1、6.3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)定義定義6.2 設(shè)總體設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)的分布中含有未知參數(shù) ， nXXX,21是來自是來自X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，若對給定的若對給定的 ，存在統(tǒng)計(jì)量，存在統(tǒng)計(jì)量)10( ),(2122nXXX ),(2111nXXX 使得使得 121P則稱則稱隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間 是是 的置信度為的置信度為 的的置信區(qū)間置信區(qū)間，),(21 1 稱為稱為置信下限置信下限， 稱為稱為置信上限置信上限，1 2 稱為稱為置信度置信度或或置信系數(shù)置信系數(shù)。 1的的含含義義：)95.0(1121 P 固定，在固定，在100次抽樣中得到次抽樣中得到100個(gè)區(qū)間

2、個(gè)區(qū)間n100, 2 , 1),(21 kkk 約有約有95個(gè)包含了個(gè)包含了 。 )()(kk21 nxxx,21但但 對應(yīng)的一個(gè)確定區(qū)間對應(yīng)的一個(gè)確定區(qū)間 ),(),(212211nnxxxxxx 如（如（1000，1500），）， 不能理解為有不能理解為有95的把握包含的把握包含 ， 可理解為該區(qū)間是以置信度為可理解為該區(qū)間是以置信度為95求出來的。求出來的。注：注：2. 對給定的置信度對給定的置信度 ，希望找出，希望找出“較短較短”置信區(qū)間。置信區(qū)間。步驟：步驟： 1(1) 找一個(gè)樣本函數(shù)找一個(gè)樣本函數(shù) ，滿足：，滿足：);,(21 nXXXgw 含待估參數(shù)含待估參數(shù) 及有關(guān)的良好統(tǒng)計(jì)量

3、及有關(guān)的良好統(tǒng)計(jì)量(如如:無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量)； （2）對）對 ,查查 w分位點(diǎn)分位點(diǎn)a,b使使21 ,2 1bwaP2 2 解出解出 得得 121P 分布已知。分布已知。),(),(212211nnxxxxxx nxxx,21（3）對給定的）對給定的求出求出常用的樣本函數(shù)在第五章給出：常用的樣本函數(shù)在第五章給出：.,2TUtu 得置信區(qū)間得置信區(qū)間),(21 一、一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的一個(gè)樣本。的一個(gè)樣本。是是設(shè)總體設(shè)總體XXXXNXn,),(212 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) . 1的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)2. 2 已知已知2)1( 未知未知2)2( 已知已知

4、)1(未知未知 )2(由定理由定理5.4(P.127)知，知，)1 , 0(/NnXu 已知已知2)1( 1. 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 對對 查表可得查表可得 ，使得，使得 2 u 122uuuP2222/ unXunXunXu 即即 122unXunXP故故 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 1 22, unXunX)( X2 un雙側(cè)分位點(diǎn)雙側(cè)分位點(diǎn)例例1（P.146）某廠鐵水含炭量正常情況下）某廠鐵水含炭量正常情況下X ),(2 N現(xiàn)測得五爐鐵水的含炭量為：現(xiàn)測得五爐鐵水的含炭量為：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度為置信度為95的置信區(qū)間。的置

5、信區(qū)間。 （1）若已知）若已知 0.108 解解 因已知因已知 , 5,108. 0 n 所以取所以取隨機(jī)變量隨機(jī)變量)1 , 0(5/108. 0NXu 對對 ，查表得，查表得 使使 05. 0 96. 12 u查查表表）,975.0)(2 u(22 uuuP 由由95. 096. 196. 1 uP95.01)(22 u 96. 15108. 0,96. 15108. 0XX從而得從而得 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 由樣本值得由樣本值得,364. 4 x代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為： )459. 4,269. 4(95. 096. 15108. 096

6、. 15108. 0 XXP 364. 4（ ）095. 0續(xù)續(xù)若要求區(qū)間長度若要求區(qū)間長度 0.1，問，問 至少取多少？至少取多少？n21 . 096. 1108. 0 n由由, 9 .17 n解解 幾個(gè)常用分位點(diǎn)幾個(gè)常用分位點(diǎn),96. 105. 02 u.58. 201. 02 u,65. 11 . 02 u未知未知2)2( 1. 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 221Putu 即即故故 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1)1 , 0(/NnXu tS)1( nt對對 查表可得查表可得 ， 使得使得 2 u)1(2 nt 2 t2 t 122unXunXP2 t2 tSS 22, u

7、nXunX2 t2 tSS由定理由定理5.4(P.126)知，知，5.7( .128)PP.146例例(P.146-7)某廠鐵水含炭量在正常情況下某廠鐵水含炭量在正常情況下X ),(2 N現(xiàn)測得五爐鐵水的含炭量為：現(xiàn)測得五爐鐵水的含炭量為：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度為置信度為95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 （2）若）若 未知未知 解解 因因,5,n未知所以取所以取隨機(jī)變量隨機(jī)變量(4)/5tXtS對對 ，查表得，查表得 使使 05. 0 0.0252(1)(4)2.776tnt 2.7762.7760.95Pt 2.776,2.77655SSXX從而得從而得 的

8、置信區(qū)間的置信區(qū)間 由樣本值得由樣本值得4.364,0.054xs代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為： (4.297,4.431)2.7762.7760.9555SSP XX2. 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)未知未知 )2(2 由定理由定理5.6(P.128)知，知，)1()1(2222 nSn ，查得查得)1(,2)1(22222 nnP 對于對于 ，由，由 ).1(,21)1(2212212 nnP 查得查得 1222122(1)(1)1Pnn 使得 1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP即即故故 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間

9、為2 1 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)，可利用定理已知時(shí)，可利用定理5.7(P.128)求得置信區(qū)間求得置信區(qū)間 )()(121222nXnii 例例2 (P.148) 從某廠生產(chǎn)的鋼珠中隨機(jī)抽取從某廠生產(chǎn)的鋼珠中隨機(jī)抽取9個(gè)，測得個(gè)，測得它們的直徑（單位：毫米）為：它們的直徑（單位：毫米）為：15.2 15.0 14.8 15.1 14.8 15.1 14.7 14.9 15.0假設(shè)鋼珠的直徑服從正態(tài)分布假設(shè)鋼珠的直徑服從正態(tài)分布 ，),(2 N求求 的置信度為的置信度為90的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。2 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?未知，未知， 所以取隨機(jī)變量所以取隨

10、機(jī)變量 , 9 n)1()1(2222 nSn 228 S 8對對 , 1 . 0 222(8)0.05P由查表得,507.15)8()1(205. 022 n,733. 2)8()1(295. 0221 n查表得查表得由由95. 0)8(2212 P使得使得9 . 0507.15733. 22 P即即9 . 0733. 28507.158222 SSP 從而得置信區(qū)間從而得置信區(qū)間 733. 28,507.15822SS由樣本值計(jì)算得由樣本值計(jì)算得,028. 02 s代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為90 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2 )082. 0,014. 0(二、兩個(gè)正態(tài)總體二、

11、兩個(gè)正態(tài)總體均值差均值差與與方差比方差比的置信區(qū)間的置信區(qū)間對比兩個(gè)玉米品種的產(chǎn)量，兩個(gè)班的學(xué)習(xí)成績，通對比兩個(gè)玉米品種的產(chǎn)量，兩個(gè)班的學(xué)習(xí)成績，通常是比較平均值的差異，方差的差異，即求：常是比較平均值的差異，方差的差異，即求：,12211 P設(shè)兩個(gè)總體設(shè)兩個(gè)總體),(),(222211 NYNX樣本樣本 來自來自X,1,21nXXX2,21nYYY來自來自Y,兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，兩個(gè)樣本相互獨(dú)立， 樣本均值與樣本方差分別為樣本均值與樣本方差分別為2212,; ,( .129).X SY SP1. 總體均值差的區(qū)間估計(jì)總體均值差的區(qū)間估計(jì)由定理由定理5.9(P.130)知，知，2)1()1(21

12、222211 nnSnSnSw其中其中)2(11)()(212121 nntnnSYXTw 未知未知22221 對給定的對給定的 ，查得分位點(diǎn)，使得，查得分位點(diǎn)，使得 ,1)2(|212 nntTP由此可得由此可得 置信度為置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21 1 212122121211)2(,11)2(nnSnntYXnnSnntYXww 求得。求得。的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量已知時(shí)的置信區(qū)間，用已知時(shí)的置信區(qū)間，用當(dāng)當(dāng)UP 128.,2221 例例3（P.149) 某廠生產(chǎn)的甲、乙兩種香煙，獨(dú)立地抽某廠生產(chǎn)的甲、乙兩種香煙，獨(dú)立地抽取重量相同的兩個(gè)樣本，測得尼古丁含量（單位取重量相同的兩個(gè)樣

13、本，測得尼古丁含量（單位:mg):甲甲 24 25 23 30 28乙乙 30 24 27 31 27設(shè)甲、乙兩種尼古丁含量分別為設(shè)甲、乙兩種尼古丁含量分別為X與與Y, 且且).,(),(2221 NYNX求求 的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。21 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?22221 , 521 nn所以取隨機(jī)變量所以取隨機(jī)變量)8(5/ )()()(222121tSSYXT 306. 2)8(05. 0)8(|,05. 022查得查得由由對于對于 ttTP 95. 0306. 2| TP即即由此可得由此可得95. 05306. 25306. 22221212221 SSYXSSYXP

14、 置信區(qū)間置信區(qū)間 5306. 2,5306. 222212221SSYXSSYX由樣本值得：由樣本值得：7 . 7, 8 .27, 5 . 8,262221 sysx代入上式得代入上式得 的置信度為的置信度為95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：21 )357. 2,957. 5( 2. 總體方差比的區(qū)間估計(jì)總體方差比的區(qū)間估計(jì)未知，未知，設(shè)設(shè)21, 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。求求2221 由定理由定理5.8(P.129)知，知，)1, 1(/2122222121 nnFSSF 對于對于 ， )1, 1(212 nnFFP )1, 1(),1, 1(2121212 nnFnnF 查得查得222122

15、21 SS 使得使得,2)1, 1(2121 nnFFP 1 1)1, 1()1, 1(2122121nnFFnnFP即即從而得從而得22212221 SS 1)1, 1(/)1, 1(/2121222122212122221nnFSSnnFSSP )1, 1(/,)1, 1(/212122212122221nnFSSnnFSS 故故 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2221 當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)的置信區(qū)間見已知時(shí)的置信區(qū)間見P159表表6.1。21, 查表得查表得由由,05. 0)5 , 4(05. 0 FFP例例4 (P.151)設(shè)有兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)有兩個(gè)正態(tài)總體 ),(),(222211 NYNX今分別從

16、今分別從X與與Y中抽取容量中抽取容量 的兩個(gè)獨(dú)立樣本，的兩個(gè)獨(dú)立樣本，6, 521 nn其樣本方差分別為其樣本方差分別為.33. 4,37. 02221 ss求求 的置信度為的置信度為90的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。2221 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?未知，未知，21, , 6, 521 nn所以取隨機(jī)變量所以取隨機(jī)變量)5 , 4(/22222121FSSF , 1 . 0 對對,19. 5)5 , 4()1, 1(05. 0212 FnnF 16. 026. 61)5 , 4()1, 1(95. 02121 FnnF 得得)4 , 5(1)5 , 4(05. 095. 0FF及及,95. 0)5 , 4

17、(95. 0 FFP由由,26. 6)4 , 5(05. 0 F查得查得使得使得90. 019. 516. 0 FP90. 016. 0/19. 5/222122212221 SSSSP 即即從而得置信區(qū)間從而得置信區(qū)間 16. 0/,19. 5/22212221SSSS33. 4,37. 02221 ss將將代入上式代入上式,得得 置信度為置信度為90的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為: (0.016, 0.534).2221 6.4 大樣本下非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)大樣本下非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)對于非正態(tài)總體對于非正態(tài)總體 X, 設(shè)設(shè)),()(2已知已知，未知未知 DXEX求求 的置信區(qū)間。的置信

18、區(qū)間。 nXXX,21設(shè)設(shè) 是來自是來自X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，由定理由定理5.5(P.127) 知，當(dāng)知，當(dāng) 充分大時(shí)，充分大時(shí)，n)()1 , 0(/近似近似NnXu 于是可得于是可得 的置信度為的置信度為 的的近似置信區(qū)間近似置信區(qū)間 1 22, unXunX當(dāng)當(dāng) 未知時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 代替代替 。2 例例1（P.152）對某商場每天的顧客人數(shù)作了）對某商場每天的顧客人數(shù)作了60天的記天的記錄，其平均人數(shù)為錄，其平均人數(shù)為800人，標(biāo)準(zhǔn)差為人，標(biāo)準(zhǔn)差為60人。求每天顧人。求每天顧客平均人數(shù)的置信區(qū)間（置信度客平均人數(shù)的置信區(qū)間（置信度95）。）。解解 設(shè)設(shè)X

19、 為每天商場的顧客人數(shù)，為每天商場的顧客人數(shù)，, EX因樣本容量因樣本容量 ，可認(rèn)為是大樣本，可認(rèn)為是大樣本，60 n故有故有對對 ，查正態(tài)分布表得，查正態(tài)分布表得05. 0 ,96. 12 u使得使得故得故得 的置信度為的置信度為95的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間 95. 096. 196. 1 nSXnSXP )()1 , 0(/近似近似NnXu S,60,60,800 nsx因因（785，815）01分布中參數(shù)分布中參數(shù) p 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)1 , 0,)1(1 xppxXPxx總體總體X 的概率分布為的概率分布為其中其中p 是未知參數(shù)，求是未知參數(shù)，求 p 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。)

20、,1(,ppDXpEX 因因所以當(dāng)所以當(dāng) 充分大時(shí)有充分大時(shí)有n)()1 , 0(/近似近似NnXu p)1(pp 對給定的對給定的 ，有，有 1 1/ )1(|2unpppXP 1/ )1(|2unpppXP222)1()( upppXn 若二次方程若二次方程有兩個(gè)互異實(shí)根有兩個(gè)互異實(shí)根 和和1 p2 p則可得則可得 121pppP其中其中aacbbpaacbbp24,242221 ,22 una ),2(22 uXnb 2Xnc 故故 p 的置信度為的置信度為 近似置信區(qū)間為：近似置信區(qū)間為： 1),(21pp例例 P.153單側(cè)置信限單側(cè)置信限 (B.9)定義定義 設(shè)總體設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)的分布中含有未知參數(shù)