1、教教 師師: : 高高 璟璟e-mail: 數學專業教研室數學專業教研室 （第四學科樓（第四學科樓 222室）室） 概率論與數理統計是研究什么的 經典的數學理論如微積分學、微分方程等都經典的數學理論如微積分學、微分方程等都是研究確定性現象的有力的數學工具。是研究確定性現象的有力的數學工具。 對于某些隨機現象，雖然對個別試驗來說，對于某些隨機現象，雖然對個別試驗來說，無法預言其結果，但在相同的條件下，進行大無法預言其結果，但在相同的條件下，進行大量的重復試驗或觀察時，卻又呈現出某些規律量的重復試驗或觀察時，卻又呈現出某些規律性（如拋擲硬幣）。性（如拋擲硬幣）。 隨著社會生產與科學技術的發展，研究

2、隨機隨著社會生產與科學技術的發展，研究隨機現象的統計規律性的理論和方法獲得了迅速的現象的統計規律性的理論和方法獲得了迅速的發展，形成了數學的一個重要分支，并被廣泛發展，形成了數學的一個重要分支，并被廣泛應用于工業、農業、軍事、科技、經濟等領域應用于工業、農業、軍事、科技、經濟等領域。 概率論與數理統計概率論與數理統計研究和揭示隨研究和揭示隨機現象統計規律性的一門學科機現象統計規律性的一門學科 應用范圍廣泛。例如：應用范圍廣泛。例如： 氣象預報、水文預報、地震預報、產品質量檢驗、氣象預報、水文預報、地震預報、產品質量檢驗、產品的可靠性評估、壽命預測、生物統計、衛生統計、產品的可靠性評估、壽命預測

3、、生物統計、衛生統計、保險、金融等各領域。保險、金融等各領域。 經典數學與概率論與數理統計是相輔經典數學與概率論與數理統計是相輔相成，互相滲透的。相成，互相滲透的。第第1章章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率n隨機事件隨機事件n隨機事件的概率隨機事件的概率n古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型n條件概率條件概率n事件的獨立性事件的獨立性 1.1 隨機事件隨機事件 n確定性的確定性的在一定條件下必然發生的現象在一定條件下必然發生的現象n隨機性的隨機性的在一定條件下，具有多種可能在一定條件下，具有多種可能的結果，但事先又不能預知確切的結果的結果，但事先又不能預知確切的結果1)1)拋擲一枚硬幣，其結

4、果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，拋擲一枚硬幣，其結果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋擲之前無法預知拋擲的結果。并且在拋擲之前無法預知拋擲的結果。2)2)足球比賽，其結果可能是勝、平、負，但在比賽之前無法預知足球比賽，其結果可能是勝、平、負，但在比賽之前無法預知其結果。其結果。3)3)投擲一個骰子，其結果有投擲一個骰子，其結果有6 6種，即可能出現種，即可能出現1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6點，但點，但每次投擲之前是無法預知投擲的結果的。每次投擲之前是無法預知投擲的結果的。4)4)股市的變化。股市的變化。一、隨機現象一、隨機現象 由于隨機現象的結果事先不能預知由于隨機

5、現象的結果事先不能預知, , 初初看似乎毫無規律看似乎毫無規律. . 然而人們發現同一隨機現然而人們發現同一隨機現象大量重復出現時象大量重復出現時, , 其每種可能的結果出現其每種可能的結果出現的頻率具有穩定性的頻率具有穩定性, , 從而表明隨機現象也有從而表明隨機現象也有其固有的規律性其固有的規律性. . 人們把隨機現象在大量重人們把隨機現象在大量重復出現時所表現出的量的規律性稱為隨機現復出現時所表現出的量的規律性稱為隨機現象的象的統計規律性統計規律性. . 二、隨機試驗二、隨機試驗歷史上曾有人做過試驗，著名的統計學家摩根、蒲豐和皮爾遜進行了大量的拋擲均勻硬幣的試驗，試圖證明出現正反面的機會

6、均等。 實驗者實驗者 n rn rn/n De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 試驗表明：雖然隨機現象在少數幾次實驗或觀察中其結果試驗表明：雖然隨機現象在少數幾次實驗或觀察中其結果沒有什么規律性，但通過長期的觀察或大量的重復試驗可以看沒有什么規律性，但通過長期的觀察或大量的重復試驗可以看出，試驗的結果是有規律可循的，這種規律是隨機試驗的結果出，試驗的結果是有規律可循的，這種規律是隨機試驗的結果自身所具有的特征。自身所具

7、有的特征。 為了對隨機現象的統計規律性進行研究為了對隨機現象的統計規律性進行研究, ,就需要對隨就需要對隨機現象進行重復觀察機現象進行重復觀察, , 我們把對隨機現象的觀察稱為我們把對隨機現象的觀察稱為隨隨機試驗機試驗, , 并簡稱為并簡稱為試驗試驗，記為，記為E E. .例如例如, , 觀察某射手對固觀察某射手對固定目標進行射擊定目標進行射擊; ; 拋一枚硬幣三次拋一枚硬幣三次, ,觀察出現正面的次觀察出現正面的次數數; ; 記錄某市記錄某市120120急救電話一晝夜接到的呼叫次數等均急救電話一晝夜接到的呼叫次數等均為隨機試驗為隨機試驗. . 隨機試驗具有下列特點隨機試驗具有下列特點: 1.

8、 可重復性可重復性: 試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行; 2. 可觀察性可觀察性: 試驗結果可觀察試驗結果可觀察,所有可能的結果是明確的所有可能的結果是明確的; 3. 不確定性不確定性: 每次試驗出現的結果事先不能準確預知每次試驗出現的結果事先不能準確預知.E1：拋擲一枚質地均勻的硬幣拋擲一枚質地均勻的硬幣，觀察正面和反面出觀察正面和反面出現的情況；現的情況；E2：擲一顆質地均勻的骰子，觀察其出現的點數；擲一顆質地均勻的骰子，觀察其出現的點數；E3：記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數；記錄某網站一分鐘內受到的點擊次數；E4：從某品牌的電視機中任取一臺，觀察其使用壽從某

9、品牌的電視機中任取一臺，觀察其使用壽命。命。E5: 從裝有三個白球（記號為從裝有三個白球（記號為1,2,3）與兩個黑球）與兩個黑球（記號為（記號為4,5）的袋中任取兩球，）的袋中任取兩球，(1)觀察兩球的顏色；觀察兩球的顏色；(2)觀察兩球的號碼觀察兩球的號碼隨機試驗的例子隨機試驗三、樣本空間三、樣本空間 1、樣本空間樣本空間：由隨機試驗的所有可能的結果由隨機試驗的所有可能的結果組成的一個集合組成的一個集合稱為試驗稱為試驗E的樣本空間，記為的樣本空間，記為S或或； 2、樣本點樣本點：試驗的每一個可能的結果試驗的每一個可能的結果（或樣或樣本空間的元素）稱為一個樣本點，記為本空間的元素）稱為一個樣

10、本點，記為e。試給出試給出E1E5的樣本空間的樣本空間E1: 若記若記1=正面，正面， 2= =反面，則樣本空間為反面，則樣本空間為S =1, 2 E2: S =1,2,3,4,5,6E3: S =0,1,2,3, E4:, 00|ttSE5: (1) 若記若記00表示為兩個白球，表示為兩個白球， 11表示為兩個黑球表示為兩個黑球 01表示為一白一黑，則表示為一白一黑，則 S=00, 11, 01 (2) 若觀察取出的兩球的號碼，則樣本點為若觀察取出的兩球的號碼，則樣本點為ij（取出第（取出第i號和第號和第 j號球，號球， 于是，樣本空間有于是，樣本空間有10個樣本點，則個樣本點，則51ji5

11、1 |jiSij注：對于同一個隨機試驗，試驗的樣本點與樣本空間是根據要注：對于同一個隨機試驗，試驗的樣本點與樣本空間是根據要觀察的內容來確定的。觀察的內容來確定的。四、隨機事件四、隨機事件在概率論中在概率論中, ,把具有某一可觀察特征的隨機試驗的結把具有某一可觀察特征的隨機試驗的結果稱為事件。事件可分為以下三類：果稱為事件。事件可分為以下三類：1. 1. 隨機事件：隨機事件：在試驗中可能發生也可能不發生的事件，簡在試驗中可能發生也可能不發生的事件，簡稱事件。通常用大寫字母稱事件。通常用大寫字母A A、B B、CC表示。表示。2. 必然事件：必然事件：在每次試驗中都必然發生的事件。用字母在每次試

12、驗中都必然發生的事件。用字母S（或（或）表示。）表示。3. 不可能事件：不可能事件：在任何一次試驗中都不可能發生的事件。用空集在任何一次試驗中都不可能發生的事件。用空集符號符號表示。表示。 例如：在拋擲一枚例如：在拋擲一枚骰子的試驗中，骰子的試驗中，“點數為奇數點數為奇數”就是一個就是一個事件，在試驗中可能發生也可能不發生。同樣事件，在試驗中可能發生也可能不發生。同樣 ，“點數為奇數點數為奇數”與與“點數為點數為8”也分別是一個事件，前者在試驗中必然發生的，即也分別是一個事件，前者在試驗中必然發生的，即是必然事件，后者在試驗中是不可能發生的，即是不可能事件。是必然事件，后者在試驗中是不可能發生

13、的，即是不可能事件。 顯然，必然事件與不可能事件都是確定性事件，為討論方便顯然，必然事件與不可能事件都是確定性事件，為討論方便，今后將它們看作是特殊的隨機事件。，今后將它們看作是特殊的隨機事件。五、事件的集合表示五、事件的集合表示 按定義按定義, , 樣本空間樣本空間S是隨機試驗的所有可能結果是隨機試驗的所有可能結果( (樣本點樣本點) )的全體的全體, , 故樣本空間就是所有樣本點構成的集合故樣本空間就是所有樣本點構成的集合, , 每一個樣每一個樣本點是該集合的元素本點是該集合的元素. . 一個事件是由具有該事件所要求的一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結果所構成的特征的那些可能結

14、果所構成的, , 所以一個事件對應于所以一個事件對應于S中具中具有相應特征的樣本點有相應特征的樣本點( (元素元素) )構成的集合構成的集合, , 它是它是S的一個子集的一個子集. 于是于是, 任何一個事件都可以用任何一個事件都可以用S的某一子集來表示的某一子集來表示,常用字母常用字母A、B等表示。等表示。 稱稱事件事件A A發生，發生，即指屬于該事件的某一個樣本點在隨機即指屬于該事件的某一個樣本點在隨機試驗中出現。試驗中出現。 特殊地，當一個事件僅包含特殊地，當一個事件僅包含S的一個樣本點時，稱該事的一個樣本點時，稱該事件為件為基本事件基本事件( (或簡單事件或簡單事件) )。含有兩個或兩個

15、以上樣本點的含有兩個或兩個以上樣本點的事件為事件為復合事件復合事件。 例例1.1.1 1 袋中裝有袋中裝有2 2只白球和只白球和1 1只黑球。從袋中依次任意只黑球。從袋中依次任意地摸出地摸出2 2只球。設球是編號的：白球為只球。設球是編號的：白球為1 1號、號、2 2號，黑號，黑球為球為3 3號號。( (i,j,j) )表示第一次摸得表示第一次摸得i號球，第二次摸得號球，第二次摸得j號球的基本事件，則這一試驗的樣本空間為：號球的基本事件，則這一試驗的樣本空間為： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1

16、),(3,2) 而且可得到下列隨機事件而且可得到下列隨機事件A=A=第一次摸得黑球第一次摸得黑球 =(3,1),(3,2)=(3,1),(3,2)；B=B=第一次摸得白球第一次摸得白球 =(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)；C=C=兩次都摸得白球兩次都摸得白球 =(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)；D=D=第一次摸得白球，第二次摸得黑第一次摸得白球，第二次摸得黑球球 =(1,3),(2,3)=(1,3),(2,3)；G=G=沒有摸到黑球沒有摸到黑球 =(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)。返回事件可以用文字表示，

17、事件也可以表示為樣事件可以用文字表示，事件也可以表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質，且本空間的子集，后者反映了事件的實質，且更便于今后計算概率。更便于今后計算概率。還應注意，同一樣本空間中，不同的事件之還應注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關系，間有一定的關系，事件之間的關系是由他們事件之間的關系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關系可以用所包含的樣本點所決定的，這種關系可以用集合之間的關系來描述。集合之間的關系來描述。六、事件的關系與運算六、事件的關系與運算設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S, ,A, ,B, ,Ak(k=1,2,)為事件為事件1.1.事件的包含事件

18、的包含“A“A發生必導致發生必導致B B發生發生”，即，即A A中的樣本點一定屬中的樣本點一定屬于于B B，記為，記為A A B B，稱事件稱事件B B包含事件包含事件A, A, 也稱事件也稱事件A A包含于事包含于事件件B B。2.A2.A與與B B兩個事件兩個事件相等相等：A AB B A A B B且且B B A A。例例1.1.1 1(p4)ABAB2n個事件個事件A1, A2, An至至少有一個發生，記作少有一個發生，記作iniA12” 可列個事件可列個事件A1, A2, An 至少有一個發生，記至少有一個發生，記作作inA14.積事件積事件 :A與與B同時發生，記作同時發生，記作

19、ABAB3n個事件個事件A1, A2, An同時發生，記作同時發生，記作nniiAAAA2113”可列個事件可列個事件A1, A2, An , 同時發生，記作同時發生，記作nniAAAA2115.差事件差事件：AB稱為稱為A與與B的差事件的差事件,表示事件表示事件A發生而發生而B不發生，不發生，它是由屬于它是由屬于A而不屬于而不屬于B的樣本點所構成的事件。的樣本點所構成的事件。思考：何時思考：何時A- -B= = ? ?何時何時A- -B= =A？例1.1 中 B=CDC=BCD=B-C6.互互斥的事件斥的事件：AB= ,指事件指事件A與與B不能同時發生。又不能同時發生。又稱稱A與與B互不相容

20、互不相容。基本事件是基本事件是兩兩互不相容的兩兩互不相容的例1.1中：AB= AC=例1.17. 互逆的互逆的事件事件 ABS, 且且AB ABABABAAAB易見的對立事件，稱為記作;A與與B對立：對立：事件事件A與與B既不能同既不能同時發生，又不能同時時發生，又不能同時不發生。即在每次試不發生。即在每次試驗中，驗中，A與與B有且僅有且僅有一個發生。有一個發生。對立事件必為互不相容事件；對立事件必為互不相容事件；互不相容事件未必為對立事件互不相容事件未必為對立事件。注注: 事件的運算滿足如下基本關系事件的運算滿足如下基本關系:).(;)3(.,)2(.;) 1 (ABABAABABABAAA

21、BBBABAASASAAAA則若8. 完備事件組完備事件組設設 是有限或可數個事件是有限或可數個事件,若其滿足若其滿足:,21nAAA.)2(;, 2 , 1,) 1 (SAjijiAAiiji稱稱 是一個完備事件組是一個完備事件組.,21nAAA七、事件的運算七、事件的運算1、交換律：、交換律：ABBA，ABBA2、結合律結合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、對偶對偶(De Morgan)律：律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣例例1.1.2 2 甲、乙、丙三人各向目標射擊一發子彈

22、，以甲、乙、丙三人各向目標射擊一發子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的的運算關系表示下列事件：運算關系表示下列事件：目標”“三人中至多兩人命中目標”“三人中至多一人命中“三人均未命中目標”“恰有兩人命中目標”標”“至少有一人未命中目”“至少有一人命中目標“恰有一人命中目標”目標”“三人中只有丙未命中標”“甲命中而乙未命中目“甲未命中目標”:10987654321AAAAAAAAAACBABCACABBACACBCBAABACABCBACBACBACBA;CBA;ABC;CBA或或;ABC例1.3解 設A表示事件“甲種產品暢銷”，B表示事

23、件“乙種產品暢銷”，則由題意，事件“甲種產品滯銷，且乙種產品暢銷”表示為：BA BABABA因此對立事件為：即所求對立事件為：“甲種產品暢銷或乙種產品滯銷”。試求事件“甲種產品滯銷，且乙種產品暢銷”的對立事件。n課堂練習：從通常的一副52張撲克牌中抽取一張，在下列情況下描述樣本空間：(1)不考慮牌的花色；(2)考慮牌的花色。)13, 4()2 , 4()1 , 4()13, 3()2 , 3()1 , 3()13, 2()2 , 2()1 , 2()13, 1 ()2 , 1 ()1 , 1 (解解：(1)1)如果不考慮整套牌的花色，樣本空間包如果不考慮整套牌的花色，樣本空間包含可由牌點含可由

24、牌點A，二點，二點，十點，十點，J，Q，K組組成，即可表示為成，即可表示為=1,2,13=1,2,13。(2)(2)如果考慮整套牌的花色，樣本空間分別包含如果考慮整套牌的花色，樣本空間分別包含黑、紅、方、草的黑、紅、方、草的A，一直到一直到K。如果用如果用1,2,3,41,2,3,4分別表示黑、紅、方、草，則黑桃分別表示黑、紅、方、草，則黑桃J可可寫成寫成(1,11)(1,11)，樣本空間有，樣本空間有5252個樣本點：個樣本點： 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率一、頻率及其性質一、頻率及其性質定義定義1.1.若在相同條件下進行若在相同條件下進行n n次試驗次試驗, , 其中事件其中事件A

25、 A發發 生的次數為生的次數為r rn n( (A A) )次次, ,則稱則稱nArAfnn)()(為事件為事件A A發生的發生的頻率頻率. .頻率具有如下的性質頻率具有如下的性質對任一事件對任一事件A，0 fn(A) 1；對必然事件對必然事件S，fn(S)1；而而 fn( )=0(3)可加性：若可加性：若事件事件A1, A2 , , An兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則)()()(212!nnnnnnAfAfAfAAAf二、概率二、概率從直觀上來看，事件從直觀上來看，事件A的概率是指事件的概率是指事件A A發發生的可能性生的可能性P(A) 應具有何種性質？應具有何種性質？拋一枚硬幣，幣值面向

26、上的概率為多少？拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現擲一顆骰子，出現6 6點的概率為多少？點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？向目標射擊，命中目標的概率有多大？1、概率的統計定義、概率的統計定義定義定義2. 設隨機事件設隨機事件A在在n次重復試驗中發生的次數次重復試驗中發生的次數為為rn(A)，若事件若事件A發生的發生的頻率頻率fn(A)=rn(A)/n隨著隨著試驗次數試驗次數n的增大而穩定地在某個常數的增大而穩定地在某個常數p(00p1)1)附近擺動，則稱數附近擺動，則稱數p為為事件事件A的概率的概率，記為記為P(

27、A).由定義，顯然有由定義，顯然有0 0 P(A)1, 1, P(S)=1，P()=0。2、概率的公理化定義、概率的公理化定義定義定義3 3 設設E E是隨機試驗，是隨機試驗，S S是它的樣本空間，對于是它的樣本空間，對于E E的的每一個事件每一個事件A，賦予一個實數賦予一個實數P(A)與之對應，如與之對應，如果集合函數果集合函數P()具有如下性質：具有如下性質：非負性非負性：對任意一個事件：對任意一個事件A，均有均有P(A)0 ；完備性完備性：P(S)=1；可列可加性可列可加性：若：若A1，A2，An，是兩兩互不是兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，

28、有有則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率的概率。11)()(iiiiAPAP 三、概率的性質三、概率的性質不可能事件的概率為零，即不可能事件的概率為零，即P()=0；，即若事件即若事件A1，A2，An兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則有有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)設設A，B是兩個事件，則是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)特別地，若特別地，若A B，則則AB=B，有有P(A-B)=P(A)-P(B)，且且P(A)P(B)，此性質稱為此性質稱為。)(1)(APAP對任一事件對任一事件A，有有對任意兩個事件對任意兩個事件A，B，有有P(AB)=P(A)

29、+P(B) - - P(AB)可推廣可推廣: :對任意兩事件對任意兩事件A，B，有有)()()(BAPABPAP).()1()()()()(21111nnnkjikjininjijiiiniAAAPAAAPAAPAPAp 例例1.1.4 4 某人外出旅游兩天，據天氣預報，第一天降水概某人外出旅游兩天，據天氣預報，第一天降水概率為率為0.6，第二天為，第二天為0.3，兩天都降水的概率為，兩天都降水的概率為0.1，試求：，試求： (1)“第一天下雨而第二天不下雨第一天下雨而第二天不下雨”的概率的概率P(B)， (2)“第一天不下雨而第二天下雨第一天不下雨而第二天下雨”的概率的概率P(C)， (3)

30、“至少有一天下雨至少有一天下雨”的概率的概率P(D)， (4)“兩天都不下雨兩天都不下雨”的概率的概率P(E)， (5)“至少有一天不下雨至少有一天不下雨”的概率的概率P(F)。 解解 設設Ai表示事件表示事件“第第i天下雨天下雨”，i=1=1，2 2，由題意由題意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1(1)2112121AAAAAAAB且121AAA可得5 . 01 . 06 . 0)()()()(211211AAPAPAAAPBP（2）2 . 01 . 03 . 0)()()()(212212AAPAPAAAPCP（3）21AAD)()()()()(212121A

31、APAPAPAAPDP=0.6+0.3-0.1=0.8（4）2121AAAAE2 . 08 . 01)(1)()(2121AAPAAPEP（5）9 . 01 . 01)(1)()()(212121AAPAAPAAPFP 1.3 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型設隨機設隨機實驗實驗E E滿足下列條件滿足下列條件1.1.有限性：試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即有限性：試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即Se1, e 2 , , e n ;2.2.等可能性：每個等可能性：每個基本事件基本事件的發生是等可能的，即的發生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=P(en)。則稱此試驗則稱此試驗E E為古

32、典概型，也稱為古典概型，也稱等可能等可能概型。概型。一、古典概型一、古典概型設事件設事件A中所含樣本點個數為中所含樣本點個數為k ，記樣本空間記樣本空間S中樣本中樣本點總數為點總數為n，則有則有nkSAAP中樣本點的個數所包含的樣本點的個數)(古典概型中的概率古典概型中的概率：nkSAAP中基本事件總數所包含的基本事件數)(或由概率的公理化定義知由概率的公理化定義知)()()()(nePePePSP211)()(iniienPeP1ninePi,)(11于是稱此概率為稱此概率為古典概率古典概率. . 例例1 1 在盒子里有在盒子里有1010個相同的球，分別標上號碼個相同的球，分別標上號碼1 1

33、，2 2，10 10 。從中任取一球，求此球的號碼為偶數。從中任取一球，求此球的號碼為偶數的概率。的概率。 解 設m表示所取的球的號碼為m(m=1,2,10)，則試驗的樣本空間為S=1,2,10，因此基本事件總數n=10。又設A表示“所取的球號碼為偶數”這一事件，則A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5個樣本點，故 5 . 0105)(nkAP加法公式加法公式設完成一件事有m種方式，第i種方式有種方法，則完成該件事的方法總數為inmnn1二、計算古典概型的方法二、計算古典概型的方法排列與組合排列與組合乘法公式乘法公式設完成一件事有m個步驟，其中第i步有種方法,必須通過m個步驟的每一步驟才

34、能完成該事件，則完成該事件的方法總數為inmnnn21有重復（放回）排列有重復（放回）排列從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無重復（放回）排列無重復（放回）排列從含有從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)=n!/(n-k)!種排列方式種排列方式. .當當k= =n n時，稱其為全排列，全排列的種數為時，稱其為全排列，全排列的種數為Pnn=n!n n-1-1 n-2

35、-2n- -k+1+1組組 合合從n個不同元素中任取k個的不同組合總數為)!( !knknkPknCknkn)(nk 1 稱為組合系數稱為組合系數.knC!.kCPknknn古典概率的計算關鍵在于計算基本事件總數和所求事件包含的基本事件數。由于樣本空間的設計可由各種不同的方法，因此古典概率的計算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。1、抽球問題、抽球問題 例2 設盒中有3個白球，2個紅球，現從盒中任抽2個球，求取到一紅球一白球的概率。解 設A取到一紅球一白球25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP答:取到一紅一白的概率為3/5。一般地，設盒中有N個球，其

36、中有M個白球，現從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是nNknMNkMCCCp在實際中，有許多問題的結構形式與抽球在實際中，有許多問題的結構形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個，求，求“被抽出的若干個事物滿足一定要求被抽出的若干個事物滿足一定要求”的的概率。如產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的概率。如產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數學意義更加突抽球

37、模型的目的在于是問題的數學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。出，而不必過多的交代實際背景。2、分球入盒問題、分球入盒問題解 (1) 設A：每盒恰有一球，B：空一盒33)(SN! 3)(AN92)(AP1)()2(全有球空兩合PPBP32923313例3 將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把一般地，把n個個球隨機地分配到球隨機地分配到N個盒子中個盒子中去去( (n N) )，則每盒至多則每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnNNPP 某班級有某班級有n 個人個人(n 365)，問至少有兩個人的生日在同一天問至少有兩個

38、人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？分球入盒問題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以歸結為分球入盒問題，只是須分清問題中的“球”與“盒”，不可弄錯。(1)生日問題：n個人的生日的可能情況，相當于n個球放入N=365個盒子中的可能情況(設一年365天)；(2)旅客下車問題(電梯問題)：一列火車中有n名旅客，它在N個站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當于n個球分到N個盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問題：n個人被分配到N個房間中；(4)印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本具有N頁書的一切可能的分布，錯誤球，頁盒子。3.分組問題分組問題例例4 4. . 3030名學生中

39、有名學生中有3 3名運動員，將這名運動員，將這3030名學生平均分名學生平均分成成3 3組，求：組，求：（1 1）每組有一名運動員的概率；）每組有一名運動員的概率；（2 2）3 3名運動員集中在一個組的概率。名運動員集中在一個組的概率。!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(! 9! 9! 9!27! 3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解 設A：每組有一名運動員；B：3名運動員集中在一組一般地，將一般地，將n個不同元素分為個不同元素分為m組組(nm),各組元素數目分別為各組元素數目分別為ni，則分法則分法的總數為：的總數為：nnmi

40、i1mmnnnnnnnCCC211!.!mnnnn214. 4. 隨機取數問題隨機取數問題例例5.5.從從1 1到到200200這這200200個自然數中任取一個個自然數中任取一個, ,(1)(1)求取到的數能被求取到的數能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求取到的數能被求取到的數能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的數既能被求取到的數既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率。整除的概率。解解 設設A為事件為事件“取到的數能被取到的數能被6整除整除”, ,B為事件為事件“取取到的數能被到的數能被8 8整除整除”N(AB)=200/24=8N(A)=200/6=

41、33,N(B)=200/8=25(1)P(A)=33/200,(2)P(B)=1/8, (3)P(AB)=1/25問：取到的數既不能被問：取到的數既不能被6 6整除又不能被整除又不能被8 8整除的概率整除的概率N(S)=200,三、幾何概型三、幾何概型 古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型. . 這里我們進一步研究樣本空間為一線段、平面區域或空間立體這里我們進一步研究樣本空間為一線段、平面區域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型等的等可能隨機試驗的概率模型幾何概型幾何概型. .)(S(1) (1) 設樣本空間設樣本空間S是平面上

42、某個區域是平面上某個區域, 它的面積記為它的面積記為 ; (2)(2)向區域向區域S上隨機投擲一點上隨機投擲一點,這里這里“隨機投擲一點隨機投擲一點”的含義是的含義是指該點落入指該點落入 S內任何部分區域內任何部分區域A的可能性只與區域的可能性只與區域A的面積的面積 成比例成比例, 而與區域而與區域A的位置和形狀無關的位置和形狀無關. 向區域向區域 S上隨機投擲一點上隨機投擲一點, 該點落在區域該點落在區域 A的事件仍記為的事件仍記為A, 則則A概率為概率為 , ,其中其中 為常數為常數, ,而而 , ,于是于是, ,得得 , , 從而事件從而事件A的概的概率為率為)(A)()(AAP)()(

43、SSP)(1S)()()(SAAP 幾何概率幾何概率 注注: 若樣本空間若樣本空間S為一線段或一空間立體為一線段或一空間立體, 則向則向S“投點投點”的相應概的相應概率仍可用上式確定率仍可用上式確定, 但但 應理解為長度或體積應理解為長度或體積. )(例例6 6 某人午覺醒來某人午覺醒來, ,發覺表停了發覺表停了, , 他打開收音機他打開收音機, ,想聽電想聽電臺報時臺報時, , 設電臺每正點是報時一次設電臺每正點是報時一次, , 求他求他( (她她) )等待時間等待時間短于短于1010分鐘的概率分鐘的概率. . 解解 以分鐘為單位以分鐘為單位,記上一次報時時刻為記上一次報時時刻為0,0,則下

44、則下一次報時一次報時時刻為時刻為6060,于是于是, ,這個人打開收音機的時間必在這個人打開收音機的時間必在(0,60)(0,60)內內, ,記記“等待時間短于等待時間短于1010分鐘分鐘”為事件為事件A,則有則有 S=(0,60), A=(50, 60) S于是于是616010)(AP例例7 (會面問題會面問題) 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在7點到點到8點之間在某地會面點之間在某地會面, 先先到者等候另一人到者等候另一人20分鐘分鐘, 過時就離開過時就離開. 如果每個人可在指定的一小如果每個人可在指定的一小時內任意時刻到達時內任意時刻到達, 試計算兩人能夠會面的概率試計算兩人能夠會面的概

45、率.解解 記記7點為計算時刻的點為計算時刻的0時時,以分鐘為單位以分鐘為單位, x, y 分別記甲、乙到達指定分別記甲、乙到達指定地點的時刻地點的時刻, 則樣本空間為則樣本空間為600 ,600| ),(yxyxS20| ,),( | ),(yxSyxyxA以以A表示事件表示事件“兩人能夠會面兩人能夠會面”, 則顯然有則顯然有由題意由題意,這是一個幾何概型問題這是一個幾何概型問題,于是于是95604060)()()(222SAAP練習練習: :設有設有n個顏色互不相同的球，每個球都以概率個顏色互不相同的球，每個球都以概率1/1/N落在落在N(nN)個盒子中的每一個盒子里，且每個個盒子中的每一個

46、盒子里，且每個盒子能容納的球數是沒有限制的，試求下列事件的盒子能容納的球數是沒有限制的，試求下列事件的概率：概率： A=某指定的一個盒子中沒有球某指定的一個盒子中沒有球B=某指定的某指定的n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球C=恰有恰有n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球D=某指定的一個盒子中恰有某指定的一個盒子中恰有m個球個球(mn)解解 把n個球隨機地分配到N個盒子中去(nN),總共有Nn種放法。即基本事件總數為Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n個球中的每一個球可以并且只可以放入其余的N-1個盒子中。總共有(N1)n種放法。因此nnNNAP)1()(事件B：指定的n個盒子中

47、，每個盒子中各放一球，共有n!種放法，因此 nNnBP!)(事件C：恰有n個盒子，其中各有一球，即N個盒子中任選出n個，選取的種數為CNn在這n個盒子中各分配一個球，n個盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點總數為! nCnN事件D：指定的盒子中，恰好有m個球，這m個球可從n個球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個球可以任意分配到其余的N-1個盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點總數為Cnm(N-1)n-m)(!)(nnNnnNNPNnCCP)111()1()(mnmmnnmnmnNNCNNCDP一批同型號產品由甲、乙兩廠生產，產品結構如圖一批同型號產品

48、由甲、乙兩廠生產，產品結構如圖1.4 條件概率條件概率甲廠乙廠合計合格品 4756441119次品255681合計5007001200問問(1) 從這批產品中任取從這批產品中任取一件，則這件產品為次一件，則這件產品為次品的概率為多少？品的概率為多少？(2)假設被告知取出的產假設被告知取出的產品是甲廠生產的，那么品是甲廠生產的，那么這件產品為次品的概率這件產品為次品的概率又是多大呢？又是多大呢？記記“取出的產品是甲廠生產的取出的產品是甲廠生產的”這一事件這一事件為為A， “取出的產品為次品取出的產品為次品”這一事件為這一事件為B在事件在事件A發生的條件下，求事件發生的條件下，求事件B發生的概率，

49、發生的概率，這就是條件概率，記作這就是條件概率，記作P( (B| |A) )一、條件概率的概念一、條件概率的概念本例中，)()(/)|(APABPABP120050012002550025事實上，容易驗證，對一般的古典概型，若事件事實上，容易驗證，對一般的古典概型，若事件A、B是古典是古典概型的樣本空間概型的樣本空間S中的兩個事件，其中中的兩個事件，其中A含有含有nA個樣本點，事件個樣本點，事件AB含有含有nAB個樣本點，則個樣本點，則)()()|(APABPnnnnnnABPAABAAB二、條件概率的定義二、條件概率的定義定義定義 設設A、B是是S中的兩個事件中的兩個事件，P(A)0，則則

50、)()()|(APABPABP稱為稱為事件事件A發生的條件下事件發生的條件下事件B發生的條件概率發生的條件概率. 稱為無條件稱為無條件概率。一般地概率。一般地 , .)(BP)|(ABP)(BP(1)“條件概率條件概率”是是“概率概率”嗎？嗎？何時何時P( (B| |A)=)=P( (B)? )?何時何時P( (B| |A)P( (B)? )?何時何時P( (B| |A)0, 則則 非 負 性 ： 對 任 意 一 個 事 件 非 負 性 ： 對 任 意 一 個 事 件 B ， 均 有均 有0P(B|A)1； 規范性：規范性：P(S|A)=1； 可列可加性：若可列可加性：若A1，A2，An，兩兩

51、互兩兩互不相容，則有不相容，則有11)()(nnnnAAPAAP條件概率也滿足概率的基本性質條件概率也滿足概率的基本性質n條件概率的一般計算方法：條件概率的一般計算方法：(1)(1)根據根據A發生以后的情況發生以后的情況, ,在在 “ “縮減的樣本空縮減的樣本空間間”A中直接計算中直接計算B發生的概率，就得到發生的概率，就得到 P(B|A)(2)(2)在樣本空間在樣本空間S S中，先求中，先求P(A)，P(AB)，再按定再按定義計算義計算P(B|A)注注: 1. : 1. 用維恩圖表達用維恩圖表達(1)(1)式式. .若事件若事件A已發生已發生, ,則為則為使使B也發生也發生, ,試驗結果必須

52、是既在試驗結果必須是既在A中又在中又在B中的中的樣本點樣本點, ,即此點必屬于即此點必屬于AB. 因已知因已知A已發生已發生, ,故故A成成為計算條件概率為計算條件概率P(B|A)的的新的樣本空間新的樣本空間. .例例1 1 一盒中混有一盒中混有100100只新、舊乒乓球，各有紅只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。球的概率。紅白新4030舊2010設設A-從盒中隨機取到一只紅球。從盒中隨機取到一只紅球。 B-從盒中隨機取到一只新球。從盒中隨機取到一

53、只新球。 60An40ABn326040AABnnABP)|(縮減的樣本空間縮減的樣本空間B B中所含樣本點個數中所含樣本點個數A A發生后的縮減樣本空間所含樣本點發生后的縮減樣本空間所含樣本點的總數的總數例例2 2 設袋中設袋中有有3 3個白球，個白球，2 2個紅球，現從袋中個紅球，現從袋中不放回地不放回地連取兩個。已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅連取兩個。已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率。球的概率。 解 設設A表示表示“第一次取到紅球第一次取到紅球”,”,B表示表示“第二次取到紅第二次取到紅球球”41)|(ABP10112)(,52)(25251412PABPPPPAP方法

54、一：縮減樣本空間方法一：縮減樣本空間A A中的樣本點數中的樣本點數方法二：在方法二：在5 5個球中不放回連取兩球的取法有個球中不放回連取兩球的取法有 種，種，25P由定義得由定義得415/210/1)()()|(APABPABP例例3 3 設某人從一副撲克中設某人從一副撲克中(52(52張張) )任取任取1313張，設張，設A為為“至少有一張紅桃至少有一張紅桃”， B為為“恰有恰有2 2張紅桃張紅桃”，C為為“恰有恰有5 5張方塊張方塊”，求條件概率，求條件概率P( (B| |A) )，P( (B| |C) )解 135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521

55、139213)(CCCABP13391352113921313521339135213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP83962621313528395131352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP設設A、B、C為隨機事件為隨機事件，P(A)0，則有則有乘法公式乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A) 當當P(AB)0時，上時，上式還可推廣到三個事件的情形式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，一般地，n

56、n個隨機事件個隨機事件A1,A2,An，且且P(A1A2An-1)0,有下列公式：有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)三、概率的乘法公式三、概率的乘法公式 又又AB=BA,及及A,B的對稱性可得到的對稱性可得到: : P(AB)P(B)P(A|B) P(B)0利用它們可計算兩個事件同時發生的概率利用它們可計算兩個事件同時發生的概率.例例4 4 甲、乙、丙三人參加面試抽簽，每人的試題通過甲、乙、丙三人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設被抽的不放回抽簽的方式確定。假設被抽的1010個試題中有個試題中有4 4個難題

57、簽，按甲、乙、丙次序抽簽，試求甲抽到難題個難題簽，按甲、乙、丙次序抽簽，試求甲抽到難題簽，甲和乙都抽到難題簽，甲沒抽到難題簽而乙抽到簽，甲和乙都抽到難題簽，甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，甲、乙、丙都抽到難題簽的概率。難題簽，甲、乙、丙都抽到難題簽的概率。 解 設A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難題簽的事件 52104)(AP15293104)()()(ABPAPABP15494106)()()(ABPAPBAP3018293104)()()()(ABCPABPAPABCP返回例例5 5 盒中有盒中有3 3個紅球，個紅球，2 2個白球，每次從袋中任取一只個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放

58、回，并再放入一只與所取之球顏色，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續取球相同的球，若從盒中連續取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解設Ai為第i次取球時取到白球，則)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP四、全概率公式四、全概率公式n在概率論中，我們經常利用已知的簡單事件的概率，推算出未知的復雜事件的概率。為此，常須把一個復雜事件轉化為在不同

59、情況或不同原因下發生的若干個互不相容的簡單事件的和，再由簡單事件的概率求得最后結果。n如在例4中，如果把甲、乙、丙抽到難題簽的事件作為上述的復雜事件，則可用分解的方法計算如下：例 4甲抽到難簽的概率甲抽到難簽的概率104)(AP例4乙抽到難簽的概率，注意到乙抽到難簽的概率，注意到)(BAABB)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP1049410693104丙抽到難簽的概率，注意到丙抽到難簽的概率，注意到CBACBABCAABCC)()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP)()()()()()()()()()()()(BACPABPAPABCPABPAPB

60、ACPABPAPABCPABPAP1048495106839610483941068293104可將此類問題推廣到一般情況。定理定理1 1 設試驗設試驗E的樣本空間為的樣本空間為S，設設A1,A2,An是一個完是一個完備事件組，且備事件組，且P( (Ai)0,()0,(i=1,2,),=1,2,),則對任一事件則對任一事件B, ,有有 )|()()|()()(11nnABPAPABPAPBP此公式稱為全概率公式全概率公式。)()()()(iiiiABPABPSBPBP證明：iiiiiABPAPABP)|()()(注：注：公式指出，在復雜情況下直接計算公式指出，在復雜情況下直接計算P(B)不易時