1、2015-2016學年廣東省揭陽三中高三（上）第四次月考數學試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1（5分）等差數列an的前n項和為Sn若a2=1，a3=3，則S4=（）A12B10C8D62（5分）下列函數中，既是偶函數又在（0，+）上單調遞增的函數是（）Ay=x3By=|x+1|Cy=x2Dy=|x|+13（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么k的值為（）A1B2C3D44（5分）設函數f（x）=，則ff（4）=（）A2B4C8D165（5分）函數是（）A周期為的奇函數B周期為的偶函數C周期為2的奇函數D周期為2的偶函數6（5分）已知tan=

2、，則cos2的值為（）ABCD7（5分）設向量，均為單位向量，且|+|=1，則與夾角為（）ABCD8（5分）函數y=cos2xsin2x 的一條對稱軸為（）Ax=Bx=Cx=Dx=9（5分）若函數f（x）=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數f（x）的圖象是（）ABCD10（5分）已知函數f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（）ABCD11（5分）函數f（x）的定義域為開區間（a，b），導函數f（x）在（a，b）內的圖象如圖所示，則函數f（x）在開區間（a，b）內有極小值點的個數為（）A1B2C3D412（5分）設函數y=f（x）的圖象與y=2x+a的

3、圖象關于y=x對稱，且f（2）+f（4）=1，則a=（）A1B1C2D4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13（5分）已知，若，則k=14（5分）函數y=x+2cosx在區間上的最大值是15（5分）已知tan（+）=，tan=，則tan（+）的值為16（5分）下列四種說法：命題“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”；設p、q是簡單命題，若“pq”為假命題，則“¬p¬q”為真命題；若p是q的充分不必要條件，則¬p是¬q的必要不充分條件；把函數y=sin（2x）（xR）的圖象上所有的點向右平移個單位即可得到函數（xR）的

4、圖象其中所有正確說法的序號是三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）已知an為等差數列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）求an的通項公式（）記an的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數列，求正整數k的值18（12分）已知：ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且，求c邊的長19（12分）有編號為D1，D2，D10的10個零件，測量其直徑（單位：mm），得到下面數據：其中直徑在區間（148，152內的零件為一等品編號D1D2D3D4D5D6D7D8D9D

5、10直徑151148149151149152147146153148（1）從上述10個零件中，隨機抽取2個，求這2個零件均為一等品的概率；（2）從一等品零件中，隨機抽取2個用表示這2個零件直徑之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望20（12分）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知A=45°，C=90°，ADC=105°，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點（1）求證：DC平面ABC；（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦21（12分）如圖在直角坐標系xOy中，

6、過動點P的直線與直線l：x=1垂直，垂足為Q，點F（1，0）滿足（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）證明：以線段PF為直徑的圓與y軸相切22（12分）設a0，函數f（x）=x22ax2alnx（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；（2）若函數y=f（x）在區間（0，+）上有唯一零點，試求a的值2015-2016學年廣東省揭陽三中高三（上）第四次月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1（5分）（2007安徽）等差數列an的前n項和為Sn若a2=1，a3=3，則S4=（）A12B10C8D6【分析】由等差數列的前n項和得到，求前四項的和要用

7、第一項和第四項的和，根據等差數列的性質第一項和第四項的和等于第二項與第三項的和，得到結果【解答】解：由等差數列的性質可得：a1+a4=a2+a3，a2=1，a3=3，s4=2（1+3）=8故選C【點評】若已知等差數列的兩項，則等差數列的所有量都可以求出，只要簡單數字運算時不出錯，問題可解2（5分）（2014秋天津校級期末）下列函數中，既是偶函數又在（0，+）上單調遞增的函數是（）Ay=x3By=|x+1|Cy=x2Dy=|x|+1【分析】根據偶函數的定義，奇函數的定義，以及二次函數和一次函數的單調性即可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項【解答】解：Ay=x3是奇函數，不是偶函數，該選項錯誤；

8、Bx=1時，y=0，x=1時，y=2，y=|x+1|不是偶函數，該選項錯誤；Cy=x2在（0，+）單調遞減，該選項錯誤；Dy=|x|+1為偶函數，且x0時，y=|x|+1=x+1為增函數；即y=|x|+1在（0，+）上單調遞增，該選項正確故選D【點評】考查奇函數和偶函數的定義，以及二次函數和一次函數的單調性3（5分）（2014香洲區校級模擬）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么k的值為（）A1B2C3D4【分析】由向量的坐標加法運算求得+的坐標，然后直接利用向量共線的坐標表示列式求解k的值【解答】解：=（1，k），=（2，2），+=（3，k+2），又+與共線，1×（k

9、+2）3k=0，解得：k=1故選：A【點評】平行問題是一個重要的知識點，在高考題中常常出現，常與向量的模、向量的坐標表示等聯系在一起，要特別注意垂直與平行的區別若=（a1，a2），=（b1，b2），則a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基礎題4（5分）（2014香洲區校級模擬）設函數f（x）=，則ff（4）=（）A2B4C8D16【分析】本題可以根據不同的條件選擇不同的解析式進行求值，得到本題結論【解答】解：函數f（x）=，f（4）=1log24=12=1，ff（4）=f（1）=21（1）=22=4故選B【點評】本題考查的是分段函數的函數值求法，本題難度不大，屬于基礎題5（5分）（

10、2015中山二模）函數是（）A周期為的奇函數B周期為的偶函數C周期為2的奇函數D周期為2的偶函數【分析】利用誘導公式化簡函數，然后直接求出周期，和奇偶性，確定選項【解答】解：因為：=2cos2x，所以函數是偶函數，周期為：故選B【點評】本題考查三角函數的周期性及其求法，正弦函數的奇偶性，考查計算能力，是基礎題6（5分）（2014香洲區校級模擬）已知tan=，則cos2的值為（）ABCD【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2=cos2sin2，進而利用同角三角基本關系，使其除以sin2+cos2，分子分母同時除以cos2a，轉化成正切，然后把tan的值代入即可【解答】解：cos2=cos2s

11、in2=故選：D【點評】本題主要考查了同角三角函數的基本關系和二倍角的余弦函數的公式解題的關鍵是利用同角三角函數中的平方關系，完成了弦切的互化7（5分）（2015呼倫貝爾一模）設向量，均為單位向量，且|+|=1，則與夾角為（）ABCD【分析】設與的夾角為，將已知等式平方，結合向量模的含義和單位向量長度為1，化簡整理可得=，再結合向量數量積的定義和夾角的范圍，可得夾角的值【解答】解：設與的夾角為，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均為單位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根據向量數量積的定義，得|cos=cos=，結合0，得=故選C【點評】本題已知兩個單

12、位向量和的長度等于1，求它們的夾角，考查了得數量積的定義、單位向量概念和向量的夾角公式等知識，屬于基礎題8（5分）（2015秋揭陽月考）函數y=cos2xsin2x 的一條對稱軸為（）Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】化簡可得y=cos（2x+）令2x+=k可得x=，kZ，結合選項給k取值可得答案【解答】解：化簡可得y=cos2xsin2x =（cos2xsin2x ）=（coscos2xsinsin2x ）=cos（2x+）令2x+=k可得x=，kZ，結合選項可知當k=0時，函數的一條對稱軸為x=故選：C【點評】本題考查兩角和與差的三角函數，涉及三角函數的對稱性，屬基礎題9（5分）（2014秋

13、貞豐縣期末）若函數f（x）=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數f（x）的圖象是（）ABCD【分析】先根據二次函數的判斷出a，b的符號，再求導，根據一次函數的性質判斷所經過的象限即可【解答】解：函數f（x）=ax2+bx+c的圖象開口向上且頂點在第四象限，a0，0，b0，f（x）=2ax+b，函數f（x）的圖象經過一，三，四象限，A符合，故選A【點評】本題考查了導數的運算和一次函數，二次函數的圖象和性質，屬于基礎題10（5分）（2010吳川市模擬）已知函數f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（）ABCD【分析】由f（x）的解析式求出導函數，導函數為開口

14、向下的拋物線，因為函數在R上為單調函數，所以導函數與x軸沒有交點或只有一個交點，即小于等于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍【解答】解：由f（x）=x3+ax2x1，得到f（x）=3x2+2ax1，因為函數在（，+）上是單調函數，所以f（x）=3x2+2ax10在（，+）恒成立，則=，所以實數a的取值范圍是：，故選B【點評】此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題11（5分）（2006天津）函數f（x）的定義域為開區間（a，b），導函數f（x）在（a，b）內的圖象如圖所示，則函數f（x）在開區間（a，b）內有極小值

15、點的個數為（）A1B2C3D4【分析】根據當f'（x）0時函數f（x）單調遞增，f'（x）0時f（x）單調遞減，可從f（x）的圖象可知f（x）在（a，b）內從左到右的單調性依次為增減增減，然后得到答案【解答】解：從f（x）的圖象可知f（x）在（a，b）內從左到右的單調性依次為增減增減，根據極值點的定義可知在（a，b）內只有一個極小值點故選：A【點評】本題主要考查函數的極值點和導數正負的關系屬基礎題12（5分）（2015新課標）設函數y=f（x）的圖象與y=2x+a的圖象關于y=x對稱，且f（2）+f（4）=1，則a=（）A1B1C2D4【分析】先求出與y=2x+a的反函數的解析

16、式，再由題意f（x）的圖象與y=2x+a的反函數的圖象關于原點對稱，繼而求出函數f（x）的解析式，問題得以解決【解答】解：與y=2x+a的圖象關于y=x對稱的圖象是y=2x+a的反函數，y=log2xa（x0），即g（x）=log2xa，（x0）函數y=f（x）的圖象與y=2x+a的圖象關于y=x對稱，f（x）=g（x）=log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）=1，log22+alog24+a=1，解得，a=2，方法二：故選：C【點評】本題考查反函數的概念、互為反函數的函數圖象的關系、求反函數的方法等相關知識和方法，屬于基礎題二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13（5分）

17、（2009秋揚州期末）已知，若，則k=6【分析】先根據向量的線性運算可求得與，再由可得到（2+2k）×（1）=7（4k），進而可求得k的值【解答】解：=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）=2（2，1）（k，3）=（4k，1）（2+2k）×（1）=7（4k），k=6故答案為6【點評】本題主要考查向量的線性運算和向量平行的坐標運算考查基礎知識的綜合應用和靈活能力考查對向量的掌握程度和計算能力14（5分）（2012吳中區校級模擬）函數y=x+2cosx在區間上的最大值是【分析】對函數y=x+2cosx進行求導，研究函數在區間上的極值，本題極大值就是最大值【解答】解：y=x

18、+2cosx，y=12sinx令y=0而x則x=，當x0，時，y0當x，時，y0所以當x=時取極大值，也是最大值；故答案為【點評】本題考查了利用導數求閉區間上函數的最大值問題，屬于導數的基礎題15（5分）（2014香洲區校級模擬）已知tan（+）=，tan=，則tan（+）的值為【分析】利用兩角和與差的正切函數，結合已知條件求出tan，然后求解tan【解答】解：tan（+）=，tan=，tan（+）=，解得tan=，tan（+）=故答案為：【點評】本題考查兩角和與差的三角函數，正切函數公式的應用，考查計算能力16（5分）（2014香洲區校級模擬）下列四種說法：命題“xR，使得x2+13x”的否

19、定是“xR，都有x2+13x”；設p、q是簡單命題，若“pq”為假命題，則“¬p¬q”為真命題；若p是q的充分不必要條件，則¬p是¬q的必要不充分條件；把函數y=sin（2x）（xR）的圖象上所有的點向右平移個單位即可得到函數（xR）的圖象其中所有正確說法的序號是【分析】利用命題的否定判斷的正誤；復合命題的真假判斷的正誤；充要條件判斷的正誤；三角函數圖象的平移判斷的正誤；【解答】解：對于，命題“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”；滿足命題的否定形式，所以正確對于，設p、q是簡單命題，若“pq”為假命題，說明兩個命題都是假命題，命題

20、的否定是真命題，則“¬p¬q”為真命題；所以正確對于，若p是q的充分不必要條件，則¬p是¬q的必要不充分條件；滿足充要條件的關系，所以正確；對于，把函數y=sin（2x）（xR）的圖象上所有的點向右平移個單位即可得到函數（xR）的圖象符號平移原則，所以正確；故答案為：【點評】本題考查命題的子啊的判斷，特稱命題與全稱命題的否定關系，充要條件以及復合命題的真假，三角函數圖象的平移，基本知識的考查三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）（2012重慶）已知an為等差數列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）

21、求an的通項公式（）記an的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數列，求正整數k的值【分析】（）設等差數列an的公差等于d，則由題意可得，解得 a1=2，d=2，從而得到an的通項公式（） 由（）可得 an的前n項和為Sn =n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整數k的值【解答】解：（）設等差數列an的公差等于d，則由題意可得，解得 a1=2，d=2an的通項公式 an =2+（n1）2=2n（） 由（）可得 an的前n項和為Sn =n（n+1）若a1，ak，Sk+2成等比數列，=a1 Sk+2 ，4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=1（舍去），故 k=6【點評】本

22、題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式，屬于中檔題18（12分）（2009秋揭陽期末）已知：ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且，求c邊的長【分析】（1）利用兩角和公式和誘導公式整理題設等式求得sin（A+B）=sin2C，進而整理求得cosC的值，進而求得C（2）利用sinA，sinC，sinB成等差數列求得三者的關系式，利用正弦定理轉化成邊的關系式，利用求得ab的值，進而分別代入余弦定理求得c【解答】解：（1）由cos（A）cosB+sinBsin（+A）=sin（2C）得sinAcosB+sinB

23、cosA=sin2Csin（A+B）=sin2C，A+B=C，sin（A+B）sinCsinC=sin2C=2sinCcosC，0CsinC0cosC=C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差數列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b22abcosC=（a+b）23ab，c2=4c23×36，c2=36，c=6【點評】本題主要考查了解三角形問題，三角函數恒等變換及化簡求值考查了考生分析問題的能力和基本的運算能力19（12分）（2015秋揭陽月考）有編號為D1，D2，D10的10個零件，測量其直徑（

24、單位：mm），得到下面數據：其中直徑在區間（148，152內的零件為一等品編號D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10直徑151148149151149152147146153148（1）從上述10個零件中，隨機抽取2個，求這2個零件均為一等品的概率；（2）從一等品零件中，隨機抽取2個用表示這2個零件直徑之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望【分析】（1）由所給數據可知，10個零件中一等品零件共有5個從上述10個零件中，隨機抽取2個，基本事件總數n=，2個零件均為一等品包含的基本事件個數m=，由此能求出這2個零件均為一等品的概率（2）的可能取值為：0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此

25、能求出的分布列和數學期望E【解答】（本題滿分12分）解：（1）由所給數據可知，10個零件中一等品零件共有5個（1分）設“從上述10個零件中，隨機抽取2個，2個零件均為一等品”為事件A，則（4分）（2）的可能取值為：0，1，2，3，（5分）且，（9分）的分布列為：0123P（）數學期望E=（12分）【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查整體思想、轉化化歸思想，考查數據處理能力和運用意識，是中檔題20（12分）（2010揭陽學業考試）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知A=45°，C=90°，ADC=105&

26、#176;，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點（1）求證：DC平面ABC；（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦【分析】（1）根據題設中的條件，用線面垂直的判定定理證明DC平面ABC；（2）點E、F分別為棱AC、AD的中點可得出EFCD，由（1）知，EF平面ABC，由此證得FBE即為所求線面角，正弦值易求；解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸，BA所在直線為Z軸建立如圖的空間直角坐標系，給出有關各點的坐標，由題設條件求出線段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出線面角的正

27、弦；（3）由題意可證得AEB為二面角BEFA的平面角，在直角三角形中求出AEB，【解答】解：（1）證明：在圖甲中AB=BD且A=45°ADB=45°，ABD=90°即ABBD（2分）在圖乙中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC=BDAB底面BDC，ABCD（4分）又DCB=90°，DCBC，且ABBC=BDC平面ABC（5分）（2）解法1：E、F分別為AC、AD的中點EFCD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足為點EFBE是BF與平面ABC所成的角（7分）在圖甲中，ADC=105°，BDC=60°，DBC=3

28、0°設CD=a則， （9分）在RtFEB中，即BF與平面ABC所成角的正弦值為（10分）解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，設CD=a，則BD=AB=2a，（6分）可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），F（a，0，a），（8分）設BF與平面ABC所成的角為由（1）知DC平面ABC（10分）（3）由（2）知FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，FEBE，FEAE，AEB為二面角BEFA的平面角（12分）在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦為（14分）（其他解法請參照給分）【點評】本題考查二面角的平面角的求法

29、，解答本題，關鍵是掌握求二面角的方法，即作出平面角，證明平面角，再求平面角，尤其是中間一步證明平面角易漏掉，做題時要注意，本題涉及到了線面角的求法，線面垂直的證明，涉及到的知識點較多，對推理論證能力要求較高21（12分）（2015秋揭陽月考）如圖在直角坐標系xOy中，過動點P的直線與直線l：x=1垂直，垂足為Q，點F（1，0）滿足（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）證明：以線段PF為直徑的圓與y軸相切【分析】（1）設P（x，y），則Q（1，y），通過向量的數量積求出動點P的軌跡C的方程；（2）根據題意，利用拋物線的定義與線段中點的坐標公式，算出PF中點到y軸的距離等于PF長的一半，即可得出以PF為直徑的圓與y軸相切【解答】（1）解：設P（x，y），則Q（1，y），F（1，0），（x+1，0）（2，y）=（x1，y）（2，y），（2分）2（x+1）=2（x1）+y2，y2=4x，即動點P的軌跡C的方程為y2=4x；（5分）（2）證明：根據題意，可得拋物線y2=2px的焦點為F（1，0），設P（m，n），PF的中點為A（x1，y1），可得