1、1、兩種方法兩種方法：拉格朗日法與歐拉法：拉格朗日法與歐拉法2、歐拉法下、歐拉法下流體質點加速度流體質點加速度3、流線微分方程流線微分方程4、總流總流、流量流量、緩變流緩變流等基本概念等基本概念上次課簡要回顧上次課簡要回顧zyxuzuyuxddd 緩變流緩變流 (或漸變流或漸變流): 是是流線基本平行流線基本平行的的直線流動。直線流動。 緩變流截面緩變流截面問：問：什么是緩變流？什么是緩變流？? ?（2 2）在）在緩變流有效截面緩變流有效截面上，近似符合上，近似符合靜壓分布靜壓分布。1z2z),(11zp),(22zp)(2112zzgpp Cgpzgpz 2211? ? 緩變流有何緩變流有何

2、性質性質？（1 1）緩變流有效截面近似為緩變流有效截面近似為平面平面；指與所有流線處處垂直的截面指與所有流線處處垂直的截面(B)(B)概念選擇題概念選擇題1 1、流體定常運動時，歐拉法下必有、流體定常運動時，歐拉法下必有 等于零。等于零。 （A A）質點加速度）質點加速度 （B B）局部加速度）局部加速度( (當地加速度）當地加速度） （C C）遷移加速度）遷移加速度 （D D）離心加速度）離心加速度2 2、對于定常流動，在、對于定常流動，在 法中流動參數與時間法中流動參數與時間 變量無關。變量無關。 （A A）歐拉）歐拉 （B B）拉格朗日）拉格朗日 （C C）歐拉和拉格朗日）歐拉和拉格朗日

3、3 3、在定常流動中，歐拉法下的質點加速度、在定常流動中，歐拉法下的質點加速度 。 （A A）一定等于零）一定等于零 （B B）一定不等于零）一定不等于零 （C C）可能等于零也可能不等于零）可能等于零也可能不等于零(A)(A)(C)(C)(B)(B)(C)(C)4 4、在緩變流截面各點上，、在緩變流截面各點上， 等于常數。等于常數。pgpz （A）（B）gugpz22 （C）5 5、已知流體速度場：、已知流體速度場：0),(),( zyxuxguzyfu則該流動為則該流動為 流動。流動。（A A）一維）一維 （B B）二維）二維 （C C）三維）三維本次課主要內容本次課主要內容（1 1）了解

4、）了解流動的分類流動的分類以及以及常用的流動分析方法常用的流動分析方法（2 2）建立）建立連續性方程連續性方程 ( (微分微分形式形式, ,積分積分形式形式) )（3 3）建立理想流體）建立理想流體運動微分方程運動微分方程-歐拉方程歐拉方程（4 4）對理想流體運動微分方程）對理想流體運動微分方程積分積分-伯努利積分伯努利積分流體流動流體流動可壓縮可壓縮不可壓縮不可壓縮理想流體理想流體粘性流體粘性流體層流層流湍流湍流定常定常不定常不定常一維一維二維二維三維三維重力流體重力流體非重力流體非重力流體亞聲速亞聲速超聲速超聲速分類依據分類依據壓縮性壓縮性粘性粘性流態流態時間時間空間空間重力重力流速流速跨

5、聲速跨聲速無旋流動無旋流動有旋流動有旋流動旋轉旋轉不可壓縮：不可壓縮：C 理想流體：理想流體：0 無旋流動：無旋流動：0 定常流動：定常流動：0 t與坐標系維數對應與坐標系維數對應考慮重力對流體作用考慮重力對流體作用按流速是否大于聲速按流速是否大于聲速根據根據Re 數判斷數判斷 3-3 3-3 流體流動分類流體流動分類 3-43-4 常用的流動分析方法常用的流動分析方法3.4.1 3.4.1 物理定理物理定理 物理學定律有：物理學定律有：（1 1）質量質量守恒定律守恒定律（2 2）牛頓運動牛頓運動定律定律 （動量動量守恒定律、守恒定律、動量矩動量矩守恒定律）守恒定律）（3 3）能量能量守恒定律

6、守恒定律 流體力學是物理學的一個分支。物理學的流體力學是物理學的一個分支。物理學的普適定律完全可用于流體力學。普適定律完全可用于流體力學。連續性方程連續性方程3.4.2 3.4.2 流體流動的分析方法流體流動的分析方法1 1、系統、系統方法方法與與控制體控制體方法方法2 2、微分、微分方法方法與與積分積分方法方法 3 3、量綱分析、量綱分析方法方法 第八章講述第八章講述結合結合3-53-5 連續性方程連續性方程 按按歐拉歐拉的觀點：單位時間內流進控制體的質的觀點：單位時間內流進控制體的質量應量應等于等于流出控制體的質量與控制體內流體質量流出控制體的質量與控制體內流體質量變化量的總和。即：變化量

7、的總和。即： 流體運動遵循流體運動遵循質量守恒定律質量守恒定律。 按按拉格朗日拉格朗日的觀點：即一個流體系統的流體的觀點：即一個流體系統的流體質量在運動過程中始終保持不變；質量在運動過程中始終保持不變； 即：即： m1m2m 21mmm mmm 21或或控制體控制體凈流入凈流入控制體內的控制體內的流體質量流體質量= =控制體內控制體內流體質量流體質量的的變化量變化量 按按歐拉觀點歐拉觀點的質量守恒定律導出流體運動的的質量守恒定律導出流體運動的連續性方程連續性方程。3.5.13.5.1 微分形式微分形式的質量守恒的質量守恒-連續性微分連續性微分方程方程 1 1、建立坐標系、建立坐標系 2 2、取

8、控制體、取控制體3 3、將、將質量守恒定律質量守恒定律運用于該控制體運用于該控制體 ),(),(),(tzyxtzyxuzyx 密密度度為為速速度度為為坐坐標標為為o 為中心，邊長為為中心，邊長為d dx、d dy、d dz的平行六面體的平行六面體o 質量守恒定律：質量守恒定律： 控制體六個面控制體六個面凈流入凈流入的流體質量的流體質量, ,應該應該o 等于等于控制體內流體質量的控制體內流體質量的變化量變化量。 ? ? ?質量守恒定律：質量守恒定律：分析：分析：控制體控制體x方向方向凈流入凈流入的流體質量的流體質量o x x方向：方向： 中心點中心點的左右控制面的左右控制面o X X 方向方向

9、: :N N 點點: :坐標坐標速度速度OO點點:M M 點點: :密度密度o xxuuxxd21 xxuuxxd21 xxdxdfxfxxf 泰勒級數：泰勒級數： 222dxdxxut , z , y,xut , z , y,dxxuxxx 22,2dxdxxutzyxutzydxxuxxxM M 點：點：N N 點：點：xxd21 xxd21 xxdxdfxfxxf 泰勒級數：泰勒級數： 22,2dxdxxtzyxtzydxx 22,2dxdxxtzyxtzydxx M M 點：點：N N 點：點： X X 方向方向: :N N 點點: :坐標坐標速度速度OO點點:M M 點點: : zy

10、x,),2(zydxx ),2(zydxx t , z ,y,xux密度密度 t , z , y,x xxuuxxd21 xxuuxxd21 xxd21 xxd21 （1 1）單位時間內）單位時間內凈流入凈流入 的流體質量的流體質量M點：點： xxuuxxd21 xxd21 N點：點：xxuuxxd21 xxd21 左左控制面流入：控制面流入： zyxxuuxxxxdd)d21)(d21( 右右控制面流出：控制面流出： zyxxuuxxxxdd)d21)(d21( x方向方向凈流入：凈流入：左左流入流入- -右右流出流出zyxxuxddd)( 同理，同理，y、z 方向方向凈流入凈流入的的流體質

11、量流體質量：zyxyuyddd)( zyxzuzddd)( 所以，六個面所以，六個面凈流入凈流入控制體的控制體的流體質量流體質量： zyxzuyuxuzyxddd)()()( (2)(2)單位時間內控制體內單位時間內控制體內流體質量流體質量的的變化量變化量 用用密度密度來表示來表示dtzdydxd)t , z ,y,x(zdydxd)t dt , z ,y,x( t t時刻：時刻： t , z , y,x dxdydzt , z , y,x 時刻：時刻：dtt 密度密度 質量質量 dtt , z , y,x dxdydzdtt , z , y,x 因此，單位時間內流體質量的因此，單位時間內流體

12、質量的變化量變化量表示為表示為: :zyxtddd （3 3）建立連續性微分方程）建立連續性微分方程 凈流入凈流入控制體內的控制體內的流體質量流體質量= =控制體內控制體內流體質量流體質量的的變化量變化量zyxtzyxzuyuxuzyxdddddd)()()( 0)()()( zuyuxutzyx 連續性（微分）方程連續性（微分）方程適用條件適用條件：理想或粘性流體、可壓或不可壓流體、：理想或粘性流體、可壓或不可壓流體、 定常或非定常運動均可適用。定常或非定常運動均可適用。( (同種流體同種流體) ) 其它形式其它形式： (1)(1)矢量形式矢量形式 0)( ut (2)(2)定常流動定常流動

13、 0)( u 0)()()( zuyuxutzyx (3)(3)不可壓流動不可壓流動( (與是否定常無關與是否定常無關) ) 0 u0 zuyuxuzyx不可壓流動不可壓流動 連續性方程連續性方程 注注: : 連續性方程代表了流體運動的連續性方程代表了流體運動的質量守恒質量守恒, ,因此不可壓因此不可壓 流體流體必須必須滿足上述方程。滿足上述方程。kjizyx 002 yx例題例題 判別下述不可壓流體的流動是否存在？判別下述不可壓流體的流動是否存在？xuzuyuzyx ,)1(0,)2(2222 zyxuyxuyxyxu 解解 （1 1）因為因為0 zuyuxuzyx所以流動存在。所以流動存在

14、。（2 2）因為）因為022 yyxzuyuxuzyx所以流動不存在。所以流動不存在。0 zuyuxuzyx0 zuyuxuzyx? ? ?例題例題 已知不可壓縮平面流動，已知不可壓縮平面流動，xyyuy 2xu0 x0 xu當當 時時, , 。求。求解解0 yuxuyx012 yxux)()12()(d)12(yfxyyfxyux 0)(,0,0 yfuxx時時xyux)12( 0 zuyuxuzyx 取取定常總流定常總流為控制體，其由三個面組成為控制體，其由三個面組成: （流進面流進面1-1 、流出面、流出面2-2 、側表面、側表面）3.5.23.5.2 積分形式的質量守恒積分形式的質量守

15、恒定常定常總流總流連續性方程連續性方程如圖：如圖：三個面凈流入的流體質量三個面凈流入的流體質量= =控制體內流體質量變化量控制體內流體質量變化量流進流體質量流進流體質量 = = 流出流體質量流出流體質量則單位時間內：則單位時間內：質量守恒質量守恒:定常總流定常總流時：時：mmm 21=0 在總流上取在總流上取微流管微流管： 流進流體質量流進流體質量 = = 流出流體質量流出流體質量流量流量:單位時間內通過某一特定空間曲面的流體量。單位時間內通過某一特定空間曲面的流體量。指與所有流線處處垂直的截面指與所有流線處處垂直的截面體積流量體積流量:/s)(m3質量流量質量流量:)kg/s(AuQAd A

16、umAd AQv 平均流速平均流速是指體積流量除以是指體積流量除以有效截面有效截面面積。面積。例題例題uA適用條件適用條件: : 理想理想( (或粘性流體或粘性流體) )的的定常不可壓定常不可壓總流流動。總流流動。 1v2v設：設： 和和 分別為分別為A1、A2上的上的平均速度平均速度。QAvAv 2211則：則：定常不可壓流體連續性方程定常不可壓流體連續性方程問：問：流速與流道面積關系如何？流速與流道面積關系如何？流道面積流道面積小小，則流速，則流速大大； 流道面積流道面積大大，則流速，則流速小小。答：答：QAvAv 22113.6.1 3.6.1 理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程

17、tuzpftuypftuxpfzzyyxxdd1dd1dd1 理想流體動力學理想流體動力學 010101zpfypfxpfzyx 流體靜力學流體靜力學 理想流體運動微分方程：根據理想流體運動微分方程：根據牛頓第二定律牛頓第二定律得到。得到。類比類比 xa3.6 3.6 理想流體運動微分方程及其積分理想流體運動微分方程及其積分 矢量形式矢量形式： tupfdd1 理想流體運理想流體運 動微分方程動微分方程 注意注意：（1 1）歐拉）歐拉17551755年導出，故又稱年導出，故又稱Euler運動運動微分方程；微分方程；（2 2）適用于）適用于可壓可壓或或不可壓縮不可壓縮流體；流體；（3 3）如流體

18、靜止，則上式蛻化為）如流體靜止，則上式蛻化為Euler平衡平衡微分方程。微分方程。 至此，得到了描述流體運動的至此，得到了描述流體運動的連續性方程連續性方程和和運動微分方程運動微分方程. 即：即：0 zuyuxuzyx連續性方程連續性方程 zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 歐拉運動歐拉運動 微分方程微分方程 重力場中：重力場中：質量力已知質量力已知; 不可壓流體：不可壓流體：密度已知密度已知.四個方程、四個未知量四個方程、四個未知量 ,方程封閉可解方程封閉可解. 實際上，非線性方程，求解

19、困難實際上，非線性方程，求解困難.),(zyxuuupdtduaxx zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 歐拉運動歐拉運動 微分方程微分方程但在但在特殊的條件特殊的條件下下,可對可對歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程積分出來積分出來.dtduaxx ? ?問：問：是否能得出一個積分形式？是否能得出一個積分形式？? ? ?(1)(1)質量力僅為質量力僅為重力重力, ,即即gfffzyx , 0, 0(3)(3)流體流體不可壓不可壓, ,即即常常數數 (2)(2)流體流體定常定常運動運動, ,即

20、即0 t(4)(4)流體流體沿流線沿流線運動運動, ,即即zyxuzuyuxddd zuxuyuzuxuyuxzzyyxdd,dd,dd 3.6.2 3.6.2 伯努利積分伯努利積分 特殊條件特殊條件如下：如下： zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 111 歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程利用利用重力重力和和定常定常條件條件, ,對歐拉方程進行簡化對歐拉方程進行簡化: :gfffzyx , 0, 00 t zuuyuuxuuzpgzuuyuuxuuypzuuyuuxuuxpzzzyzxyzyyyx

21、xzxyxx01010010 zgpdd1 zuuyuuxuuzpgzuuyuuxuuypzuuyuuxuuxpzzzyzxyzyyyxxzxyxx11010三式相加三式相加,左端左端=zgzzpyypxxpdd1d1d1 三式相加三式相加,右端右端=zzuuyuuxuuyzuuyuuxuuxzuuyuuxuuzzzyzxyzyyyxxzxyxxd)(d)(d)( )2(d2u 兩端乘兩端乘dx 兩端乘兩端乘dy 兩端乘兩端乘dz 不可壓條件不可壓條件 )d(gzp 所以所以: :)d(gzp )2(d2u 0)2d(2 ugzp沿流線沿流線積分得積分得: :lCugzp 22( (流線常數流

22、線常數) )lCgugpz 22 -伯努利積分伯努利積分( (方程方程) ) 適用條件適用條件: :理想、不可壓、重流體、沿流線、定常運動。理想、不可壓、重流體、沿流線、定常運動。積分條件積分條件:(1)重力重力 (2)不可壓不可壓(3)定常流動定常流動理想流體理想流體歐拉運動歐拉運動微分方程微分方程(4)沿流線積分沿流線積分伯努利積分伯努利積分 回顧積分過程回顧積分過程lCgugpz 22 -伯努利積分伯努利積分( (方程方程) )對對流線上流線上的任意兩點的任意兩點, ,有：有：gugpzgugpzC22)(24442111 gugpzgugpzB22)(24442333 gugpzgug

23、pzD22)(23332222 1423gugpzgugpzA22)(22222111 2-12 2-12 如圖所示為一貯水設備，已知如圖所示為一貯水設備，已知h h=1.5m=1.5m，R R=1.5m=1.5m，金屬表壓強讀數金屬表壓強讀數為為98.1 98.1 ，試求作用在半球面，試求作用在半球面ABAB上的上的總壓力。總壓力。kPaRhAB水解解：將金屬表壓強讀數：將金屬表壓強讀數折合為折合為水柱高度水柱高度：)m(1081. 9100098100 gpH H水水aP1PVzP壓力體體積壓力體體積= =圓柱體體積半圓球體積圓柱體體積半圓球體積 )N(519930 pzgVP 本次課小結本次課小結 1 不可壓流動連續性方程（不可壓流動連續性方程（微分微分和和積分積分形式）形式） 2 歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程tupfdd1 0 zuyuxuzyxQAvAv 22113 伯努利積分及其成立條件伯努利積分及其成立條件（理想、不可壓、重流