1、二次函數基礎知識梳理一、二次函數概念：1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項二、二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標

2、對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值4.的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點

3、平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住

4、以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數，）；2. 頂點式：（，為常數，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種

5、形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 九 二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式十、二次函數圖象的對稱十一、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況

6、.圖象與軸的交點個數： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點

7、對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.12、 二次函數的應用1對于任意實數m，下列函數一定是二次函數的是 ( ) Ay=(m1) 2x2 By=(m+1) 2x2 Cy=(m2+1)x2 Dy=(m21)x22.已知二次函數y=（m+1）x2有最大值，則m的取值范圍是_3.拋物線y=5x2的對稱軸為_，頂點坐標為_4.拋物線的對稱軸是直線（ ）ABCD5.已知函數的圖象關于y軸對稱，則m_；6.拋物線+5，頂點坐標是 ,當x 時,y隨x的增大而減小， 函數有最 值 .7已知二次函數y=x22x3的函數值y<0，則x的取值范圍為_8.已知二次函數ya x2b

8、xc(a0)，其中a、b、c滿足abc0和9a3bc0，則該二次函數的對稱軸為直線_9.二次函數的圖象的頂點坐標是（）A B C D10.拋物線y=8x2+2mx+m-2的頂點在x軸上，則頂點坐標是( ) A(4，0) B C. D(0，)11. 不論x取何值，二次函數y=x2+6x+c的函數值總為負數，則c的取值范圍為 . 12已知x、y都是正實數，且滿足4x24xyy22xy60，則x（1y）的最小值為 13.若直線ym（m為常數）與函數y的圖像恒有三個不同的交點，則常數m的取值范圍是_。14已知函數y(a2) x24x1與x軸有交點，則a的取值范圍是 ( ) Aa>2 Ba>

9、2且a2 Ca2 Da2且a215.若二次函數的圖像與軸沒有公共點，則的取值范圍是_。16.已知函數y=x22x+k的圖象經過點（，y1），（，y2），則y1與y2的大小關系為（ ） Ay1>y2 By1=y2 Cy1<y2 D不能確定17.拋物線yx26x12經過平移得到yx2，則平移方法是 ( ) A向右平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度 B向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度 C向左平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度 D向左平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度18已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則以下結論：a+b+c<0；ab+c

10、>1；abc>0；4a2b+c<0；ca>1，其中正確結論的序號是 ( ) A B C D19已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(一2，0)、(x，0)，且1<x1<2，與y軸正半軸的交點在(0，2)的下方下列結論：4a2b+c=0；a<b<0；2a+c>0；2a6+1>0其中正確結論的個數是_20. 二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象經過點(-1,2)，且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中-2x1-1，0x21，（a<0 ，頂點在第二象限)下列結論：4a-2b+c0；2a-b0；a-1；b2+8a

11、4ac.其中正確的有( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個21如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，則下列結論：abc0；acb+1=0；OAOB=其中正確結論的序號是_ 22已知關于x的二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點（2，y1），（1，y2），（1，0），且y10y2，對于以下結論：abc0；a+3b+2c0；對于自變量x的任意一個取值，都有x2+x；在2x1中存在一個實數x0，使得x0=，其中結論錯誤的是_（只填寫序號）23如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（3，0），對稱軸為直線x=1，

12、給出以下結論：abc0 b24ac0 4b+c0 若B（，y1）、C（，y2）為函數圖象上的兩點，則y1y2當3x1時，y0，其中正確的結論是（填寫代表正確結論的序號）_ 24二次函數（）的圖象如圖所示，下列結論：；（為不等于1的任意實數）；若，且，則其中正確結論的序號為 25已知二次函數yax2bxc(a0)中，函數值y與自變量x的部分對應值如下表：x54321y32565則關于x的一元二次方程ax2bxc2的根是 26已知一次函數y1=kx+m（k0）和二次函數y2=ax2+bx+c（a0）的自變量和對應函數值如表：x1024y10135x1134y20405當y2y1時，自變量x的取值范

13、圍是（）Ax1 Bx4 C1x4 Dx1或x427已知關于x的函數y=ax2+x+1(a為常數) (1)若函數的圖象與x軸恰好有一個交點，求a的值 (2)若函數的圖象是拋物線，且頂點始終在x軸上方，求a的取值范圍28.已知函數.（1） 確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（2） 當x= 時，拋物線有最 值，是 .（3） 當x 時，y隨x的增大而增大；當x 時，y隨x的增大而減小.（4） 求出該拋物線與x軸的交點坐標及兩交點間距離；（5） 求出該拋物線與y軸的交點坐標；（6） 該函數圖象可由的圖象經過怎樣的平移得到的？29如圖，拋物線yx2xa與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y2x上（1）求a的值；（2）求A，B的坐標；（3）以AC，C