1、1、（25分）從赤道上的 C 點發射洲際導彈，使之精確地擊中北極點 N，要求發射所用的能量最少。假定地球是一質量均勻分布的半徑為 R 的球體，R6400 km。已知質量為 m 的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量 E 與橢圓半長軸 a 的關系為式中 M 為地球質量，G 為引力常量。1. 假定地球沒有自轉，求最小發射速度的大小和方向（用速度方向與地心 O 到發射點 C 的連線之間的夾角表示）。2.

2、60;若考慮地球的自轉，則最小發射速度的大小為多少？3. 試導出  。答案 可圈可點試題搜索沒有找不到得試題答案 1、參考解答：1. 這是一個大尺度運動，導彈發射后，在地球引力作用下，將沿橢圓軌道運動，如果導彈能打到 N 點，則此橢圓一定位于過地心 O、北極點 N 和赤道上的發射點 C 組成的平面（此平面是 C 點所在的子午面）內，因此導彈的發射速度（初速度 v ）必須也在此平面內，地心 O 是橢圓的一個焦點。根據對稱性，注意

3、到橢圓上的 C、N 兩點到焦點 O 的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過 O 點垂直 CN 的的直線，即圖上的直線 AB，橢圓的另一焦點必在 AB 上。已知質量為 m 的物體在質量為 M 的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構成的系統的能量 E（無窮遠作為引力勢能的零點）與橢圓半長軸 a 的關系為             （1）  &

4、#160;            要求發射的能量最少，即要求橢圓的半長軸 a 最短。根據橢圓的幾何性質可知，橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為 2a，現 C 點到一個焦點 O 的距離是定值，等于地球的半徑是 R，只要位于長軸上的另一焦點到 C 的距離最小，該橢圓的半長軸就最小。顯然，當另一焦點位于 C 到 AB 的垂線的垂足處時，C 到該焦點的距離必最小。由幾何關系可知 

5、         （2）設發射時導彈的速度為 v，則有       （3）解（1）、（2）、（3）式得                                     （4）因                 

6、                          （5）比較（4）、（5）兩式得                                       （6）代入有關數據得v7.2 km/s         &#

7、160;                                     （7）速度的方向在 C 點與橢圓軌道相切，根據解析幾何知識，從橢圓上一點的切線的垂直線，平分兩焦點到該點連線的夾角 OCP，從圖中可看出，速度方向與 OC 的夾角                &#

8、160;                 （8）2. 由于地球繞通過 ON 的軸自轉，在赤道上 C 點相對地心的速度為                                               

9、0;（9）式中 R 是地球的半徑，T 為地球自轉的周期，T24×3600 s86400 s，故                                            （10）C 點速度的方向垂直于子午面（圖中紙面）。位于赤道上 C 點的導彈發射前也有與子午面垂直的速度 vC

10、，為使導彈相對于地心速度位于子午面內，且滿足（7）、（8）兩式的要求，導彈相當于地面（ C 點）的發射速度應有一大小等于 vC，方向與 vC 相反的分速度，以使導彈在此方向相當于地心的速度為零，導彈的速度的大小為                                             （11）代入有關數

11、據得v7.4 km/s                                                （12）它在赤道面內的分速度與 vC 相反，它在子午面內的分速度滿足（7）、（8）兩式。3. 質量為 m 的質點在地球引力作用下的運動服從機械能守恒定律和開普勒定律，故對于近地點和遠地點有下列

12、關系式                              （13）                                               （14）式中 v1、v

13、2 分別為物體在遠地點和近地點的速度，r1、r2 為遠地點和近地點到地心的距離。將（14）式中的 v1 代入（13）式，經整理得                                （15）注意到r1r22a                        &#

14、160;                           （16）得                                             （17）因