1、3.2 3.2 簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換第一課時第一課時 問題提出問題提出t57301p21.1.兩角和與差及二倍角的三角函數公式兩角和與差及二倍角的三角函數公式分別是什么？分別是什么？sin(sin()sincossincoscossincossin tantan1tantan)(tancos(cos()coscos sinsincoscos sinsin mcos2cos2coscos2 2sinsin2 2 2cos2cos2 21 1 1 12sin2sin2 2； 2tan1tan22tan2tan1tan22tan2tan1tan22tan2tan1tan22tan2t

2、an1tan22tan2tan1tan22tansin2sin22sincos2sincos 2.2.三角函數公式是三角變換的理論依據，三角函數公式是三角變換的理論依據，基本的三角公式包括同角關系公式，誘基本的三角公式包括同角關系公式，誘導公式，和差公式和二倍角公式等導公式，和差公式和二倍角公式等. .有有了這些公式，使得三角變換的內容、思了這些公式，使得三角變換的內容、思路、方法豐富多彩，奧妙無窮，并為培路、方法豐富多彩，奧妙無窮，并為培養我們的推理、運算能力提供了養我們的推理、運算能力提供了很好的平臺很好的平臺. .在實際應用中，我們不僅在實際應用中，我們不僅要掌握公式的正向和逆向運用，還

3、要要掌握公式的正向和逆向運用，還要了解公式的變式運用，做到活用公式，了解公式的變式運用，做到活用公式，用活公式用活公式. .3.3.代數式變換與三角變換的區別在于：代數式變換與三角變換的區別在于：代數式變換主要是對代數式的結構形式代數式變換主要是對代數式的結構形式進行變換；三角變換一般先尋找三角式進行變換；三角變換一般先尋找三角式包含的各個角之間的聯系，并以此為依包含的各個角之間的聯系，并以此為依據選擇可以聯系它們的適當公式進行變據選擇可以聯系它們的適當公式進行變換，其中有兩個變換原理是需要我們了換，其中有兩個變換原理是需要我們了解的解的. .探究（一）：探究（一）：異角和積互化原理異角和積互

4、化原理 思考思考1 1：對于對于sincossincos和和cossincossin，二者相加、相減分別等于什么？二者相加、相減分別等于什么？思考思考2 2：記記sincossincosx x，cossincossiny y，利用什么數學思想可求出，利用什么數學思想可求出x x、y y？x+yx+ysin(+) sin(+) x-yx-ysin(-)sin(-)方程思想方程思想左邊是積右邊是和差，左邊是積右邊是和差，從左到右積化和差從左到右積化和差.思考思考3 3：由上述分析可知由上述分析可知1cossi nsi n()si n()2ababab=+-)sin()sin(21cossin這兩個

5、等式左右兩邊的結構有什么特點？這兩個等式左右兩邊的結構有什么特點？從左到右的變換功能是什么？從左到右的變換功能是什么？思考思考4 4令令 ， ，并交換等式兩邊的式子可得什么結論？并交換等式兩邊的式子可得什么結論？si nsi n2si ncos22qjqjqj+-+=si nsi n2cossi n22qjqjqj+-=思考思考5 5：這兩個等式左右兩邊的結構有什這兩個等式左右兩邊的結構有什么特點？從左到右的變換功能是什么？么特點？從左到右的變換功能是什么？思考思考6 6：參照上述分析，參照上述分析，coscoscoscos，sinsinsinsin分別等于什么？其變換功能分別等于什么？其變換

6、功能如何？如何？1coscoscos()cos()2ababab=+-1si nsi ncos()cos()2ababab= -+-思考思考7 7：coscoscoscos，coscoscoscos分別等于什么？其變換功能如何？分別等于什么？其變換功能如何？coscos2coscos22qjqjqj+-+=coscos2si nsi n22qjqjqj+-= -思考思考8 8：上述關系表明，兩個不同的三角上述關系表明，兩個不同的三角函數的和（差）與積是可以相互轉化的，函數的和（差）與積是可以相互轉化的，但轉化是有條件的，其中和差化積的轉但轉化是有條件的，其中和差化積的轉化條件是什么？化條件是什

7、么？ 兩個角的函數同名兩個角的函數同名探究（二）：探究（二）：同角和差合成原理同角和差合成原理思考思考1 1：sin20sin20cos30cos30cos20cos20sin30sin30可合成為哪個三角函數？可合成為哪個三角函數？sin(20sin(20+30+30)=sin50)=sin50思考思考2 2：可分別合成為哪個三角函數？可分別合成為哪個三角函數？13si n20cos20 ,22-oo13cos20si n2022-oosin(20sin(20-60-60) )sin(30sin(30-20-20) )思考思考3 3：可分別合成為哪個三角函數？可分別合成為哪個三角函數？si

8、ncos ,xx-cos3 si nxx+si ncos2 si n()4xxxp-=-cos3 si n2si n()6xxxp+=+思考思考4 4： 可合成為哪個三角函數？可合成為哪個三角函數？3 si n()cos()33xxpp+-+2si n ()36xpp+-思考思考5 5：一般地，一般地， 可可合成為一個什么形式的三角函數？合成為一個什么形式的三角函數？si ncosaxbx+22si ncossi n()axbxabxq+=+tanbaq=其中其中 理論遷移理論遷移例例1 1 化簡化簡 22si nsi nsi ncossi ncosabaabb-tan(tan()例例2 2

9、已知已知cosxcosxcoscoscoscos，求證：，求證： 2tantantan222xxaab+-=例例4 4 如圖，已知如圖，已知OPQOPQ是半徑為是半徑為1 1，圓心角，圓心角為為6060的扇形，的扇形，C C是扇形弧上的動點，是扇形弧上的動點，ABCDABCD是扇形的內接矩形，記是扇形的內接矩形，記COP=,COP=,求求當角當角取何值時，矩形取何值時，矩形ABCDABCD的面積最大？并求出這個的面積最大？并求出這個最大面積最大面積. .O O A AB BP P Q QC CD D例例3 3 求函數求函數 的周期，的周期，最大值和最小值？最大值和最小值？sin3cosyxx小

10、結作業小結作業1.1.異角和積互化原理與同角和差合成原異角和積互化原理與同角和差合成原理，是三角變換的兩個基本原理，具體理，是三角變換的兩個基本原理，具體公式不要求記憶，但要明確其變換思想，公式不要求記憶，但要明確其變換思想，會在實際問題中靈活運用會在實際問題中靈活運用. .2.“2.“明確思維起點，把握變換方向，抓住明確思維起點，把握變換方向，抓住內在聯系，合理選擇公式內在聯系，合理選擇公式”是三角變換的是三角變換的基本要決基本要決. .sinyAx3.3.對形如對形如 的函數，轉的函數，轉化為化為 的形式后，可使的形式后，可使問題得到簡化，這是一種化歸思想問題得到簡化，這是一種化歸思想.

11、. sincosyabsinyAx作業：作業：P143P143習題習題3.2A3.2A組：組：1(5)(6)(7)(8) 1(5)(6)(7)(8) ，2 2，3 3，4 4，5.5.3.2 3.2 簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換 第二課時第二課時 含未知角的求值問題（習題課）含未知角的求值問題（習題課） 例例1 1 已知已知 , ,且且 求求 值值. .1sincos5, 0sin(2)431 250例例2 2 已知已知 ，且，且 , ,求求 值值. .4 3sin()sin35 02cos3 3410-例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值. .2si n(60 )3x-=osi

12、n(60 )3 cos(120)xx+-oo43-例例4 4 已知已知 , , 求求 值值. .3cos45x177124x2sin22sin1tanxxx2875-例例5 5 已知已知 tantan2 2，且，且sinsinsincos(sincos()，求，求tan(tan()的值的值. .4 4例例6 6 已知已知 ， ，求，求 的值的值. .1si n(2 )si n(2 )444ppaa+-=2,4212si ntan1tanaaa+-5 32作業：作業：P146P146復習參考題復習參考題A A組：組： 1 1，2 2，3 3，6 6，7.7. 第三課時第三課時 含非特殊角的求值問

13、題（習題課）含非特殊角的求值問題（習題課） 3.2 3.2 簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換例例1 1 求求 sin(sin(340340)cos400)cos400sin830sin830cos50cos50的值的值. .32例例2 2 求求 的值的值. .cos10(tan103)si n 50-ooo2 2例例3 3 求求 的值的值. .14cos10tan10-oo3-例例4 4 求求 的值的值. .214si n 102si n10+oo3 3 例例5 5 求求 的值的值. .cos103sin10 tan702cos40tan202 2 例例6 6 求求 的值的值. .2266

14、4cos 101cos201cos20-+ooo3232 例例7 7 求求 的值的值. .52cos5cos12作業：作業：P146P146復習參考題復習參考題A A組：組： 4 4，5 5，8.8. 第四課時第四課時 三角函數中的三角變換問題三角函數中的三角變換問題 （習題課）（習題課） 3.2 3.2 簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換 例例1 1 已知函數已知函數（1 1）求）求f(x)f(x)的最小正周期和單調遞減區的最小正周期和單調遞減區 間；間；（2 2）當）當 時，求時，求f(x)f(x)的最大值和的最大值和最小值最小值. . 22( )(sincos )2cosf xxxx

15、0, 2xpT= T= 5, ()88kkkZpppp+m ax( )22f x=+m i n( )1f x= 例例2 2 已知函數已知函數f(x)f(x)sin(xsin(x) cos(xcos(x)為偶函數，求為偶函數，求的值的值. . ()4kkZpap=- 例例3 3 已知函數已知函數（1 1）若對任意）若對任意xRxR都有都有 成立，成立， 求求a的取值范圍；的取值范圍；（2 2）若）若 ，求關于，求關于x x的不等式的不等式 的解集的解集. .2( )2 cos ( 3 si ncos )(0)f xaxxxa a=+( )4f x0,1a(,)()3kkkZppp+ 例例4 4

16、已知向量已知向量a ，b ，其中，其中 ，求函，求函數數f(x)f(x)ab| |ab| |的值域的值域. . 33(cos, si n)22xx=-(cos,si n)22xx= 0, 2xp3, 12- 例例5 5 已知函數已知函數若函數若函數y=f(x)y=f(x)的圖象關于直線的圖象關于直線 對稱，求對稱，求a的最小值的最小值. .2( )2sin()sin cos3sin3f xxxxx(0)xa amin12a 例例6 6 如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為1 1 ，P P、Q Q分別為邊分別為邊ABAB，DADA上的點，當上的點，當APQAPQ的的周長為周長

17、為2 2時，求時，求PCQPCQ的大小的大小. .A AB BC CD DP PQ Q4545 作業：作業：P147P147復習參考題復習參考題A A組：組： 10,11,12,13.10,11,12,13.必修必修4 4終結考試說明終結考試說明一、三角函數與三角變換一、三角函數與三角變換1.1.三角函數在各象限的符號三角函數在各象限的符號2.2.在給定范圍內找終邊相同的角在給定范圍內找終邊相同的角3.3.扇形的弧長公式和面積公式，三角形扇形的弧長公式和面積公式，三角形面積公式面積公式4.4.根據三角函數圖象寫解析式根據三角函數圖象寫解析式5.5.求三角函數的單調區間求三角函數的單調區間6.6.判斷三角函數的奇偶性判斷三角函數的奇偶性7.7.三角函數的圖象變換三角函數的圖象變換8.8.三角函數的最大值和最小值三角函數的最大值和最小值9.9.簡諧運動的振幅、周期、頻率、初相簡諧運動的振幅、周期、頻率、初相的概念的概念10.10.含未知角的三角式求值含未知角的三角式求值13.13.三角函數的簡單應用三角函數的簡單應用11.11.含非特殊角的三角式求值含非特殊角的三角式求值12.12.三角函數式化簡三角函數式化簡14.14.三角變換基本公式（同角關系式，誘三角變換基本公式（同角關系式，誘導公式，和差公式，二倍角公式）的