1、 定積分第一節 定積分的概念與性質abxyo? A曲曲邊邊梯梯形形由由連連續續曲曲線線實例實例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積四個小矩形四個小矩形九個小矩形九個小矩形曲邊梯形如下圖，曲邊梯形如下圖，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內內插插入入若若干干在在區區間間abxyoi ix1x1 ix1

2、nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區間個小區間分成分成把區間把區間，上任取一點上任取一點在每個小區間在每個小區間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 12,()max,(00)nxxxxxx當分割無限加細 記小區間的最大長度或者趨近于零或者時，曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實例實例2 2 求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程思緒：把整段時間分割成假設干小段，每小段思緒：把整段時間分割成假設干小段，每

3、小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后經過對時間的無限便得到路程的近似值，最后經過對時間的無限細分過程求得路程的準確值細分過程求得路程的準確值1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時辰的速度某時辰的速度2求和求和iinitvs )(1 3取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的準確值路程的準確值設設函函數數)(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann

4、1210把把區區間間,ba分分成成n個個小小區區間間，各各小小區區間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區區間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數被積函數被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區區間間,ba也也不不論論在在小小區區間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，和和S總總趨趨于于確確定定的的極極限限I，在在區區間間,ba上上的的定定

5、積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和留意：留意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數數及及積積分分區區間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當當函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在在區區間間,ba上上可可積積. 當當函函數數)(xf在在區區間間,ba上上連連續續時時，定理定理1 1定理定理2 2 設設函函數數)(xf在在區區間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區區間間,ba上上可可積積. .且且 只只 有有 有有 限限 個個 第

6、第 一一 類類 的的間間 斷斷 點點 ， 則則)(xf在在三、存在定理區間區間,ba上可積上可積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數和數和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數軸、函數它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定

7、積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區區間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 xn dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 五、定積分 的性質證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(

8、.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.此性質可以推行到有限多個函數作和的情況此性質可以推行到有限多個函數作和的情況性質性質1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數數).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質性質2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充：不論補充：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 假設假設, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)(

9、)( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf定積分對于積分區間具有可加性定積分對于積分區間具有可加性那么那么假假設設bca 性質性質3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質性質4 4性質性質5 5如果在區間如果在區間,ba上上0)( xf，例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xe

10、xfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案性質性質5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區區間間,ba上上)()(xgxf ，1dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbabab

11、a 即即dxxfba )(dxxfba )(.闡明：闡明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區區間間,ba上上的的性質性質5 5的推論：的推論：2設設M及及m分分別別是是函函數數證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba 此性質可用于估計積分值的大致范圍此性質可用于估計積分值的大致范圍則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區區間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質性質6 6曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間夾在兩個矩形之間解解,sin)(xxxf 22cossincos (t

12、an )( )0 xxxx xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上單單調調下下降降,例例2 不計算定積分不計算定積分 估計估計 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,2442sin22,441sin2.22Mfmfbaxdxxxdxx如如果果函函數數)(xf在在閉閉區區間間,ba上上連連續續，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區間上延續函數的介值定理知由閉區間上延續函數的介值定理知則則在在積積分分區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質性質7 7Th5.1

13、Th5.1 定積分第一中值定理定積分第一中值定理積分中值公式積分中值公式使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區區間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區區間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。Th5.2(Th5.2(推行的積分第一中值定理推行的積分第一中值定理 設函數設函數)(xf在區間在區間,ba上連續，并且設上連續，并且設x

14、為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(調查定積分調查定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數積分上限函數 如如果果上上限限x在在區區間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數，六、積分上限函數及其導數abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上連續，則積分上限的函上連續，則積分上限的函數數dttfxxa )()(在在,ba上具有導數，且它的導上具有導數，且它的導數是數是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 證證d

15、ttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x計算以下導數計算以下導數xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222)3()2() 1 ( 如如果果)(tf連連續續，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數數)(xF 為為補充補充 )

16、()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，運用洛必達法那么型不定式，運用洛必達法那么.定理定理2 2原函數存在定理原函數存在定理 如如

17、果果)(xf在在,ba上上連連續續，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. .定理的重要意義：定理的重要意義：1一定了延續函數的原函數是存在的一定了延續函數的原函數是存在的.2初步提示了積分學中的定積分與原函數之初步提示了積分學中的定積分與原函數之間的聯絡間的聯絡.定理定理 3 3微積分根本公式微積分根本公式如如果果)(xF是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數數, 已已知

18、知)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數數，CxxF )()(,bax 證證七 牛頓萊布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分根本公式闡明：微積分根本公式闡明： baxF)( 一個連續函數在區間一個連續函數在區間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數在區間它的任意一個原函數在區間,ba上的增量上的增量.留意留意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxf

19、ba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設設 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原

20、式.211 xyo2xy xy 122 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且設那么有1. 微積分根本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茨公式定理定理 假假設設（1 1）)(xf在在,ba上上連連續續；（3 3）當）當t在區間在區間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .八、換元公式證證設設)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數數，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(tx

21、f ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數數.a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當當 時時，換換元元公公式式仍仍成成立立.運用換元公式時應留意運用換元公式時應留意:12250cossin.xxdx例例1 1 計算計算.ln43eexxdx例例2 2 計算計算例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx222550060cossincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解湊微分是第一類換元積分法，

22、特點是不要明顯地換元，也就不要改換積分的上下限。例例2 2 計算計算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx例例3 3 計算計算解解23xdx三角代換和根式代換例例4 4 計算計算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2 t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsincossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明顯換元證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)

23、(xf為為偶偶函函數數，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數，則為奇函數，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 在在 0)(adxxf中中令令tx ,奇函數奇函數例例6 6 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數偶函數 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積總結：總結： 1、定積分公式、定積分公式2、定積分計算

24、方法直接代入，湊微分，、定積分計算方法直接代入，湊微分，根式代換，三角代換根式代換，三角代換3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限元要換上下限4、 引見了積分上限函數引見了積分上限函數5、積分上限函數是原函數、積分上限函數是原函數6、計算上限函數的導數、計算上限函數的導數例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上連續，證明上連續，證明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計算由此計算 02cos1sindxxxx. 證證1設設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,

25、 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxftx 22tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 由此計算由此計算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx設設 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos

26、2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 設函數設函數)(xu、)(xv在區間在區間 ba,上具有連續上具有連續導數，則有導數，則有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv九、分部積分公式例例 計算計算解解.ln1exdx例例2 2 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(11212

27、0221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例3 3 計算計算解解dxxex10例例4 4 計算計算dxxx10cos例例5 5 計算計算解解edxxx12ln定定義義 1 1 設設函函數數)(xf在在區區間間),a上上連連續續，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數數)(xf在在無無窮窮區區間間),a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發發散散. .第四

28、節 廣義積分一、無窮限的廣義積分類似地，設函數類似地，設函數)(xf在區間在區間,(b 上連續，取上連續，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數限為函數)(xf在無窮區間在無窮區間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發發散散. . 設函數設函數)(xf在區間在區間),( 上連續上連續, ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則

29、稱上述兩廣義積分之和為函數稱上述兩廣義積分之和為函數)(xf在無窮區間在無窮區間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發發散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)()()()(aFxFaFFxFdxxfxaa簡記為例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12

30、xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發散時廣義積分發散.回想回想 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(第五節、定積分運用曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續續 曲曲 線線)(x

31、fy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 1、幾何上的運用面積ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲那么xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,Oxbay)(xfy xxdxyb xa)(2xfy )(1xfy OxxxdxxfxfAbad)()(21xxfxfAd)()(d21右圖所示圖形，面積元素為xyo)(x

32、fy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x xxfxfAbad)()(21ybxa)(2xfy )(1xfy Ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyAdcd)()(Oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfAd| )()(|d21有時也會選 y 為積分變量yyyAd| )()(|d例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解1作圖作圖2求出兩曲線的交點求出兩曲線的交

33、點)1 , 1()0 , 0(3 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 4代公式代公式 badxxfxfA)()(12解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy解題步驟：解題步驟：(2) 求出交點；(3) 選擇適宜的積分變量，確定積分區間，計算。(1) 畫出草圖；ab例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參

34、數方程)20(sincosttbytax運用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式xxxdxyO aaxxb02d14二、立體體積二、立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在那么對應于小區間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上延續,1. 知平行截面面積函數的立體體積知平行截面面積函數的立體體積例例1. 一平面經過半徑為一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,222Ryx解解: 如下圖取坐標系如下圖取坐標系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積