1、第三章 壓力容器安全設計的理論與基礎知識 3-4殼體的邊緣應力 3-4殼體的邊緣應力殼體的邊緣應力 薄膜應力是假設殼壁很薄，根本不能隨彎矩，沒有彎曲應力。實際上壓力容器的殼體總有一定的剛度，受壓時半徑增大，殼壁曲率發生變化，殼體總是存在一些彎曲應力。另外，幾何形狀不連續，也會產生“不連續應力”或“邊緣應力”(變形不同，互相牽制”。殼體不連續應力的影響范圍很小，即它只存在于聯接處兩邊附近的很窄的一個區域內，而且它也不直接影響到殼體的破壞強度。但在一些不合理的結構中，不連續應力可以達到很高的數值，而高的局部應力對受反復載荷的容器的疲勞壽命是有很大影響的。 邊緣應力的概念 (1)圓筒受內壓直徑增大時

2、，筒壁金屬的環向“纖維”不但被拉長了，而且它的曲率半徑由原來的R變到R+R，如圖所示。根據力學可知，：有曲率變化就有彎曲應力。所以在內壓圓筒壁的縱向截面上，除作用有環向拉應力2外，還存在著彎曲應力2b。但由于這一應力數值相對很小，可以忽略不計。邊緣應力的概念 (2)圓筒與封頭、圓筒與法蘭、不同厚度或不同材料的筒節、裙式支座與直立殼體相聯接處的平行圓等。此外，當殼體經線曲率有突變或載荷沿軸向有突變的接界平行圓，亦應視作聯接邊緣，以上各種情況參見圖325。 邊緣應力的概念 (3)圓筒形容器受內壓之后，由于封頭剛性大，不易變形而筒體剛性小，容易變形，連接處二者變形大小不同，即圓筒半徑的增長值大于封頭

3、半徑的增長值，如圖326a左側虛線所示。如果讓其自由變形，必因兩部分的位移不同而出現邊界分離現象，顯然。這與實際情況不符。實際上由于邊緣聯接并非自由，必然發生如圖326a右側虛線所示的邊緣彎曲現象，伴隨這種彎曲變形。也要產生彎曲應力，因此，聯接邊緣附近的橫截面內，除作用有軸(經)向拉伸應力1外，還存在著軸(經)向彎曲應力1b，這就勢必改變了無力矩應力狀態，用無力矩理論就無法求解。 邊緣應力的概念 (3)分析這種邊緣彎曲的應力狀態，可以將邊緣彎曲現象看作是附加邊緣力和彎矩作用的結果，如圖326b所示。意思就是在殼體兩部分受薄膜力之后出現了邊界分離，若再加上邊緣力和彎曲使之協調，才能滿足邊緣聯接的

4、連續性。因此聯接邊緣處的應力就特別大。如果確定這種有力矩的應力狀態就可以簡單地將薄膜應力與邊緣彎曲應力疊加。邊緣應力的特點： 今有一內徑為Di=1000毫米，壁厚S=10毫米的鋼制內壓圓筒，其一端為平板封頭，且封頭厚度遠遠大于筒體壁厚。內壓為P=1MPa，經理論計算和實測其內、外壁軸向應力(薄膜應力與邊緣彎曲應力的疊加值)分布情況如圖327所示。 邊緣應力的特點： 其一，局部性。不同性質的聯接邊緣產生不同的邊緣應力，但它們都有一個明顯的衰減波特性。以圓筒殼為例，其沿軸向的衰減經過一個周期之后，即離開邊緣距離為2.5 (其中r與s分別為圓筒的半徑與壁厚)之處邊緣應力已經基本衰減完了。 rs邊緣應

5、力的特點： 其二，自限性。從根本上說，發生邊緣彎曲的原因是由于薄膜變形不連續。自然，這是指彈性變形。當邊緣兩側的彈性變形相互受到約束，則必然產生邊緣力和邊緣彎矩，從而產生邊緣應力。但是當邊緣處的局部材料發生屈服進入塑性變形階段時，上述這種彈性約束就開始緩解，因而原來不同的薄膜變形便趨于協調，結果邊緣應力就自動限制。這就是邊緣應力的自限性。 邊緣應力的特點： 邊緣應力與薄膜應力不同，薄膜應力是由介質壓力直接引起的，而邊緣應力則是由聯接邊緣兩部分變形協調所引起的附加應力，它具有局部性和自限性，通常把薄膜應力稱為一次應力，把邊緣應力稱為二次應力。根據強度設計準則，具有自限性的應力，一般使容器直接發生

6、破壞的危險性較小。 對邊緣應力的處理 ： (1) 在邊緣區作局部處理。由于邊緣應力具有局部性，在設計中可以在結構上只作局部處理。例如，改變連接邊緣的結構，如圖3-28所示；邊緣應力區局部加強；保證邊緣區內焊縫的質量；降低邊緣區的殘余應力（如進行消除應力熱處理）；避免邊緣區附加局部應力或應力集中，如不在連接邊緣區開孔等。對邊緣應力的處理 ： (2) 只要是塑性材料，即使邊緣局部某些點的應力達到或超過材料的屈服點，鄰近尚未屈服的彈性區能夠抑制塑性變形的發展，使塑性區不再擴展，故大多數塑性較好的材料制成的容器，例如低碳鋼、奧氏體不銹鋼、銅、鋁等壓力容器，當承受靜載荷時，除結構上作某些處理外，一般并不

7、對邊緣應力作特殊考慮。 但是，某些情況則不然。例如，塑性較差的高強度鋼制的重要壓力容器，低溫下鐵素體鋼制的重要壓力容器，受疲勞載荷作用的壓力容器等。對于這些壓力容器，如果不注意控制邊緣應力，則在邊緣高應力區有可能導致脆性破壞或疲勞破壞。因此必須正確計算邊緣應力。對邊緣應力的處理 ： (3)由于邊緣應力具有自限性，它的危害性沒有薄膜應力的大。薄膜應力隨著外力的增大而增大，是非自限性的。如前所述，具有自限性的應力屬二次應力。當分清應力性質以后，在設計中考慮邊緣應力可以不同于薄膜應力。實際上，無論設計中是否計算邊緣應力， 在邊緣結構上作妥善處理顯然都是必要的。 彈性基礎梁的彎曲關系 彈性基礎梁擱置在

8、能連續支承而且具有彈性的基礎上，它在集中載荷下即產生彎曲。這種梁上任一點的撓度y與作用于該點梁上的的基礎反力q成正比k（基礎反力與撓度的比例常數）。即q=ky彈性基礎梁的彎曲關系 現從梁上該任意點處割取長度為dx的一個微體，微體兩端的受力情況如圖所示。由于微體處于平衡狀態，則作用于微體上垂直方向上的力的總和應為零，即： FQ-(Q+dQ)+kydx0 dQ/dx=ky 同樣，取距載荷作用點為x+dx處的彎矩總和為零，則得：MQdx+M-(M+dM)+kydxdx/2=0略去高階微量(dx)2, 則得：dM/dxQ則 kydxdQdxMd22彈性基礎梁的彎曲關系設距載荷作用點為x處梁的中性層的曲

9、率半徑為，則其倒數、1/便是梁軸的曲率。由材料力學得知彎曲梁的彈性曲線和彎矩M成正比，而與它的慣性矩J及材料的縱性彈性模量E成反比。關系式為：其中乘積EJ成為梁的彎曲剛度。EJM1彈性基礎梁的彎曲關系而由微積分中得到曲率的表達式為：對于很小的撓度y，dy/dx的數值要比1小得多，略去分母中的(dy/dx)2即得：2322211dxdydxyd221dxyd彈性基礎梁的彎曲關系設因此彎曲梁的彈性曲線的一般方程式是：對M兩次求導得：即令 ，即： 得到這個四階微分方程。EJMdxyd224422dxydEJdxMd044EJkydxyd44EJk44EJk則04444ydxyd彈性基礎梁的彎曲關系這

10、個四階微分方程的特征方程為：其根為： 。 故微分方程的解為：在遠離載荷處，即x=，y0,則C1,C2都為零。即得彈性基礎梁的彎曲關系式為: 常數c3和c4可以由梁的各種特殊條件求出。 0444)1)1 (ii（和)sincos()sincos(4321xCxCexCxCeyxx)sincos(43xCxCeyx圓筒形殼體的彎曲設有一圓筒形殼體受到相鄰殼體的牽制而產生半徑縮小(或增大)的變形，從殼體中割取一個縱向微條，則殼體發生半徑縮小的變形就是這縱向微條產生撓度y=的彎曲變形。在殼體中與聯接處的距離不同的各個截面上半徑縮小是不同的，也就是這一微條沿著它的長度方向具有不同的撓度y。設微條的寬度為

11、一單位長度，y=在距離聯接處為x的殼體半徑的形變=，s=殼體厚度。M0、Q0=在聯接處單位圓周長度的彎矩和剪力。因為殼體的縱向微條的彎曲與彈性基礎梁的彎曲相似。則彎曲曲線方程仍為： )sincos(43xCxCeyx圓筒形殼體的彎曲它的常數C3、C4則可以由微條的端點條件(聯接處)求出：以平板式殼壁的彎曲剛度D代替梁的彎曲剛度EJ，則 式中 為平板彎曲剛度。03300220)()(xxdxydDQdxydDM)1 (1223EsD圓筒形殼體的彎曲將曲線方程求導帶入得：代入彎曲曲線方程，求出撓度y、 DMCMQDC20400332);(213322dxydDQdxydDMdxdy、剪力、彎矩斜率

12、圓筒形殼體的彎曲下面是具體表達式：令：A1=e-x(cosx+sinx)；A2=e-xsinx A3=e-x(cosx-sinx)；A4=e-xcosx20302010102403401203024032043022422222AMAQQAQAMMAkQAkMADMADQAkMAkQADMADQy四個公式都具有振幅迅速遞減的衰減波特征，它的變化周期為正弦或余弦函數的1/，即等于2/，所以梁的撓度距離加載點半個周期/處，就已經非常小了，所以只要圓筒體長度大于2/（1個周期）就可以應用上面公式來計算它的撓度，斜率，彎矩和剪力。圓筒形殼體的彎曲撓度y及斜率在端點(即殼體聯接處)x=0處，取得最大值，

13、kQkMkMkQyyxx02030max0200max24)(22)(圓筒形殼體的彎曲撓度y及斜率在端點(即殼體聯接處)x=0處，取得最大值，xA1A2A3A4xA1A2A3A401.0000 0.0000 1.0000 1.0000 2.20.0244 0.0896 -0.1548 -0.0652 0.10.9907 0.0903 0.8100 0.9003 2.30.0080 0.0748 -0.1416 -0.0668 0.20.9651 0.1627 0.6398 0.8024 3/40.0000 0.0670 -0.1340 -0.0670 0.30.9267 0.2189 0.48

14、88 0.7077 2.4-0.0056 0.0613 -0.1282 -0.0669 0.40.8784 0.2610 0.3564 0.6174 2.5-0.0166 0.0491 -0.1149 -0.0658 0.50.8231 0.2908 0.2415 0.5323 2.6-0.0254 0.0383 -0.1019 -0.0636 0.60.7628 0.3099 0.1431 0.4530 2.7-0.0320 0.0287 -0.0895 -0.0608 0.70.6997 0.3199 0.0599 0.3798 2.8-0.0369 0.0204 -0.0777 -0.0

15、573 /40.6448 0.3224 0.0000 0.3224 2.9-0.0403 0.0132 -0.0666 -0.0534 0.80.6354 0.3223 -0.0093 0.3131 3.0-0.0423 0.0070 -0.0563 -0.0493 0.90.5712 0.3185 -0.0657 0.2527 3.1-0.0431 0.0019 -0.0469 -0.0450 1.00.5083 0.3096 -0.1108 0.1988 -0.0432 0.0000 -0.0432 -0.0432 1.10.4476 0.2967 -0.1457 0.1510 3.2-0

16、.0431 -0.0024 -0.0383 -0.0407 1.20.3899 0.2807 -0.1716 0.1091 3.4-0.0408 -0.0085 -0.0237 -0.0323 1.30.3355 0.2626 -0.1897 0.0729 3.6-0.0366 -0.0121 -0.0124 -0.0245 1.40.2849 0.2430 -0.2011 0.0419 3.8-0.0314 -0.0137 -0.0040 -0.0177 1.50.2384 0.2226 -0.2068 0.0158 5/4-0.0279 -0.0139 0.0000 -0.0139 /20

17、.2079 0.2079 -0.2079 0.0000 4.2-0.0204 -0.0131 0.0057 -0.0074 1.60.1959 0.2018 -0.2077 -0.0059 4.4-0.0155 -0.0117 0.0079 -0.0038 1.70.1576 0.1812 -0.2047 -0.0235 4.6-0.0111 -0.0100 0.0089 -0.0011 1.80.1234 0.1610 -0.1985 -0.0376 3/2-0.0090 -0.0090 0.0090 0.0000 1.90.0932 0.1415 -0.1899 -0.0484 7/40.

18、0000 -0.0029 0.0058 0.0029 2.00.0667 0.1231 -0.1794 -0.0563 20.0019 0.0000 0.0019 0.0019 2.10.0439 0.1057 -0.1675 -0.0618 9/40.0012 0.0006 0.0000 0.0006 現在求式中的值：我們曾經令 ，現以平板或殼壁的彎曲剛度 來代替梁的彎曲剛度EJ則得： ，其中k未知，求k：單位寬度的微條在距殼體聯接處為x處的半徑縮小量為，則該截面圓周的相對壓縮變形為2=/r，因此在此處產生的環向應力便為 則單位長度上的縱向微條的環向力為 ，由于縱向微條所對的圓周角=1/r，

19、所以環向力的徑向分力為 。這個微條的徑向分力P反抗微條產生撓度，而且它與撓度成比例地沿著微條的長度分布，它相當于彈性基礎梁上的基礎反力q，故得 44EJk)1 (1223EsD44DkryErEE2SryEN yrESrNP21yrESqky22rESk rsrsDk285. 13 . 0)1 (34424圓筒體與封頭聯接組成的容器的應力 M為x處的單位圓周長度的彎矩，每單位圓周長度的抗彎模量w=s2/6（上述公式也適用于封頭在聯接處附近的窄小區域。）211116)(sMbT曲應力由于彎曲產生的縱向彎222b226),()()()(sMrEycT增大取正縮小取負周向彎曲應力由于縱向彎曲而產生的

20、力而產生的壓縮或拉伸應殼體直徑被縮小或增大圓筒體與封頭聯接組成的容器應力計算的步驟第一步：把圓筒體與封頭看作是在聯接處分離開的獨立殼體；第二步：把圓筒體與封頭的有關系數如：、D以及由它們組成的公式中Q0及M0項的系數先計算出來。第三步：分別計算出圓筒體與封頭由于壓力的作用而產生的徑向形變及斜率(角轉移)。第四步：令在聯接處圓筒體的徑向總形變(包括由于壓力產生的和由彎矩M0及徑向剪力Q0引起的徑向形變)與封頭總形變相等，并令在聯接處圓筒體的總彎曲變形曲線的斜率與封頭的總彎曲斜率相等，并聯解這兩等式而求得M0及Q0;第五步：根據M0，Q0寫出距聯接處為X的殼體截面上的彎矩方程式第六步：寫出距聯接處

21、X的殼體截面上合成應力的方程式。第七步：求出最大的徑向合成應力和周向合成應力以及所在的位置，必要時應繪出應力變化曲線。2010AQAMM一般取圓筒體與半球形封頭具有相同的厚度s。圓筒體在內壓P作用下,經向應力: 周向應力: 周向相對形變亦即半徑的相對形變為:圓筒體的半徑增量為:(一)圓筒體與半球形封頭聯接sPR21sPR2)2(2122sEPREE)2(222sEPRR一般取圓筒體與半球形封頭具有相同的厚度s。半球形封頭經向和周向應力均為:半徑相對形變為:半球形封頭的半徑增量為:(一)圓筒體與半球形封頭聯接)1 (2122sEPREEsPR221)1 (222sEPRR在聯接處，圓筒體由于彎矩

22、M0及徑向剪力Q0而產生的撓度、斜率由公式得:半球封頭由于彎矩M0及徑向剪力Q0而產生的撓度、斜率，因為這種彎曲變形只局限在很短的一段筒節中，所以也可按求得，因為R，S與圓筒體相同，則也相同。則它的撓度和斜率應分別為：(一)圓筒體與半球形封頭聯接0203024002222)(MkQkAkMAkQyx020310240302424)(QkMkAkQAkMx020022)(MkQkyx0203024)(QkMkx在聯接處，筒體與封頭的總彎曲變形曲線的斜率必相等得： 所以 M0=0在聯接處圓筒體與封頭的徑向總形變必相等 得：(正值，說明假設方向是正確的)(一)圓筒體與半球形封頭聯接00)()(xx0

23、2022)1 (22)2(2QksEPRQksEPR8/8220PREsksEkPRQ020302032424QkMkQkMk00)()()(xxyy則在與聯接處距離為x的任意截面的撓度及彎矩按求得：求出圓筒體的經向合成應力: 經向合成應力的第二項彎曲應力與函數值A2=e-xsinx有關，A2 在x=/4取得最大值;周向合成應力與函數A2，A4之值有關，約在x=/2處有最大值。半球形封頭應力計算方法相同，但周向合成應力第一項應為球體薄膜應力，第二項取正值，因為徑向剪力使它的半徑增大。(一)圓筒體與半球形封頭聯接4230240422AEsPRAkMAkQy2220108APAQAMM222211

24、4326AsPsPRsMT22242224346AsPAsPRsPRsMyRET(一)圓筒體與半球形封頭聯接2222114326AsPsPRsMT22242224346AsPAsPRsPRsMyRETrsrsDk285. 13 . 0)1 (34424 A1=e-x(cosx+sinx)； A2=e-xsinx A3=e-x(cosx-sinx)； A4=e-xcosx例題 半球形封頭的鋼制圓筒型容器，半徑R1m，設計壓力p2MPa，封頭和筒體的壁厚S0.02m，計算圓筒體的合成應力并求出最大合成應力及所在位置。 例題 086. 902. 01285. 1285. 1RS22222221142.455056.8202. 042302. 02124326AAAsPsPRsMTxeAxsin24xmx086. 0086. 944解：， 2=82.56圓筒體的經向合成應力: 式中，由計算殼體不連續應力所用的函數表可查得，當時，A2取得最大值0.3224，故得最大經向合成應力為：（1T）max5