1、第第3章章 圖形變換圖形變換第第3章章 圖形變換圖形變換n3.1 二維圖形基本幾何變換二維圖形基本幾何變換 n3.2 二維圖形復合變換二維圖形復合變換n3.3 三維圖形幾何變換三維圖形幾何變換n3.4 三維圖形投影變換三維圖形投影變換3.1 二維圖形基本幾何變換二維圖形基本幾何變換n在計算機繪圖應用中，經常要實現從一個幾何圖形到另一在計算機繪圖應用中，經常要實現從一個幾何圖形到另一個幾何圖形的變換。例如，將圖沿某一方向平移一段距離，個幾何圖形的變換。例如，將圖沿某一方向平移一段距離，將圖形旋轉一定的角度，或將圖形放大，把圖形縮小等等。將圖形旋轉一定的角度，或將圖形放大，把圖形縮小等等。這些圖形

2、變換的效果雖然各不相同，本質上卻都是依照一這些圖形變換的效果雖然各不相同，本質上卻都是依照一定的規則，將一個幾何圖形的點都變為另一個幾何圖形的定的規則，將一個幾何圖形的點都變為另一個幾何圖形的確定的點，這種變換過程稱為幾何變換。二維圖形的幾何確定的點，這種變換過程稱為幾何變換。二維圖形的幾何變換顧名思義就是對平面圖形的幾何變換，是指不改變圖變換顧名思義就是對平面圖形的幾何變換，是指不改變圖形拓撲信息，只改變組成形體的幾何元素的幾何信息（大形拓撲信息，只改變組成形體的幾何元素的幾何信息（大小、形狀及相對位置）的變換。小、形狀及相對位置）的變換。n基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變

3、基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換，有相對于坐標原點的平移、比例、旋轉變換和相對于換，有相對于坐標原點的平移、比例、旋轉變換和相對于坐標軸的對稱和錯切變換。坐標軸的對稱和錯切變換。3.1 二維圖形基本幾何變換二維圖形基本幾何變換n1、平移變換、平移變換（1）定義：圖形上的任意一點（）定義：圖形上的任意一點（x，y）沿）沿X軸和軸和Y軸軸方向分別平移方向分別平移m和和n后成為新圖形上的一點（后成為新圖形上的一點（x ，y ）。）。顯然：顯然：x =x+m y =y+n m，n的值可以是正數也可以是的值可以是正數也可以是負數負數1、平移變換、平移變換（2）變換矩陣）變換矩陣 （x

4、 y 1）=（x y 1） =(x+Tx y+Ty 1) 稱為平移變換矩陣稱為平移變換矩陣1000101TxTy1000101Tmn （3）齊次坐標：用）齊次坐標：用n+1維向量表示維向量表示n維向量。維向量。例如：二維坐標點例如：二維坐標點P(x, y)的齊次坐標為：的齊次坐標為： (hx, hy , h)其中，其中，h是任一不為是任一不為0的比例系數。的比例系數。1、平移變換、平移變換（4）例題：已知）例題：已知 ABC各頂點坐標分別為：各頂點坐標分別為：A(5,10), B(10,10), C(8,15), 求該三角形沿求該三角形沿x軸方向平移軸方向平移5，y方向平方向平移移-3后的后的

5、 A B C 。5101101018151100010531 1071157113121解：解： * =因此：因此：A(10,7) B(15,7) C(13,12)（5）特點：平移變換只改變圖形位置，不改變圖形大小和方向）特點：平移變換只改變圖形位置，不改變圖形大小和方向2、比例變換、比例變換（1）基本的比例變換是指圖形相對于坐標原點，按比例系）基本的比例變換是指圖形相對于坐標原點，按比例系數數(Sx, Sy)放大或縮小的變換。放大或縮小的變換。 顯然顯然x=x*Sx y=y*Sy比例變換矩陣比例變換矩陣 0000001SxTSy 2、比例變換、比例變換（2）性質：若）性質：若Sx=Sy=1

6、恒等變換，圖形不變恒等變換，圖形不變 若若Sx=Sy1 圖形被放大圖形被放大 若若Sx=Sy0時，沿時，沿x軸正方向錯切；軸正方向錯切；當當b0時，沿時，沿y軸正方向錯切；軸正方向錯切；當當c 時，有時，有x=0, y=1/q, z=0因此主命點為因此主命點為(0, 1/q, 0)，且只有一個。，且只有一個。同理可得，視點在同理可得，視點在X軸上的透視變換矩陣軸上的透視變換矩陣Tp為：為：1000100T00100001pp 視點在視點在Z軸上透視投影變換矩陣軸上透視投影變換矩陣Tr為：為：10000100T0010001rr 3.4.6 透視投影透視投影n1、基本概念、基本概念n2、一點透視

7、、一點透視n3、二點透視、二點透視n4、三點透視、三點透視3、二點透視、二點透視n變換矩陣的第變換矩陣的第4列的前三個參數起透視變換作用，列的前三個參數起透視變換作用，其變換矩陣為其變換矩陣為：只要只要p, q, r中的任意兩個不為零，就得到二點透視。中的任意兩個不為零，就得到二點透視。1000100010001pqTr 二二點點透透視視二點透視的主滅點二點透視的主滅點n若若p, q不為零，不為零，r為零為零n設設(x,y,z)為直線上一點，二點透視投影后為為直線上一點，二點透視投影后為(x,y,z)100010( , , ,1)( , , ,1)*( , , ,1)00100001( , ,

8、 ,1)(,1)111pqxy zx y zTx y zxyzx y z xpyqxpyqxpyqxpyq 二二點點透透視視二點透視的主滅點二點透視的主滅點n（1）當當Y，Z固定，固定，X- 時時 x=1/p, y=0, z=0 說明平行于說明平行于x軸的直線，二點透視后交于軸的直線，二點透視后交于(1/p,0,0) 因此因此(1/p, 0, 0)是一個主滅點。是一個主滅點。n（2）當當X，Z固定，固定，Y- 時時 x=0, y=1/q, z=0 說明平行于說明平行于Y軸的直線，二點透視后交于軸的直線，二點透視后交于(0,1/q,0) 因此因此(0, 1/q, 0)是一個主滅點。是一個主滅點。

9、n綜上，一共有兩個主滅點，因此是二點透視。綜上，一共有兩個主滅點，因此是二點透視。3.4.6 透視投影透視投影n1、基本概念、基本概念n2、一點透視、一點透視n3、二點透視、二點透視n4、三點透視、三點透視4、三點透視三點透視np、q、r都不為零數時，是三點透視都不為零數時，是三點透視1000100010001pqTr 三三點點透透視視三點透視的主滅點三點透視的主滅點n若若p, q,r都不為零都不為零n設設(x,y,z)為直線上一點，二點透視投影后為為直線上一點，二點透視投影后為(x,y,z)1 0 00 1 0( , , ,1) ( , , ,1)*( , , ,1)0 0 1 r0 0 0

10、 1( , , ,+zr 1) (,1)1+zr 1+zr 1+zrpqx y zx y zTx y zxyzx y z xp yqxp yqxp yqxp yq 三三 點點 透透 視視三點透視的主滅點三點透視的主滅點1n（1）當當Y，Z固定，固定，X- 時時 x=1/p, y=0, z=0 說明平行于說明平行于x軸的直線，二點透視后交于軸的直線，二點透視后交于(1/p,0,0) 因此因此(1/p, 0, 0)是一個主滅點。是一個主滅點。n（2）當當X，Z固定，固定，Y- 時時 x=0, y=1/q, z=0 說明平行于說明平行于Y軸的直線，二點透視后交于軸的直線，二點透視后交于(0,1/q,0) 因此因此(0, 1/q, 0)是一個主滅點。是一個主滅點。三點透視的主滅點三點