1、1第四章 扭轉4-1 工程實際中的受扭桿4-2 受扭桿的內力扭矩 扭矩圖4-3 薄壁圓筒的扭轉4-4 圓軸扭轉時的應力與應變4-5 圓軸扭轉時的應力狀態分析4-6 圓軸扭轉時的破壞現象4-7 圓軸扭轉時的強度與剛度計算*4-8 非圓截面桿在扭轉時的應力與變形24-1 工程實際中的受扭桿變形特點： . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉動； . 桿表面的縱向線變成螺旋線； . 實際構件在工作時除發生扭轉變形外， 還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。受力特點： 一對轉向相反、作用在垂直于桿軸線的兩個平面內的外力偶。mm圓軸扭轉變形3工程實例：如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿、鉗工用雙手轉動絲錐攻螺紋時的絲錐桿

2、、汽車方向盤下的軸等。4生活中的受扭桿件5工程中的受扭桿件678 本章研究桿件發生除扭轉變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內工作的情況。n主動輪從動輪葉片主軸Me94-2 外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖. 傳動軸的外力偶矩 作用在軸上的外力偶之矩通常不是直接給出的，往往要由軸所傳遞的功率和軸的轉速來計算。 如上圖，設動力經主動輪輸入、然后由從動輪輸出。若已知軸的轉速為n(r/min),主動輪的輸入功率為 （Kw) 則在t秒內輸入的功為 。)(mkNtNWkkN10602tnmtNk 260nNmk 輸入的功由

3、帶輪以力偶（其矩為m ）的形式作用于軸上。外力偶m在t秒鐘所作的功，應等于帶輪輸給軸的功，即由此求出計算外力偶矩m 的公式為其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉速，轉/分（r/min）)(55. 9 mkNnNk11 主動輪上的外力偶其轉向與傳動軸的轉動方向相同，而從動輪上的外力偶則轉向與傳動軸的轉動方向相反。第四章 扭轉12. 扭矩及扭矩圖 傳動軸橫截面上的扭矩Mn 可利用截面法來計算。第四章 扭轉mMn13 扭矩的正負可按右手螺旋法則確定：扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負。第四章 扭轉)(nM)(nM14例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 NK1=500kW，從動輪

4、輸出 NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200kW，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.55N55. 9K11nmm)(kN 78.43001509.5555.9232nNmmKm)(kN 37. 63002009.55N55. 9K44nm15nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向設）mkN78. 4 0M , 022n1mMmmnxmkN56. 9)78. 478. 4( , 0322322mmMmmMnnmkN37. 6 , 0M 434n3mMmn16繪制扭矩圖mkN 56

5、. 9maxnMBC段為危險截面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.56x4.786.37nM)(mkN 扭矩圖簡潔畫法扭矩圖簡潔畫法17mADABCmBmCmD351 Nm702 Nm468 NmnM作內力圖要求：作內力圖要求：1 . 正確畫出內力沿桿軸分布規律182 .標明特殊截面的內力數值4 . 注明單位3 . 標明正負號mADABCmBmCmD351 Nm702 Nm468 NmnM19薄壁圓筒：壁厚0101r（r0：為平均半徑）1、變形現象的觀察實驗前：繪縱向線，圓周線；4-3 薄壁圓筒的扭轉施加一對外力偶 m。薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉2021實驗后：圓周線不變；縱向線變

6、成斜直線。結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。2 2、橫截面上的應力、橫截面上的應力22 方向：對軸線的矩與扭矩一致。 垂直于計算點所在半徑；假設 沿壁厚均勻分布mnM23nAMrA0d由薄壁圓筒橫截面上剪應力的計算公式：AnArMd0AnMArd0 ， 于是有mmmxr0 dA20002)2(rMrrMnn根據應力分布可知243、剪應力互等定理： 0zm上式稱為剪應力互等定理。dxABCDdyz該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現，且數值相等，方向共同指

7、向或共同背離兩平面的交線。dydx )( 故dxdy )(25 單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。dxABCDdy264、剪切虎克定律： acddxbdy27)( ) 2( 00nrLtAM 剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（p)，剪應力與剪應變成正比關系。)( pGmMn28 式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下列關系 可見，在三個彈性

8、常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1 ( 2EG29)(s思考題：圖示薄壁圓筒，其截面厚度 ，求橫截面上的剪應力。)(stt 作業：4-7304-4 等直圓桿扭轉時的應力強度條件. 橫截面上的應力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應變的變化規律橫截面上應力變化規律應力-應變關系(問題的物理方面)內力與應力的關系橫截面上應力的計算公式(問題的靜力學方面)31321. 表面變形情況：(a) 相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b) 縱向線傾斜了一個角度g 。平面假設等直圓桿受扭轉時橫截面如同剛性平面繞桿的軸

9、線轉動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有剪應力，且垂直于半徑。(1) 幾何方面332. 橫截面上一點處的切應變隨點的位置的變化規律：即xdd34xdd 式中 相對扭轉角 沿桿長的變化率，常用 （或u）來表示，對于給定的橫截面為常量。xdd 可見，在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的剪應變 均相同； 與 成正比，且發生在與半徑垂直的平面內。第四章 扭轉35xGGdd(2)物理方面由剪切胡克定律 G 知 可見，在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的剪應力 均相同，其值 與 成正比，其方向垂直于半徑。36ppIMGIMGnn(3) 靜力學方面其中 稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是

10、橫截面的幾何性質。AAd2 dnAMA從而得等直圓桿在線彈性范圍內扭轉時，橫截面上任一點處剪應力計算公式pddGIMxnAAId2p以 代入上式得：nAMAxGddd 2即37pppmaxWMrIMIrMnnnpIMnnMmaxmaxd式中Wp稱為抗扭截面模量，其單位為 m3。橫截面周邊上各點處( r)的最大剪應力為nMmaxmaxdD38實心圓截面：32d24203dd圓截面的極慣性矩Ip和抗扭截面模量Wp162/3ppddIWAAId2p39思考：對于空心圓截面， ,其原因是什么？(33p116DW空心圓截面：(DdDdDAIDdA其中44442232p13232 d2d(4344pp11

11、6162/DDdDDIW40 例題4-2 實心圓截面軸(圖a)和空心圓截面軸(圖b) （ ）除橫截面不同外，其它均相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大剪應力相等的情況下，D2與d1之比以及兩軸的重量比。8 . 0/22Dd4131e1pe1p1max, 116dMWMWMn(432e2pe2p2max, 2116DMWMWMn解：(4322p311p116,16DWdW194. 18 . 0113412dD由1,max=2,max，并將 0.8代入得42兩軸的重量比即為其橫截面面積之比：(512. 08 . 01194. 1144222122221222212dDddDAA空心圓軸的自重比實心圓軸

12、輕。實際應用中，尚需考慮加工等因素。43. 強度條件max此處為材料的許用剪應力。對于等直圓軸亦即pmaxWMn 鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉時雖沿斜截面因拉伸而發生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應力與橫截面上的剪應力有固定關系，故仍可以剪應力和許用剪應力來表達強度條件。低碳鋼扭轉試驗開始44低碳鋼扭轉試驗結束低碳鋼扭轉破壞斷口 45鑄鐵扭轉破壞試驗過程46鑄鐵扭轉破壞斷口47 例題4-3 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm。扭轉力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用剪應力 80 MPa。試校核該軸的強度。48

13、BC段內(MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WMnAB段內(MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WMn解：1. 繪扭矩圖 2. 求每段軸的橫截面上的最大剪應力493. 校核強度 需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應力集中現象，在以上計算中對此并未考核。 2,max 1,max，但有2,max = 80MPa，故該軸滿足強度條件。504-5 等直圓桿扭轉時的變形剛度條件. 扭轉時的變形 等直圓桿的扭轉變形可用兩個橫截面的相對扭轉角(相對角位移) 來度量。MeADB CMe51 當

14、等直圓桿相距 l 的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時有pGIlMn 由前已得到的扭轉角沿桿長的變化率(亦稱單位長度扭轉角)為 可知，桿的相距 l 的兩橫截面之間的相對扭轉角為pddGIMxnlnlxGIM0pdd52解： 1. 各段軸的橫截面上的扭矩：mN637M ,mN95521nnM 例題4-4 圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，鋼的切變模量G = 80 GPa。試求橫截面C相對于B的扭轉角CB(這里相對扭轉角的下角標的注法與書上不同，以

15、下亦如此)。53(rad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2GIlMACnCA3. 橫截面C相對于B的扭轉角：(rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1333CAABCB(rad1052. 1m107032Pa1080m10300mN95534393P1GIlMABnAB2. 各段軸的兩個端面間的相對扭轉角：54. 剛度條件式中的許可單位長度扭轉角的常用單位是()/m。此時，等直圓桿在扭轉時的剛度條件表示為：對于精密機器的軸0.150.30 ()/m；對于一般的傳動軸2 ()/m。max180pmaxGIMn55解: 1. 按強度條件

16、求所需外直徑D(有由因 ,161516116pmaxmax343pWMDDWnm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33nMD 例題4-5 由45號 鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑之比 = 0.5 。已知材料的許用剪應力 = 40 MPa，切變模量G= 80 GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Mnmax = 9.56 kNm，軸的許可單位長度扭轉角=0.3 ()/m。試選擇軸的直徑。562. 按剛度條件求所需外直徑D(有由因180 ,161532132pmax444pGIMDDInm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN

17、1056. 9321180161532393max44GMDnmm75.62d3. 空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度條件控制)，內直徑則根據 = d/D = 0.5知57思考： 從圖a所示受扭圓桿中取出的分離體如圖b所示。根據橫截面上剪應力沿直徑CD的分布規律，由剪應力互等定理可知徑向截面ABCD上沿圓軸的半徑方向亦有如圖所示分布的剪應力。試問此徑向截面上剪應力所構成的合力偶矩是與什么力偶矩平衡的？58作業：4-8,4-9,4-16594-7 等直非圓桿自由扭轉時的應力和變形. 等直非圓形截面桿扭轉時的變形特點 橫截面不再保持為平面而發生翹曲。平面假設不再成立。 自由扭轉(純

18、扭轉)等直桿，兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有剪應力而無正應力。60 約束扭轉非等直桿，或非兩端受外力偶作用，或端面不能自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度不同，橫截面上除剪應力外還有附加的正應力。第四章 扭轉61. 矩形截面桿自由扭轉時的彈性力學解一般矩形截面等直桿狹長矩形截面等直桿62(1) 一般矩形截面等直桿橫截面上的最大剪應力在長邊中點處：Wt扭轉截面系數，Wt=bb3，b 為與m=h/b相關的因數(表3-1)。tmaxWMn橫截面上短邊中點處的剪應力： nmaxn 為與m=h/b相關的因數(表3-1)。單位長度扭轉角： It相當極慣性矩， , 為與m = h/b 相關的因數(表3-1)。tGIMn4tbI表4-1 矩形截面桿在自由扭轉時的因數，b 和 nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 bn