性一、典型環節及其頻率特性1典型環節（1 1）最小相位系統環節）最小相位系統環節(0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例環節）比例

8、環節2 2）慣性環節）慣性環節3 3）一階微分環節）一階微分環節4 4）振蕩環節）振蕩環節5 5）二階微分環節）二階微分環節6 6）積分環節）積分環節7 7）微分環節）微分環節1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 1/ss第二節 典型環節與系統的頻率特性（2 2）非最小相位系統環節）非最小相位系統環節(0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例環節）比例環節2 2）慣性環節）慣性環節3 3）一階微分環節）一階微分環節4 4）振蕩環節）振蕩環節5 5）二階微分環節）二階微分環節1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)

9、nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 除了比例環節外，非最小相位環節和與之相除了比例環節外，非最小相位環節和與之相對應的最小相位環節的區別在于開環零極點的位對應的最小相位環節的區別在于開環零極點的位置。置。 由于開環傳遞函數的分子分母多項式的系數皆為由于開環傳遞函數的分子分母多項式的系數皆為實數，可以將其分解成若干典型環節的串聯形式，實數，可以將其分解成若干典型環節的串聯形式， 即即 NiisGsHsG1)()()(第二節 典型環節與系統的頻率特性設典型環節的頻率特性為設典型環節的頻率特性為)()()(ijiieAjG則系統開環頻率特性為則系統開環頻率特性為 )(11 )()()(N

10、iijNiieAjHjG系統開環對數幅頻特性為系統開環對數幅頻特性為NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(結論：系統開環頻率特性表現為組成開環系統的諸結論：系統開環頻率特性表現為組成開環系統的諸典型環節頻率特性的合成；而系統開環對數頻率特典型環節頻率特性的合成；而系統開環對數頻率特性，則表現為諸典型環節對數頻率特性的疊加這一性，則表現為諸典型環節對數頻率特性的疊加這一更為簡單的形式。更為簡單的形式。2. 典型環節的頻率特性1)比例環節0KReIm (1) 奈氏圖 G(s)=K第二節 典型環節與系統的頻率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德圖 對數幅頻特

11、性：對數幅頻特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )對數相頻特性：對數相頻特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2)積分環節 (1) 奈氏圖奈氏圖 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德圖伯德圖 對數幅頻特性：對數幅頻特性： =-20lgL( )=20lgA() 對數相頻特性：對數相頻特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o ( )=1L( )=-20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二節 典型環節與系

12、統的頻率特性 3)微分環節 (1) 奈氏圖奈氏圖 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德圖伯德圖 對數幅頻特性對數幅頻特性： L( )=20lgA() =20lg 對數相頻特性：對數相頻特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二節 典型環節與系統的頻率特性4)慣性環節G(s)=1Ts+11T+1j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏圖奈氏圖 根據根據幅頻特性和相頻特性幅頻

13、特性和相頻特性求出特殊求出特殊點，然后將它們平滑連接起來。點，然后將它們平滑連接起來。取特殊點：取特殊點： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=繪制奈氏圖近似方法繪制奈氏圖近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以證明：可以證明： 慣性環節的奈氏慣性環節的奈氏圖是以圖是以(1/2,jo)(1/2,jo)為圓為圓心，以心，以1/21/2為半徑的半為半徑的半圓。圓。第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖對數幅頻特性：對數幅頻特性： 轉折頻率轉折頻率-20dB/decT110TdB L( )T)211+(

14、 )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T頻段，可頻段，可用用-20dB/dec漸近漸近線近似代替線近似代替兩漸近線相交點的為兩漸近線相交點的為轉折頻率轉折頻率=1/T。 漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線產生的漸近線產生的最最 大誤差值為：大誤差值為：21L=20lg =-3.03dB 精確曲線為精確曲線為精確曲線精確曲線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =00o ( )=1=T-90o ( )=-45o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 5)一階微分環節G(s)=1

15、+Ts(1) 奈氏圖奈氏圖 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 一階微分環節的頻率特性與慣性環節成反比 , 所以它們的伯德圖對稱于橫軸。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 對數幅頻特性：對數幅頻特性： T)21+( )=20lg L(漸近線漸近線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T tg-1 ( )= 450 90=00o ( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 6)振蕩環節

16、 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏圖奈氏圖1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 將特殊點平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。=0.4 幅相頻率特性曲線因值的不同而異。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 對數幅頻特性：對數幅頻特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L

17、(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精確曲線與漸近線精確曲線與漸近線之間存在的誤差與之間存在的誤差與值有關，值有關，較小，幅值出現了峰值。較小，幅值出現了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n諧振頻率諧振頻率諧振峰值諧振峰值精確曲線精確曲線=0.1=0.3=0.5相頻特性曲線：相頻特性曲線：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o ( )=-90o ( )= n=-180o ( )=不同，相頻特性曲線不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：的形狀有所不同

18、：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二節 典型環節與系統的頻率特性第二節 典型環節與系統的頻率特性因為實際對數幅頻曲線與阻尼比有關，誤差曲線因為實際對數幅頻曲線與阻尼比有關，誤差曲線(,)L 為一曲線簇，如下圖，據此修正漸進曲線而獲得準確曲線。為一曲線簇，如下圖，據此修正漸進曲線而獲得準確曲線。第二節 典型環節與系統的頻率特性注意：注意：在實際分析對數幅頻漸進特性曲線時，常在實際分析對數幅頻漸進特性曲線時，常用的半對數坐標系中的直線方程為：用的半對數坐標系中的直線方程為：2121()()lglgaaLLk其中其中11,()aL22,()aL(/)k dB dec和和為直線上的兩點

19、，為直線上的兩點，為直線斜率。為直線斜率。7)時滯環節奈氏圖是一奈氏圖是一 單位圓單位圓(1) 奈氏圖奈氏圖1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德圖伯德圖L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二節 典型環節與系統的頻率特性 8非最小相位環節最小相位環節最小相位環節: 最小相位環節對數幅頻特性與對數相頻特性之間存在著唯一的對應關系。對非最小相位環節來說，不存在這種關系。 開環傳遞函數中沒有開環傳遞函數中沒有s右半平面上右半平面上

20、的極點和零點。的極點和零點。 開環傳遞函數中含有開環傳遞函數中含有s右半平面上右半平面上的極點或零點的極點或零點。非最小相位環節非最小相位環節:第二節 典型環節與系統的頻率特性環節環節傳遞函數傳遞函數 斜率斜率dB/dec 特殊點特殊點()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=轉折轉折頻率頻率轉折轉折頻率頻率1 =轉折轉折頻率頻率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例積分積分重積分重積分慣性慣性比例微分比例微分振蕩振蕩常用典型環節伯德圖特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22n1+

21、 s第二節 典型環節與系統的頻率特性二、控制系統開環頻率特性 頻率特性法的最大特點是根據系統的開環頻率特性曲線分析系統的閉環性能 , 這樣可以簡化分析過程。所以繪制系統的開環頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環系統的幅相頻率特性曲線和對數頻率特性曲線的繪制。第二節 典型環節與系統的頻率特性1系統開環幅相頻率特性曲線 系統開環傳遞函數一般是由典型環系統開環傳遞函數一般是由典型環節串聯而成的：節串聯而成的： 積分環節積分環節 的個數的個數時間常數時間常數系統的階次系統的階次開環增益開環增益nm幅頻特性幅頻特性: 相頻特性相頻特性: 近似繪制系統的奈氏圖近似繪制系統的奈氏圖: :先把特殊點找先把

22、特殊點找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節 典型環節與系統的頻率特性第二節 典型環節與系統的頻率特性 繪制繪制概略開環幅相曲線概略開環幅相曲線的方法。反映開環頻率的方法。反映開環頻率特性的三個重要因素：特性的三個重要因素：（1 1）確定開環幅相曲線的起點）確定開環幅相曲線的起點 0和終點和終點（2 2）確定開環幅相曲線與實軸的交點）確定開環幅相曲線與實

23、軸的交點(,0)xIm()()0 xxG jHj()()();0. 1, 2,xxxG jH jkk 或或x為穿越頻率，開環幅相曲線曲線與實軸交點為為穿越頻率，開環幅相曲線曲線與實軸交點為Re()()()()xxxxG jH jG jH j（3 3）開環幅相曲線的變化范圍（象限和單調性）。）開環幅相曲線的變化范圍（象限和單調性）。 (1) 0型系統型系統= 0特殊點特殊點: 系統起點和終點系統起點和終點K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A( 0o

24、( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: 第二節 典型環節與系統的頻率特性(2) 型系統型系統=1系統起點和終點系統起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: =1特殊點特殊點: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性(3) II型系統型系統=2n-m=2n-m=1n-m=3系統起點和終點系統起點

25、和終點=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: ReIm0=0=2特殊點特殊點: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性 開環系統奈氏曲線起點和終點的綜合情況如圖:=1=0=3=2奈氏曲線的起點奈氏曲線的起點 奈氏曲線的終點奈氏曲線的終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二節 典型環節與系統的頻率特性 例例1 試繪制系統的奈氏圖試繪制系統的奈氏圖 系統的奈氏圖系統的奈

26、氏圖解：解：n-m=2I型系統型系統G(s)=Ks(Ts+1)特殊點特殊點: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二節 典型環節與系統的頻率特性 例2 已知系統的開環傳遞函數,試畫出該系 統的開環幅相特性曲線。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o ( )

27、=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T 0o ( )=K=0K T =第二節 典型環節與系統的頻率特性2系統開環對數頻率特性 系統的開環傳遞函數一般由典型系統的開環傳遞函數一般由典型環節串聯而成：環節串聯而成： 開環系統的頻率特性：開環系統的頻率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s)ni=1對數幅頻特性：對數幅頻特性： 對數相頻特性：對數相頻特性： n)=Gi(ji=1G(j )=Ai(ni=1)e ji()=20lgAi(ni=1L( )=20lgAi(ni=1)=Li(ni=1 )= ( i(ni=1 ) 將各環節的對數頻率特性曲線相加，即

28、為開環系統的對數頻率特性曲線。第二節 典型環節與系統的頻率特性 繪制系統開環對數頻率特性曲線的一般步驟：1) 將開環傳遞函數化成典型環節的乘積。3) 將各環節的對數幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環節的對數幅頻和對數相 頻特性曲線；第二節 典型環節與系統的頻率特性 例例 已知開環傳遞函數，試畫出系統的已知開環傳遞函數，試畫出系統的 開環對數頻率特性曲線。開環對數頻率特性曲線。解：解： G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)畫出各環節的對畫出各環節的對數頻率特性曲線數頻率特性曲線 G1(s)=10-20dBdec3142L1L3L2L41100.5-2

29、0020400-180 -9090-40dB/decG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11 各環節曲線相加，各環節曲線相加，即為開環系統的對數即為開環系統的對數頻率特性曲線。頻率特性曲線。dB L( )-20dB/dec) ( 可知：可知： 低頻段幅頻特低頻段幅頻特性可近似表示為：性可近似表示為：)A( K)=20lgK-20lgL( 低頻段曲線的斜率低頻段曲線的斜率-20 dB/dec低頻段曲線的高度低頻段曲線的高度L(1)=20lgK第二節 典型環節與系統的頻率特性 根據對數幅頻特性曲線的低頻段和各轉折頻率即可確定系統的對數頻率特性曲線。實際的作圖過程可簡化為：實際

30、的作圖過程可簡化為：1) 將開環傳遞函數標準化；2) 在坐標中標出各環節的轉折頻率；3) 過=1 ，L()=20lgK 這點，作斜 率為-20dB/dec 的低頻漸近線；4) 每到某一環節的轉折頻率處， 根據該環節的特性改變一次漸近線的斜率。5) 畫出對數相頻特性的近似曲線。第二節 典型環節與系統的頻率特性 例例 試畫出系統的試畫出系統的伯德圖伯德圖 解：解： G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)將式子標準化將式子標準化 各轉折頻率為：各轉折頻率為： 1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-18

31、0 -90-40dB/dec-2002040低頻段曲線：低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：相頻特性曲線：=0=dB L( ) ( 1=12=2 3=20-90o ( )=-180o ( )=第二節 典型環節與系統的頻率特性三、傳遞函數的頻域實驗確定三、傳遞函數的頻域實驗確定 頻率特性具有明確的物理意義，可用實驗的方法來確定它.這對于難以列寫其微分方程的元件或系統來說,具有很重要的實際意義。1 1、用實驗法確定系統的伯德圖、用實驗法確定系統的伯德圖2 2、根據伯德圖確定傳遞函數、根據伯德圖確定傳遞函數第二節 典型環節與系統的頻率特性1、用實驗法確定系統的伯德圖 給系統加

32、不同頻率的給系統加不同頻率的正弦信號，測量出系正弦信號，測量出系統的對數幅頻特性和統的對數幅頻特性和相頻特性曲線。相頻特性曲線。2. 用標準斜率的直線用標準斜率的直線近似被測對數幅頻特近似被測對數幅頻特性曲線，得曲線的漸性曲線，得曲線的漸近線。近線。-20020400-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二節 典型環節與系統的頻率特性2、根據伯德圖確定傳遞函數系統傳遞函數的一般表達式為：系統傳遞函數的一般表達式為： 根據伯得圖確定傳遞函數主要是確定增根據伯得圖確定傳遞函數主要是確定增益益 K ，轉折頻率及相應的時間常數等參數

33、則轉折頻率及相應的時間常數等參數則可從圖上直接確定?？蓮膱D上直接確定。mG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節 典型環節與系統的頻率特性1. =0低頻漸近線為低頻漸近線為系統的伯德圖：系統的伯德圖：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=K=1020即即dB L( )cL( )=20lgA( )A( )=K12第二節 典型環節與系統的頻率特性0dB L( )1-20dB/dec-40dB/dec低頻段的曲線與橫軸低頻段的曲線與橫軸相交點相交點的頻率為的頻率為: 2. =120lgK=1系統的伯德圖系統的伯德圖：因為因為故故1cL( )=20lgK

34、0lg20lgK=200-lg120lgK=20lg 0K=0第二節 典型環節與系統的頻率特性 -20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13. =2系統的伯德圖：系統的伯德圖：=120lgK低頻段的曲線與橫低頻段的曲線與橫軸相交點軸相交點的頻率為的頻率為:因為因為故故dB L( )01c2L( )=20lgK0lg20lgK=400-lg120lgK=40lg 02K=0第二節 典型環節與系統的頻率特性r =1-2 2 n例例 由實測數據作出系統的伯德圖如圖由實測數據作出系統的伯德圖如圖 所示，試求系統的傳遞函數。所示，試求系統的傳遞函數。0.5-20dB/dec-40dB/de

35、c-60dB/dec24020-2003dB0-180 -90-270 解解: 由圖可得：由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：得：根據根據00.707得得dB L( ) ( =11- 2 2 01=0.922=0.38=0.38由頻率曲線得由頻率曲線得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=1002K=2n2T =0.381)2 T2=(=0.25n第二節 典型環節與系統的頻率特性例 已知采用積分控制液位系統的結構和對 數頻率特性曲線,試求系統的傳遞函數。K1sTs+1-hr(t)h(t)解解:將測得的對數曲線近似成漸近線:1-20dB/dec4

36、-40dB/dec(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1-2000-180 -90dB L( ) ( 第二節 典型環節與系統的頻率特性第三節 頻率域穩定判據第五章 線性系統的頻域分析法 19321932年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一種判提出了另一種判定閉環系統穩定性的方法，稱為定閉環系統穩定性的方法，稱為乃奎斯特穩定判乃奎斯特穩定判據據，簡稱，簡稱乃氏判據乃氏判據。這個判據的主要特點是利用。這個判據的主要特點是利用開環頻率特性判定閉環系統的穩定性。此外，乃開環頻率特性判定閉環系統的穩定性。此外，乃氏穩定判據還能夠指出穩定的

37、程度，揭示改善系氏穩定判據還能夠指出穩定的程度，揭示改善系統穩定性的方法。因此，乃氏穩定判據在頻率域統穩定性的方法。因此，乃氏穩定判據在頻率域控制理論中有著重要的地位。控制理論中有著重要的地位。 第三節 頻率域穩定判據一、一、 奈氏判據的數學基礎奈氏判據的數學基礎1 1、輻角原理、輻角原理 設有一復變函數為設有一復變函數為 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中，式中，s s+j+j為復變量，為復變量，F F( (s s) )為復變函數為復變函數, , 記記F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面畫一條封閉曲線平面畫一條封閉曲線, ,

38、 并使其不通過并使其不通過F F( (s s) )的任一的任一零、極點零、極點, , 則在則在F F( (s s) )平面上必有一條對應的映射曲線平面上必有一條對應的映射曲線, , 如圖如圖所示。所示。js1s2s30s平 面F(s)平 面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U圖：圖：s s平面與平面與F F( (s s) )平面的映射關系平面的映射關系第三節 頻率域穩定判據第三節 頻率域穩定判據 若在若在s s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的, , 則則在在F F( (s s) )平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的平面上的映射曲線的運動方向可

39、能是順時針的, , 也也可能是逆時針的可能是逆時針的, , 這取決于這取決于F F( (s s) )函數的特性。函數的特性。 我們感興趣的不是映射曲線的形狀我們感興趣的不是映射曲線的形狀, , 而是它包圍坐標而是它包圍坐標原點的次數和運動方向原點的次數和運動方向, , 因為這兩者與系統的穩定性密切因為這兩者與系統的穩定性密切相關。相關。 根據式根據式(1)(1)，復變函數，復變函數F F( (s s) )的相角可表示為的相角可表示為 njjmiipszssF11)()()(第三節 頻率域穩定判據js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面圖：封閉曲線包圍圖：封閉曲線

40、包圍z z1 1時的映射情況時的映射情況 同理：若同理：若s s平面上的封閉曲線包圍了平面上的封閉曲線包圍了F F( (s s) )的的P P個極點個極點, , 則當則當s s沿著沿著s s平面上的封閉曲線順時針移動一周時平面上的封閉曲線順時針移動一周時, , 在在F F( (s s) )平面平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉P P周。周。幅角原理幅角原理 設設s s平面上的封閉曲線包圍了復變函數平面上的封閉曲線包圍了復變函數F F( (s s) )的的P P個極點和個極點和Z Z個零點個零點, , 并且此曲線不經過并且此曲線不經過F F( (

41、s s) )的任一的任一零點和極點零點和極點, , 則當復變量則當復變量s s 沿封閉曲線順時針方向沿封閉曲線順時針方向移動一周時移動一周時, , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲線按逆時針方平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標原點向包圍坐標原點( (P-Z P-Z ) )周。周。第三節 頻率域穩定判據第三節 頻率域穩定判據2 2、復變函數、復變函數F(s)F(s)的選擇的選擇設系統的開環傳遞函數為設系統的開環傳遞函數為 1212()()()( )( )( )()()()KmnK szszszGsG s H sspspspmn 則系統的特征方程為則系統的特征方程為 121212121212

42、12()()()1( )( )( )1()()()()()()()()()()()()()()()()()()mnnmnnnK szszszG s H sF sspspspspspspK szszszspspspssssssspspsp 11()( )( )( )( )()niiniiszA sB sF sA ssp結論結論：*（1 1）輔助函數的零點是閉環傳遞函數的極點）輔助函數的零點是閉環傳遞函數的極點 輔助函數的極點是開環傳遞函數的極點輔助函數的極點是開環傳遞函數的極點 （2 2）輔助函數的零、極點個數相同）輔助函數的零、極點個數相同 （3 3）F(s)F(s)與與G(s)H(s)G(s

43、)H(s)在復平面上的幾何關系在復平面上的幾何關系1ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG第三節 頻率域穩定判據 為了判斷閉環系統的穩定性為了判斷閉環系統的穩定性, , 需要檢驗需要檢驗F(s)是否有位于是否有位于s平平面右半部的零點。為此可以選面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個擇一條包圍整個s平面右半部平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲的按順時針方向運動的封閉曲線線, , 通常稱為通常稱為奈奎斯特回線奈奎斯特回線, , 簡稱簡稱奈奈氏回線氏回線, , 如圖如圖所示。所示。 3 3、s s平面閉合曲線的選擇平面閉合曲線的選擇 圖 奈氏回線 js j j0C1RC2s平面第

44、三節 頻率域穩定判據 可取下圖所示的兩種形式可取下圖所示的兩種形式圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點無虛軸上的極點 圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點無虛軸上的極點 第三節 頻率域穩定判據4 4、G(s)H(s)G(s)H(s)閉合曲線的繪制閉合曲線的繪制第三節 頻率域穩定判據5)5)、閉合曲線、閉合曲線 包圍原點圈數包圍原點圈數R R的計算的計算F根據半閉合曲線根據半閉合曲線可獲得可獲得包圍原點的圈數包圍原點的圈數R R。設。設N N為為GHFGH穿越穿越( 1, 0)j點左側負實軸的次數，點左側負實軸的次數，N表示正穿表示正穿越的次數和（從上向下穿越

45、），越的次數和（從上向下穿越），N表示負穿越的次數和（從表示負穿越的次數和（從下向上穿越），則下向上穿越），則22()RNNN第三節 頻率域穩定判據（圖（圖a a）1,0,22NNRN （圖（圖b b）0,0NNR（圖（圖c c）（圖（圖d d）（圖（圖e）1,0NNR11,12NNR 3,0,32NNR二、二、 奈氏判據奈氏判據第三節 頻率域穩定判據 如果在如果在s s平面上平面上, , s s沿著奈氏回線順時針方向移動一周時沿著奈氏回線順時針方向移動一周時, , 在在F F( (s s) )平面上的映射曲線平面上的映射曲線F F圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉圈數圈

46、數R=R=P-ZP-Z=0=0周（周（P P為開環傳函位于為開環傳函位于s s平面右半部極點的個數，平面右半部極點的個數，Z Z為閉環極點個數）時為閉環極點個數）時, , 則系統是穩定的。則系統是穩定的。根據系統閉環特征方程：根據系統閉環特征方程：G G( (s s) )H H( (s s)=)=F F( (s s)-1)-1F F( (s s) )的映射曲線的映射曲線F F圍繞原點運動的情況圍繞原點運動的情況, , 相當于系統開環相當于系統開環傳函傳函G G( (s s) )H H( (s s) )的封閉曲線的封閉曲線GHGH圍繞著圍繞著( (1, j0)1, j0)點的運動情點的運動情況況

47、, ,結論結論：閉環系統穩定的充要條件是：閉環系統穩定的充要條件是Z=P-R=0Z=P-R=0，即，即R=PR=P。即：即：GHGH逆時針包圍（逆時針包圍（-1,j0-1,j0）點的圈數）點的圈數= =右半右半s s平面開平面開環極點數。環極點數。第三節 頻率域穩定判據例例5 58 8 已知單位反饋系統開環幅相曲線已知單位反饋系統開環幅相曲線如圖所示，試確定系統閉環穩定時如圖所示，試確定系統閉環穩定時K值的范圍。值的范圍。 解解: : 如圖所示，開環幅相如圖所示，開環幅相曲線與負實軸有三個交點，設曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越頻率分別為交點處穿越頻率分別為 ， (10,0,1)KP123

48、, 第三節 頻率域穩定判據系統開環傳函系統開環傳函1( )( )KG sG ss由題設條件由題設條件101,lim( )1sG s知，和知，和1()();1,2,3iiiKG jGjij當取當取10K 時時123()2,()1.5,()0.5G jG jG j 若令若令()1iG j ，可得對應的，可得對應的K K值值1231111205,20123()10iKKKGjj對應地，分別取對應地，分別取 和和時，開環幅相曲線分別如圖所示，圖中按時，開環幅相曲線分別如圖所示，圖中按 補作虛圓補作虛圓弧得半閉合曲線弧得半閉合曲線 。 0 3KKG第三節 頻率域穩定判據根據曲線根據曲線 計算包圍次數，并

49、判斷系統閉環穩定性：計算包圍次數，并判斷系統閉環穩定性： 閉環系統穩定；閉環系統穩定； 閉環系統不穩定；閉環系統不穩定； 閉環系統穩定；閉環系統穩定； 閉環系統不穩定。閉環系統不穩定。 綜上可得綜上可得, ,系統閉環穩定時的系統閉環穩定時的K值范圍為值范圍為 和和 。當當K等于等于 和和20時，時， 穿過臨界點穿過臨界點 ，且在這，且在這三個值的鄰域，系統閉環穩定或不穩定，因此系統閉環臨三個值的鄰域，系統閉環穩定或不穩定，因此系統閉環臨界穩定。界穩定。 G0,0,0,KK RZ,2,2,KRZ 23,1,0,0KKKNNRz3,1,2,2,2KKNNRz (0,5)20/3,205,20/3(

50、 1, 0)jG第三節 頻率域穩定判據第三節 頻率域穩定判據三、對數頻率穩定判據三、對數頻率穩定判據可以推廣運用奈氏判據，其關鍵問題是需要根據半對數可以推廣運用奈氏判據，其關鍵問題是需要根據半對數坐標下的坐標下的GH曲線確定穿越次數曲線確定穿越次數NNN或或和和開環幅相曲線和開環系統存在積分環節和等幅振蕩環節時開環幅相曲線和開環系統存在積分環節和等幅振蕩環節時所補作的半徑為無窮大的虛圓弧。所補作的半徑為無窮大的虛圓弧。N的確定取決于的確定取決于( )1A穿越負實軸的次數，建立如下對應關系：穿越負實軸的次數，建立如下對應關系：時時GH（1 1）穿越點確定）穿越點確定設設時時c()()()1()2

51、0lg()0cccccAG jH jLA為截止頻率為截止頻率。 稱稱c第三節 頻率域穩定判據對于復平面的負實軸和開環對數相頻特性，當取頻率為對于復平面的負實軸和開環對數相頻特性，當取頻率為穿越頻率穿越頻率x時時()(21) ;0, 1,xkk 第三節 頻率域穩定判據對應地，需從對數相頻特性曲線對應地，需從對數相頻特性曲線()n 點起向上補作點起向上補作1180的虛直線至的虛直線至()n 處，處，( ) 曲線和補作的虛直線曲線和補作的虛直線構成構成（3 3）穿越次數計算）穿越次數計算正穿越正穿越負穿越負穿越半次正穿越半次正穿越半次負穿越半次負穿越第三節 頻率域穩定判據對數頻率穩定判據對數頻率穩定

52、判據 設設P P為開環系統正實部的極點數，為開環系統正實部的極點數，反饋控制系統穩定的充分必要條件是反饋控制系統穩定的充分必要條件是()(21) ;0,1,2,ckk 和和 時，時， 曲線穿越曲線穿越 線的次數線的次數( )0L(21)kNNN 滿足滿足20ZPN對數頻率穩定判據和奈氏判據本質相同，其區別僅在對數頻率穩定判據和奈氏判據本質相同，其區別僅在于前者在于前者在 的頻率范圍內依的頻率范圍內依 曲線確定穿曲線確定穿( )0L越次數越次數N N。第三節 頻率域穩定判據 已知系統開環傳遞函數已知系統開環傳遞函數 試用對數判據判別閉環穩定性。試用對數判據判別閉環穩定性。) 11 . 0 (10

53、)()(sssHsG第三節 頻率域穩定判據解：繪制系統開環對數頻率特性如圖。解：繪制系統開環對數頻率特性如圖。 由開環傳遞函數可知P=0。所以閉環穩定所以閉環穩定002NNNP第三節 頻率域穩定判據 已知系統開環傳遞函數已知系統開環傳遞函數 試用對數判據判別閉環穩定性試用對數判據判別閉環穩定性。)1002(300)()(2ssssHsG第三節 頻率域穩定判據解：繪制系統開環對數頻率特性如圖解：繪制系統開環對數頻率特性如圖 在 處振蕩環節的對數幅頻值為n120lg20lg2 0.1 142dB閉環不穩定。閉環不穩定。202( 1)2ZPN閉環特征方程的正根數為閉環特征方程的正根數為第三節 頻率域

54、穩定判據第五章 線性系統的頻域分析法 第四節、穩定裕度 衡量閉環系統穩定程度的指標。一、相角裕度一、相角裕度系統開環頻率特性上幅值為系統開環頻率特性上幅值為1 1時所對應的角頻率稱時所對應的角頻率稱幅值穿越頻率或截止頻率，記幅值穿越頻率或截止頻率，記為為c1)()()(cccjHjGA，即，即定義定義相位裕度相位裕度為為)()(1800ccjHjG相角裕度相角裕度 的含義是，的含義是，對于閉環穩定系統，如果系對于閉環穩定系統，如果系統開環相頻特性再滯后統開環相頻特性再滯后 度，則系統將處于臨界穩度，則系統將處于臨界穩定狀態。定狀態。第四節 穩定裕度二、幅值裕度二、幅值裕度系統開環頻率特性上相位

55、等于系統開環頻率特性上相位等于-180-1800 0時所對應的角時所對應的角頻率稱為相位穿越頻率，記為頻率稱為相位穿越頻率，記為x，即，即0()()180 xxG jHj 定義定義幅值裕度幅值裕度為為1()()xxhG jH j幅值裕度的含義是，幅值裕度的含義是，對于閉環穩定系統，如果系統對于閉環穩定系統，如果系統開環幅頻特性再增大開環幅頻特性再增大h h倍則系統將處于臨界穩定狀態。倍則系統將處于臨界穩定狀態。對數坐標下，幅值裕度按下式定義：對數坐標下，幅值裕度按下式定義： 20lg()() ()xxhG jH jdB 第四節 穩定裕度第四節 穩定裕度例例5 512 12 已知單位反饋系統已知

56、單位反饋系統設設K分別為分別為4和和10時，試確定系統的穩定裕度。時，試確定系統的穩定裕度。解：解： 可得可得K=4時時 3( )(1)KG ss2232322(13)(3)()3(1)(1)KjKG jarctg3x13()0.5,21611.233,()152.9 ,27.1xccG jhG j 第四節 穩定裕度K=10 時時分別作出分別作出K=4和和K=10 的開環幅相曲線即閉合曲線的開環幅相曲線即閉合曲線 ，如圖，如圖所示。所示。由奈氏判據知：由奈氏判據知： K=4 時，系統閉環穩定，時，系統閉環穩定， ； K=10 時，系統閉環不穩定，時，系統閉環不穩定， 。 ()1.25,0.81

57、.908,()187.0 ,7.0 xccG jhG j G1,0h1,0h第四節 穩定裕度例例5 51414 單位反饋系統的開環傳遞函數為單位反饋系統的開環傳遞函數為 試確定系統開環增益試確定系統開環增益K5和和K20時的相位裕度和幅值裕度。時的相位裕度和幅值裕度。 解：解：由系統開環傳遞函數知，轉折頻率為由系統開環傳遞函數知，轉折頻率為 ， 。按分段區間描述方法，寫出對數幅頻漸近特性曲線的表達式為按分段區間描述方法，寫出對數幅頻漸近特性曲線的表達式為 1110210,1 . 0lg20101 ,lg201,lg20)(KKKL) 11 . 0)(1()(sssKsG第四節 穩定裕度本例本例

58、的伯的伯德圖德圖如左。如左。-20dB/decdBL/)(09001800270)/()(00.11100.11100002040-20-40-60dB/dec-40dB/decK=4K=16121h2h第五節 頻率特性與系統性能的關系一、開環頻率特性與系統性能的關系二、閉環頻率特性與時域指標的關系第五章 頻率特性法 常將開環頻率特性分成低、中、高三個頻段。一 、開環頻率特性與系統性能的關系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段低頻段高頻段高頻段中頻段中頻段0第五節 頻率特性與系統性能的關系dB L( )c12 三個頻段分別與系統性能有對應關系，下面具體討論。1低頻段低頻

59、段由積分環節和比例環節構成：低頻段由積分環節和比例環節構成： G(s)=sK對數幅頻特性為：對數幅頻特性為：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA( )K=20lg=20lgK-v20lg 根據分析可得如根據分析可得如圖所示的結果：圖所示的結果： 可知：可知： 曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負，積分環節數越多。系統穩態性能越好。dB L( )第五節 頻率特性與系統性能的關系 2. 中頻段 穿越穿越頻率頻率c附近的區段為中頻段。附近的區段為中頻段。它它反映了系統動態響應的平穩性和快速性。反映了系統動態響應的平穩性和快速性。 (1) 穿越頻率穿越頻率c與動態性能

60、的關系與動態性能的關系 可近似認為整個曲線是一條可近似認為整個曲線是一條斜率為斜率為 -20dB/dec的直線。的直線。設系統如圖設系統如圖:-20dB/dec0+20-20開環傳遞開環傳遞 函數：函數：G(s) sK閉環傳遞函數為：閉環傳遞函數為： ts3T穿越頻率穿越頻率c 反映了系統響應的快速性。反映了系統響應的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L( )c第五節 頻率特性與系統性能的關系(2) 中頻段的斜率與動態性能的關系設系統如圖設系統如圖:-40dB/dec0+20-20開環傳遞開環傳遞 函數：函數：G(s) s2K閉環傳遞閉環傳遞 函數為：函數為： 處