1、WORD格式常見的幾個(gè)函數(shù)不等式及其應(yīng)用*市教育科學(xué)研究院孔峰在近幾年的高考中，無論是國家考試中心的數(shù)學(xué)命題，還是一些獨(dú)立命題省市的數(shù)學(xué)命題，有一些函數(shù)不等式在命題中出現(xiàn)的頻率很高，它們在函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用中和函數(shù)不等式的證明中發(fā)揮著很重要的作用，下面分別介紹這些函數(shù)不等式.一、函數(shù)不等式的介紹 1xln(1x)x( x1)x1證明 ：令 f ( x)ln(1x)x ，那么 f(x)1111x .xx當(dāng) 1 x0 時(shí)，f ( x)0 ；當(dāng)x0 時(shí)，f ( x)0 .所以 f ( x)在 x0時(shí)取得極大值，故f (x)f (0)0 ，所以 ln(1x)x( x1).令 g ( x)ln(1x)x，

2、那么 g (x)1(1x)xx.11x(1x)2(1x) 2x當(dāng) 1 x0 時(shí)，f ( x)0 ；當(dāng)x0 時(shí)，f ( x)0 .所以 f ( x) 在x0時(shí)取得極小值，故g( x)g (0)0 ，xln(1x)( x1) .1 x綜上可知，xln(1x)x( x1) .1x變式 ： ln xx1( x0) ，ln x11( x0) .x 2ln x1 ( x1)( x1)2xln x1 ( x1)( 0 x 1)2x1)2證明 ：令 f ( x)ln x1 ( x1 ) ，那么 f(x)11 (11)(x0 .2xx2x22x所以函數(shù) f ( x) 在 ( 0,) 單調(diào)遞減 .所以，當(dāng) x1時(shí)

3、， f (x)f (1) 0 ；當(dāng)0x 1時(shí)，f ( x)f (1)0 .所以，不等式，成立.x變式 ： ln(1x)( x0)x1 3ln x2( x1)( x1)x1ln x2( x1)( 0x1)x11) 2證明 ：令 f ( x)ln x2( x1)，那么 f(x0.(x)1) 2x1x(x所以函數(shù) f ( x) 在 ( 0,) 單調(diào)遞增 .當(dāng)x1時(shí)， f (x)f (1)0；當(dāng)0x時(shí)， f (x) f (1) 0 .1所以，不等式，成立 .41111 1(0x1)ln 2ln(1x)x2專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式證明 ：令 f ( x)1x)1，那么 f (

4、x)( x1x)1，ln(1x1) ln 2 (1x2ln 2 (1x2ln( 1x)xln( 1x)xx)x11而 f ( x)1xx，x2 ln 2 (1x)x2ln 2 (1 x)由式 ln(1x)x( x0) 知， f ( x)0 ，x1所以 f ( x) 在0x1上為減函數(shù)，f (x)11 .f (1)2(x1) ( x111ln 2由式 ln x1) 知x).x1ln(1x2綜上可知，不等式成立 .x(11x) 5 ln(1x)x2( x0)11x(1x)x2證明 ：令 f ( x)ln(1x)2，那么 f( x)20 .x12(x1)故 f (x) f (0)0 .所以，不等式成

5、立 .變式 ： ln(11)1(11)( x0)"x 2 x x 1利用上述類似構(gòu)造函數(shù)方法，還可以得到以下一些重要不等式：（ 6貝努尼不等式：當(dāng)x 1時(shí)，(1x1x1,或0)，")(1x)1x( 01)"7 ln(1 x)x1x2 ( x 0)"2二、常見的函數(shù)不等的作用利用上述介紹的函數(shù)不等式，無論是去研究函數(shù)性質(zhì)，還是去證明函數(shù)不等式或證明數(shù)列不等式都會帶來許多便利 .下面分別聯(lián)系近幾年高考的命題進(jìn)展說明。 1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值或最值例 12021年*卷，理 21函數(shù) f ( x)ln 2 (1x)x2.f ( x)

6、的單調(diào)區(qū)間；1x求函數(shù)假設(shè)不等式(11)ne 對任意的 nN都成立，求的最大值 .n解：對f ( x) 求導(dǎo)數(shù)，得f ( x)2 ln(1x)12x(1x)x21x(1x)2211( x 11) .ln(x)11 x2x由不等式 ln x1( x1 )( x1) ， ln x1(x1)(0x1) 可知：2x2x當(dāng) x0 時(shí)，1x1，有l(wèi)n(1x)1(x 11) ， f (x)0 ；21x當(dāng) 1x 0時(shí)，01x 1，有l(wèi)n(1x)1(x11) ， f (x) 0 .21x專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式因此，當(dāng) x0時(shí)， f ( x) 為減函數(shù)；當(dāng)1x0 時(shí)，f ( x)為增函

7、數(shù).由 (11 )ne 可知， (n) ln(11 )1 ，所以1n .1nnln(1)n記 1t (0,1 ，那么1t)1， t( 0,1 .nln(1t由不等式11111 (0x1)，可知1111 ，ln 2ln(1 x)x2ln(1 t)tln 211 .ln 21所以，的最大值為1 .ln 2 2利用常用不等式求參數(shù)的取值X圍例 22021年全國卷，理22設(shè) f ( x)1e x .證明：x1 時(shí)，f (x)x；x1設(shè) x0 時(shí)，f ( x)x，求 a 的取值X圍 .ax1x解：利用分析法，結(jié)合式ln(1x)x(x1) 可以證明 .1x1x因?yàn)?01在 x0時(shí)恒成立，xaxe1所以 a

8、x10在 x0 時(shí)恒成立，那么a0.另一方面，由 011x，得 ae x1 .令 exexax1ex1xt ，由x0 知 t 1 .at11(t1).tln t由不等式 ln x2(x1) (x1) 可知 ln t2(t1) (t1) ，x1t1所以 t1時(shí)，tt1ttt 11 .1ln t12(t1)2又由導(dǎo)數(shù)定義可知ln t1，lim1t1 t所以 lim(t1) ln t2，故t11 .t1t1t1ln t2綜上，所求 a 的取值X圍為 0,1 .2例 32021年*卷，理22常數(shù)a0， f ( x) ln(1ax)2x .f ( x) 在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)性；x2討論假設(shè) f (

9、x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且 f (x1 )f ( x2 ) 0，求 a 的取值X圍 .解： f(x)a4ax 24(1a)1ax(x2)2(1ax)( x2)2 .因?yàn)?(1ax)( x2) 20 ，所以當(dāng)1a0 ，即 a1 時(shí)，f( x)0 恒成立，那么函數(shù) f ( x)在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增 .專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) 0a1 時(shí)，由f( x)0 ，得x2 a(1a)2 a(1a)a.那么函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (0,) 單a調(diào)遞減，在2a(1a),) 單調(diào)遞增 .(a由知，0 a1 時(shí)才可能出現(xiàn)兩個(gè)極值點(diǎn)x , x2，且1x1 x20 ， x1

10、x24(a1) .a而 f (x1)f ( x2 )ln(1 ax1 )2x1ln(1ax2 )2 x2x12x22ln1a( x1x2 )a 2 x1x2 4(x1x24)4x1 x22(x1x2 )4ln( 2a1)2222a12(ln | 2a1|11) ，此時(shí)12a11 .2a1由不等式 ln x11(x0)可知：x要使 f ( x1)f ( x2 )0 恒成立，必需02a11，從而1a 1 .2所以，所求 a 的取值X圍為 (1,1). 3利用常見不等式比較大小2例 4 2021年*卷，理21函數(shù) f ( x)ex，xR .( ) 假設(shè)直線 ykx1與 f ( x) 的反函數(shù)的圖像相

11、切，*數(shù)k 的值；( ) 設(shè)x0 ，討論曲線yf (x) 與曲線 y2(m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；mx( ) 設(shè)ab ，比較f (a )f(b) 與 f (b)f (a )的大小，并說明理由 .2ba解：()f ( x) 的反函數(shù)g ( x)ln x .設(shè)直線 ykx1 與g( x)ln x 相切與點(diǎn)( x0, ln x0)，ln x0kx01,e 2 .那么g ( x0 )1解之得 kkx0,( ) 由 e xmx2ex，得 m2 .x令 g ( x)ex，那么 g ( x)ex (x2) .x2x3當(dāng) 0x 2 時(shí)，g ( x)0 ；當(dāng)x2 時(shí)，g ( x) 0 .所以 x2是極小值點(diǎn) .從而可

12、知，在 me2時(shí)無交點(diǎn)；在 me2時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)；在me2時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn) .444() 記Mf ( a)2f (b)f (b)f ( a)eaebebea，令 bat 0 ，ba2ba那么 Meaebebeaeaea tea tea2ba2tea (1 etet1 )ea et (t 2) (t2) .2t2t專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式再令 h (t )et (t2)(t2), t0 ，在 t2 時(shí)，可知h (t)0 .在 0t2時(shí)，可證明 et2t .2t事實(shí)上，令 t2t，那么 t1，且tt1.只需證 2(t1)2t2t1ln t (t1) .t12( x1) ( x而

13、由常見不等式ln x1) 可知上式恒成立 .etx1從而 h(t)(t2)(t2) 0 在t0 時(shí)恒成立.所以 M0，即 f (a)f (b)f (b)f (a) .2ba 4利用常用不等式研究存在性問題例 52021年*卷，文22設(shè)函數(shù)f ( x)x1a ln x(aR ) .xf ( x) 的單調(diào)性；討論假設(shè) f ( x) 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和 x2，記過點(diǎn) A( x1 , f (x1 ) ， B( x2 , f ( x2 ) 的直線的斜率為 k ，問：是否存在a ，使得k2a ？假設(shè)存在，求出a 的值，假設(shè)不存在，請說明理由解： f ( x) 的定義域?yàn)?(0,) .f'( x)1

14、1ax2ax1x2xx2x2a 2令 g (x)ax1 ，其判別式4.當(dāng) 2a2 時(shí)，0 ，f ( x)0 ，故 f ( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增當(dāng) a2 時(shí)，而 x0，有 f(x)0 ，故 f ( x) 在 ( 0,) 上單調(diào)遞增當(dāng) a2時(shí)，0， x2ax10 的兩根為xaa 24， x2aa24122.故 f (x) 在 (0, x1) 上單調(diào)遞增，在( x1, x2 ) 上單調(diào)遞減，在 ( x2 ,) 上單調(diào)遞增 .由知，a2 ，且x1x2a ， x1x21專業(yè)資料整理WORD格式f ( x1) f ( x2 ) ( x1x2 )x1x2x1x2因?yàn)樗?kf (x1 ) f (

15、x2 )11a ln x1x1 x2x1 x2x1假設(shè)存在 a ，使得k 2a ，那么ln x1ln x2x1x2a(ln x1ln x2 )，ln x22 a ln x1ln x2x2x1x21.專業(yè)資料整理WORD格式而 x1 x21，所以 2 ln x2 x21.x2由不等式 ln x1 ( x 1)( x 1)可知上式不可能成立，2 x故不存在 a ，使得k 2 a .（ 5利用常用不等式證明不等式例 6 2021年全國大綱卷，理22函數(shù) f (x) ln(1 x)x(1x) .假設(shè) x 0 時(shí)，f ( x) 0，求1x的最小值；設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 1111，證明： a2 na

16、n1ln 2 .23n4n專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式解：由f (0)0 ， f ( x)(12) xx2， f(0)0.(1x) 2假設(shè)1，那么當(dāng)0x2(12) 時(shí)， f(x)0 ，所以 f ( x)0.2假設(shè)1，那么當(dāng) x0時(shí)， f( x)0 ，所以 f ( x)0 .2綜上，的最小值是1 .21x(1x)1 ，有由不等式ln(1x)2( x 0) ，令 xx1nln(11 )1 ( 1n1) .n2n1于是 ln( n1)ln n1 ( 11) ，2nn1ln( n2) ln( n1)1 (11) ，2n1n2ln( 2n)ln( 2n1)1(11) ，212n2n

17、以上各式相加，得ln 2n ln n (111 )1aan1 .nn22n4n2 n4n所以 a 2nan1ln 2 .4 n例 72021全國卷，理21函數(shù)f ( x) ( x 2)exa (x1) 2有兩個(gè)零點(diǎn) .求 a 的取值X圍；設(shè) x1， x2是 f ( x) 的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x22 .解： 令 x1t ，那么 xt1.因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) (x2) exa( x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以 g (t )(t1)et1at2有兩個(gè)零點(diǎn)，而t0 ，所以 a(1t )et1e(t2t1 )et .t 2記 m(t )e(t2t 1 )et，那么 m(t)e(2t3t 2 ) et(t2

18、t1 )et 23t 2et 1 .t列表如下：t(,0)0( 0,)m (t )+不存在m(t )0而 h(1)0 ，所以，當(dāng)a0 時(shí)，g (t)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)t10 ，另一個(gè)零點(diǎn) t2 0 .專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式綜上， a 的取值X圍為(0,) 由 可 知 a0 時(shí) ，g (t )有 兩 個(gè) 零 點(diǎn)t1和t2， 其 中t1x11 0 ，t 2 x2 10，(1 t )et11(1 t )et21即存在 t10 ， t 20 使得 a1m(t1)2m(t2 ) .t 2t 212下面證明 t1t 2 0 .記 m(t )(1 t) et 1，那么 m(t )(1 t )et 1，先證明不等式m( t )m(t ) 在t0 時(shí)恒成t 2t 2立.當(dāng) t1時(shí)， m(