1、易拉罐最優設計模型（2006年全國一等獎）摘要：本文建立了易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型，使易拉罐制作所用的材料最省，來增加生產商的經濟效益。在飲料罐容積一定的基礎上，按照材料最省原則，根據所給的任務2、任務3、任務4，分別建立了模型、模型、模型，最終在討論和分析后，對模型進行了評價和改進。對于任務1，利用千分卡尺測量了我們認為驗證模型所需要的易拉罐各個部分的數據，并把所測得的數據用圖形和表格加以說明。對于任務2，在易拉罐為正圓柱體的情況下建立模型，通過確定目標函數，給出約束條件，利用初等解法得出 為圓柱體易拉罐的最優設計。并用此其結果檢驗用千分尺所測得，其絕對誤差僅為0.29，可以說幾乎一致

2、。當易拉罐為正圓臺與正圓柱組合的情況下建立了非線性規劃模型，利用LINGO軟件算出為該模型的最優設計。這一結果與我們測量所得數據基本吻合，其中圓臺高誤差較大，這引起了我們對此模型與實際易拉罐形狀、尺寸的進一步觀察與思考。最終我們感悟出要設計一個既省材又耐用且美觀的易拉罐必需考慮經濟、耐壓、美觀和實用性四個方面。從這四個方面出發我們建立了關于材料最省的優化模型，并利用LINGO軟件算出其結果為：在模型的結尾部分，我們通過對建立模型的方法、計算工具等方面進行了模型的評價，并提出進一步改進的方法。最后通過本模型以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫了一篇短文。關鍵詞：易拉罐 最優設計 非線性規劃

3、LINGO軟件問題重述在生活中我們會發現銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優設計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節約的錢就很可觀了。現在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優設計問題。具體說，請你們完成以下的任務：1 取一個凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數據，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數據列表加以說明；如果數據不是你們

4、自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3 設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優設計。5 用你們做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文)，闡述什么是數學建模、它的關鍵步驟，以及難點。符號說明:易拉罐的總

5、高度； ：罐壁的厚度；：頂蓋的厚度；：底蓋的厚度；:易拉罐中間柱體的半徑；：頂蓋的半徑；：底蓋的半徑；：易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離；：易拉罐底端到圓柱部分底端的垂直距離；：易拉罐底蓋的拱高；:制作易拉罐所用材料的總體積；:罐裝飲料的容積（由于半徑和高度都遠遠大于易拉罐材料的厚度，即可將易拉罐的體積看成是容積）；圖一模型假設 （1）易拉罐為無損壞的凈含量355ml的可口可樂飲料罐；（2）不考慮溫度對易拉罐形狀和尺寸設計的影響；（3）不考慮罐氣體壓強對易拉罐形狀和尺寸設計的影響；（4）不考慮接縫折邊的長度L；（5）長度的量綱為毫米。模型分析、建立與求解一、測量認為驗證模型所需要的數據取一個無損

6、壞凈含量355ml的可口可樂飲料罐，利用千分卡尺測量我們認為驗證模型所需要的易拉罐各個部分的數據。并把所測得的數據用表一加以說明。表一如下：表一：自己所測得我們認為驗證模型所需要的易拉罐各個部分的數據檢測部位可口可樂罐均值（單位：毫米）易拉罐的總高度()122.90易拉罐頂蓋的厚度()0.31易拉罐底蓋的厚度()0.30易拉罐罐壁的厚度()0.15易拉罐中間柱體的半徑（）31.75易拉罐頂蓋的半徑()29.07易拉罐底蓋的半徑()26.75易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()13.00易拉罐底端到圓柱部分底端的垂直距離()7.30易拉罐底蓋的拱高()10.10二、易拉罐為正圓柱體時的最優模型模型

7、的分析、建立與求解。根據任務2給出的信息，將飲料罐假設為正圓柱體，如圖二所示。圖二事實上由于制造工藝等要求，它不可能正好是數學上的正圓柱體，但這樣簡化問題確實是近似的、合理的。要求飲料罐容積一定時，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種簡化下顯然有=，由假設得到 。由于易拉罐上底和下底的強度必須要大一點（經千分卡尺的實際測量結果為：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力學應力狀態理論知識告訴我們二向應力中，上、下底所受的應力是罐壁所受應力的2倍），因而在制造中，上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍，即=2。因而制罐用材的總體積為：注意：易拉罐側面材料的體積應為

8、 ，因為(測量所得=0.15)遠遠小于(測量所得=63.50)，所以可以忽略, 于是我們建立了以下A為目標函數，是約束條件的數學模型： 其中是已知的（由模型假設可知）。從解出，代入A，使原問題化為求使A最小，即，求使最小。 應用不等關系式：，0，當且僅當時等號成立。于是有：，當且僅當時等號成立，即，再由，得即總罐高應為半徑的4倍，這是易拉罐的最優設計。這與用千分尺所測得幾乎完全一致。這一結果同時也驗證了我們所測量的可口可樂易拉罐高度與半徑尺寸設計的合理性。三、易拉罐為正圓臺與正圓柱體組合的最優模型與模型類似，模型是模型的深入。根據任務2給出的信息，將易拉罐的外形看成兩部分（如圖三）：一部分是一

9、個正圓臺，另一部分是一個正圓柱體。圖三要求飲料罐容積一定時，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種形狀下還是=2，根據圓臺的體積公式得到罐裝飲料正圓臺部分的體積=，從而得到易拉罐的體積為 =。 易拉罐上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍。制罐用材的總體積為： A= 建立以下的數學模型：= 利用LINGO數學軟件（見附件一）算得：這就是圖三所示易拉罐的最優設計。我們可以很清晰的看到除了易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()與實際所測得的數據相差較大外,其余幾項仍然與我們所測量的數據相吻合。如果不忽略易拉罐側面的厚度，并將易拉罐整體看成有兩個規格形狀一樣、大小不一（

10、一個稍大的在外面、一個稍小的在里面）緊密的疊套在一起的物體，制作易拉罐所用材料的總體積就相當于外面稍大物體的總體積減去里面稍小物體的總體積，即 = 但是，所以在計算制作易拉罐所用材料的總體積時忽略了，采用了表面積乘以厚度等于總體積的方法來計算制作易拉罐所用材料的總體積，即=。由于在模型中采用了簡單的計算體積方法（，體積等于面積乘以厚），并且在計算過程中總會出現誤差，不是那么精確，所以導致計算結果和所測得的數據有一點點的出入。但為什么計算所得的易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離和所測得到的數據會相差這么大？我們對此問題進行了思考，再借助對可口可樂飲料罐的觀察和研究，從而發現了可口可樂飲料罐底蓋是向上

11、拱起的，而我們計算時是把易拉罐的下面部分看成正圓柱體的，沒有考慮底蓋是向上拱起的，由此容積減少了，而減少的那部分體積正好體現在圓臺高度上了，所以才導致了計算所得的易拉罐蓋頂到圓臺底端的垂直距離(即:)與所測得的數據相差過大的這一現象。我們將在任務四中加以認證。四、最優模型 對于問題4，我們根據模型，從經濟、耐壓力、美觀和實用性這四個方面出發建立了關于材料最省的優化模型。1.從經濟角度考慮，把原料最省作為目標函數。 2.從易拉罐的耐壓性考慮，又要求上、下底面比側面厚，在這種形狀下還是=2，但是根據第二個模型的推論，把底蓋設計成瓦楞的形狀。瓦楞，它是一種拱形結構，這種結構可以使作用在上面的壓力向兩

12、側分解：（），其中如圖四中所示，拱形所受的壓力大小也可以從材料的薄厚上體現出來： （1）瓦楞優點是：載重負荷大，節省材料，自重小。因此同種材料，它的強度要比沒有拱形時大。3、從美學角度考慮，當高與底面直徑之比符合黃金分割法時，視覺效果最佳,這時 4、從實用性方面考慮，便于疊加放置，即頂蓋的半徑比底蓋的半徑大。由于接縫折邊技術的限制，接縫折邊厚度為3毫米左右，即。通過上述分析，把形狀設計為圖四（如下）的形狀。、 圖四根據（1）式結合圖四，利用初等幾何知識得到由此建立目標函數： 利用LINGO數學軟件（見附件二）得到計算結果：這就是我們對所測量的易拉罐的洞察和想象力后做出自己的關于易拉罐形狀和尺寸

13、。模型評價與改進一、 模型的評價1 模型的優點（1） 通過利用測量工具（千分卡尺）和LINGO編程的方法，對模型求解具有精度高且具有科學性。（2） 在模型中我們利用了不等式的解法，計算簡單、方便、靈活。（3） 在模型中我們從經濟、耐壓、美觀和實用性四個方面考慮，使模型更貼近實際。（4） 建立的三個模型由簡單到復雜，由粗略到精細，層層推進，步步優化。2 模型的不足（1）模型中還有許多因素沒有考慮，例如：加工工藝技術的限制，接縫折邊長度，材料的不同，飲料罐的空間余量等。（2）在模型與模型的計算過程中，我們限定了易拉罐的容積（毫升）和罐壁厚（）。（3）由于時間關系和計算的復雜性，在模型中只考慮了罐底

14、的形狀為球冠，沒有考慮其他的形狀。例如：橢圓。“球形封頭與圓筒不等厚連接問題的探討”一文中指出 “從制造角度來說,標準橢圓形封頭比球形封頭易于制造且制造等尺寸等厚度的橢圓形封頭比球形封頭耗料少”二、 模型的改進（1）在模型的計算結果中可以看出起其結果還是比較符合我們所測量的結果，但是仔細的一看易拉罐的高度（）與我們測量得到的數據122.90還有一定的差距，所以我們考慮到飲料罐可能沒有裝滿飲料，還留有一定的空間余量，如果把這一因素考慮進去建立新的模型，得到的會更接近于實際所測的數據122.90。（2）在模型的最優設計中涉及到一些物理、材料力學及美學等方面的要求，這必須要有有關方面的專業知識，實際

15、工作經驗來確定，單靠數學知識是不夠的。所以我們必須和實際工作者緊密結合。淺談數學建模數學建模是利用數學語言(符號、式子與圖象)描述實際現象的過程。對于現實中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構是數學模型的基本特征。它或者能解釋特定現象的現實狀態，或者能預測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制。建立一個數學模型與求解一個數學問題有著很大的差別。求解數學問題往往有唯一的答案，而數學建模往往沒有唯一的答案。對與一個實際問題而言，數學建模沒有確定的模式，但建模方法和過程卻有著共同的規律。建立數學模型的

16、過程，要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分折和解決問題。建模要經過哪個步驟沒有一定的模式,通常與問題的性質、建模的目的有關。數學建模的步驟可分為：一、模型準備（問題分析）：了解問題的實際背景，明確其實際意義，收集與研究問題和問題有關的信息與資料，用數學語言來描述問題。二、模型假設（分析與簡化）：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。三、模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立所研究問題的數學模型。(盡量用

17、簡單的數學工具)。四、模型求解：選擇適當的方法，利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算(估計)。五、模型評價與改進（模型檢驗）：評價模型最重要的標準是模型及其求解是否能反映實際問題、滿足解決實際問題的需要，將模型求得的結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。六、模型應用：將經過多次反復改進的模型及其求解應用于實際系統中。在建立易拉罐最優設計模型時，我們遇到了以下困難（即建模時的難點）： 1、由于測量條件的限制，測出來的結果可能誤差比較大。2、非

18、線性規劃模型的計算比較困難，必須借助數學軟件進行計算，如LINGO。3、再考慮多方面時由于某些物理材料力學方面的要求，必須有關方面的實際工作者或專家來確定，只靠數學知識是不夠的，必須和實際工作者的經驗緊密結合。參考文獻1鴻文，材料力學（上冊），出版地：，人民教育，1979年2月第1版。2宇平,材料力學，出版地：,中國建筑工業，1978年12月第一版；3 徐良、密, 關于拱形結構之所以堅因的探究, 2006年9月16日。4 王小麗，球形封頭與圓筒不等厚連接問題的探討，設計與研究，33-34頁，2003年第三期。附件：附件一、model:pi=3.1415;b=0.15;v=355000; min

19、=2*pi*b*(r12+r2+0.5*(r1+r)*sqr(r-r1)2+h12)+r*(h-h1); pi*(r12+r2+r*r1)*h1+3*pi*r2*(h-h1)-3*v=0; h>h1; r>r1;endLocal optimal solution found. Objective value: 5206.095 Extended solver steps: 4 Total solver iterations: 205 Variable Value Reduced CostPI 3.141500 0.000000B 0.1500000 0.000000V 355000

20、.0 0.000000 R1 29.83883 0.000000 R 30.57185 0.000000 H1 0.3674145 0.000000 H 120.9148 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5206.095 -1.000000 2 0.000000 -0.3270983E-02 3 120.5473 0.000000 4 0.7330161 0.0000005 0.000000 -0.3270983E-02 6 120.5473 0.000000 7 0.7330161 0.000000附件二：model:b=0.15;pi=3.1415;v=355000; min=b*pi*2*r*(h-h1-h2+r12)+b*pi*(r+r1)*sqr(r-r1)2+h12)+b*pi*(r2+r)*sqr(r-r2)2+h22)+b*pi*22*(r22-h32);pi*(r2+r12+r*r1)*h1+3*pi*r2*(h-h1-h2)+pi*(r22+r2+r*r2)*h2-pi/2*h3*(3*r22+h32)-3*v=0;2*r2*