1、二次函數知識點一基本概念：1,二次函數的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a,b,c是常數，a 0）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數 a 0 ,而b, c可以為零.二次函數的定義域是 全體實數.2.二次函數y ax2 bx c的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量 x的二次式，x的最高次數是2.a,b,c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.二、基本形式 2 ,1. 二次函數基本形式：y ax的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點坐 標對稱 軸性質a 0向上0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0

2、時，y隨x的增大而減小；x 0時，y有最小值0 .a 0問卜0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y有最大值0 .2. y ax2 c的性質：（上加下減）a的符號開口方向頂點坐 標對稱 軸性質a 0向上0, cy軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y有最大值c .2 ,3. y a x h的性質：（左加右減）a的符號開口方向頂點坐 標對稱 軸性質a 0向上h, 0X=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，

3、y隨x的增大而減小；x h時，y有最小值0 .a 0問卜h, 0X=hx h時，y隨x的增大而減小；x h時，y隨x的增大而增大；x h時，y有最大值0 .24. y a x hk的性質:a的符號開口方向頂點坐 標對稱 軸性質a 0向上h, kX=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨x的增大而減小；x h時，y有最小值k .a 0問卜h, kX=hx h時，y隨x的增大而減小；x h時，y隨x的增大而增大；x h時，y有最大值k .三、二次函數圖象的平移1 .平移步驟：方法1 :將拋物線解析式轉化成頂點式 y a x h 2 k ,確定其頂點坐標 h, k ;保持拋物線y ax2的形

4、狀不變，將其頂點平移到 h, k處，具體平移方法如下：y=ax2A y=ax2+k向上（k>0）【或向下（k<0）】平移兇個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】 平移|k|個單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0）】平移k|個單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位y=a (x-h)2y=a(x-h)2+k2 .平移規律在原有函數的基礎上 h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減, 上加下減”.方法2

5、:yax2bxc沿y軸平移：向上(下)平移 m個單位，yax2bx c變成yax2bxc m (或y ax2 bx cm)yax2bxc沿軸平移：向左(右)平移 m個單位，yax2bx c變成ya(xm)2b(x m) c (或 y a(xm)2b(x m) c)四、二次函數y a x h 2 k與y ax2 bx c的比較從解析式上看，y a x h 2 k與y ax2 bx c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到,2.,22b 4ac bb 4ac b削者，即 y a x -，其中h , k .2a 4a2a 4a五、二次函數y ax2 bx c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次

6、函數y ax2 bx c化為頂點式y a(x h)2 k ,確定其開 口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0, c、以及0, c關于對稱軸對稱的點 2h, c、與x軸的交點 為，0 , x2, 0 (若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點)畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.K、次函數y ax2 bx c的性質1.當a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為 x2點,頂點坐標為 w，當x _b時，y隨x的增大而減小；當 2a最小值皿E.4ab時，y隨x的增大而增大；當x 上時，y有 2a2

7、a2.當a 0時，拋物線開口向下，對稱軸為 x2.,頂點坐標為 , b .當xb時,2a2a 4a2ay隨x的增大而增大；當x 旦時，y隨x的增大而減小；當x2ay有最大值4ac b24a七、二次函數解析式的表示方法1 . 一般式：y2 .頂點式：yax2 bx c (a , b, c為常數，a 0);a(x h)2 k (a, h, k 為常數，a 0);3.兩根式:y a(x xi)(x x2) (a 0, xi,x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標)注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式,只有拋物線與x軸有交點，即b2 4ac 0時，拋物線的

8、解析式才可以用交點式表示.二次函數 解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1 .二次項系數a二次函數y ax2 bx c中，a作為二次項系數，顯然 a 0 . 當a 0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大；當a 0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大 小.2 . 一次項系數b在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.(1)在a 0的前提下，當b 0時，.b_ 0,即拋物線的對稱軸在 y軸左側；2a當b 0時，

9、 0,即拋物線的對稱軸就是 y軸； 2a當b 0時，_b_ 0,即拋物線對稱軸在 y軸的右側. 2a在a 0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b 0時，_b_ 0,即拋物線的對稱軸在 y軸右側；2a當b 0時， 0,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當b 0時，_b_ 0,即拋物線對稱軸在 y軸的左側.2a總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.b .ab的符號的判定：對稱軸x上在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側則ab 0,概括的說就2a是“左同右異”總結：3 .常數項cy軸交點的縱坐標為正; 當c 0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點

10、，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0 ;y軸交點的縱坐標為負. 當c 0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.次函數解析式的確定:根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必 須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3 .已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常

11、選用頂點式九、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1 .關于x軸對稱y ax2y a x h k關于頂點對稱后，得到的解析式是 y a x h k .5.關于點m, n對稱22y a x h k關于點m, n對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m 2n k根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此 變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上 是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐 標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達

12、式. bx c關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2 bx c;22y a x h k關于x軸對稱后，得到的解析式是 y a x h k;2 .關于y軸對稱y ax2 bx c關于y軸對稱后，得到的解析式是 y ax2 bx c；22ya xhk關于y軸對稱后，得到的解析式是ya x h k ;3 .關于原點對稱yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2 bx c；22y a x h k關于原點對稱后，得到的解析式是y a x h k ;4 .關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180° ）22b2y ax bx c關于頂點對稱后，得到的解析式是y ax bx c 一 ；a永

13、遠不2a十、二次函數與一元二次方程：1 .二次函數與一元二次方程的關系(二次函數與X軸交點情況)：一兀二次方程ax2 bx c 0是二次函數y ax2 bx c當函數值y 0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：當b2 4ac。時，圖象與x軸交于兩點A 8 , 0 , B x2 , 0 (% x?),其中的為，x?是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩根.這兩點間的距離AB x? x19二ac .a當 。時，圖象與x軸只有一個交點；當 0時，圖象與x軸沒有交點.1'當a 0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y 0;2當a 0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都

14、有y 0 .2 .拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0, c);3 .二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；求二次函數的最大(小)值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；(3)根據圖象的位置判斷二次函數 y ax2 bx c中a, b, c的符號，或由二次函數中 a, b, c的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標， 或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式ax2 bx c(a 0)本身就是

15、所含字母x的二次函數；下面以a 0時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：0拋物線與x軸后 兩個交點二次二項式的值可止、 可零、可負一元二次方程由兩個不相等實根0拋物線與x軸只 有一個交點二次三項式的值為非 負一元二次方程由兩個相等的實數根0拋物線與x軸無 交點二次三項式的值恒為 正一元二次方程無實數根.二次函數考查重點與常見題型1 .考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數 y （m 2）x2 m2 m 2的圖像經過原點， 則m的值是2 .綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內 考查兩個

16、函數的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數 y kx b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數y kx2 bx 1的圖像大致是3 .考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經過（0,3）, （4,6）兩點，對稱軸為x ,求這條拋物線的解析式。34 .考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：3已知拋物線y ax bx c （aw0）與x軸的兩個父點的橫坐標是一1、3,與y軸父點的縱坐標是一2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標5 .考查

17、代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經典】由拋物線的位置確定系數的符號 例1 （1）二次函數y ax2 bx c的圖像如圖1 ,則點M （b,馬在（）aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）已知二次函數 y=ax2+bx+c （aw0）的圖象如圖2所示，？則下列結論：a、b同號；當 x=1和x=3時，函數值相等；4a+b=0;當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（）A. 1個 B, 2個【點評】弄清拋物線的位置與系數 a, b, c之間的關系，是解決問題的關鍵.例2.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（-2, O）、（x1，0）,且1&l

18、t;xi<2,與y軸的正半軸的交點在點（O, 2）的下方.下列結論： a<b<0 ;2a+c>O;4a+c<O ;2a-b+1>O,其中正確結論 的個數為（）A 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個答案：D會用待定系數法求二次函數解析式 例3 .已知：關于x的一兀二次方程 ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點坐標為()A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D. (3, 2)答案：C例4、(2006年煙臺市)如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動

19、,直到AB與CD重合.設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2.(1)寫出y與x的關系式；(2)當x=2, 3.5時,y分別是多少?時,(3)當重疊部分的面積是正方形面積的一半 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、 對稱軸.例5、已知拋物線y= x2+x-5 . 22(1)用配方法求它的頂點坐標和對稱軸.(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為 A、B,求線段AB的長.【點評】本題(1)是對二次函數的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數與一元二次方程的關系.例6.已知：二次函數y=ax2-(b+i)x-3a的圖象經過點P(4,10),交x軸于A(x ,0) , B(x2,0)兩點

20、(xx2),交y軸負半軸于C點，且滿足3AO=OB.(1)求二次函數的解析式；(2)在二次函數的圖象上是否存在點 求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由.(1)解:如圖二.拋物線交 x軸于點A(xi, 0), B(x2, O)貝11 Xi - x2=3<0,又< xi<X2,：x2>O, xi<0, 30A=OB,X2=-3xi.：xi X2=-3xi2=-3.xi2=1.xi<0,X1=-1 . X2=3.:點A(-1, O), P(4, 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函數的解析式為y-2x2-4x-6.存在點 M使/ MC0V/

21、ACO.(2)解：點A關于y軸的對稱點A，(1, O),:直線A, C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0,;符合題意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5.當點M的橫坐標滿足-1<x<O或O<x<5時，/ MCO>Z ACO.M,使銳角/MCO>/ ACO若存在，請你甘工-6),(5, 24).,一，“，一 一 1 9 , 一 .例7、已知函數y -x2 bx c的圖象經過點 A (c, 2),I I2求證：這個二次函數圖象的對稱軸是 x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。(1)根據已知和結

22、論中現有的信息，你能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。(2)請你根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。點評： 對于第(1)小題，要根據已知和結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點A （c, 2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第（2)小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象

23、上的一個任意點的坐標, 或與坐標軸的一個交點的坐標等。可以給出頂點的坐標_ -12解答(1 )根據y -x2bxc的圖象經過點A （c, 2）,圖象的對稱軸是x=3,得1 2c2b2 2bc c 2,3,b解得c3,2.所以所求二次函數解析式為3x 2.圖象如圖所示。，一一、，人，一 1（2）在解析式中令y=0,得一x22 3x2 0,解得 x1 3 J5,x23 .5.所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+*5。）"或"拋物線與x軸的一個交點的坐標是(3,5,0).令x=3代入解析式，得所以拋物線y 1x223x52的頂點坐標為（3,）,25、 所以也可以填拋物

24、線的頂點坐標為 （3, 9）等等。2函數主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數的具體特征；借助多種現實背景理解函 數；將函數視為“變化過程中變量之間關系”的數學模型；滲透函數的思想；關注函數與相關知識的 聯系。用二次函數解決最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE （如圖），其中AF=2, BF=1.試在AB上求一點P,使矢I形PNDM有最大面積.【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函數的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力.同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間.例2某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價 x （元）

25、？與產品的日銷售量y （件）之間的 關系如下表：x （元）152030y （件）252010若日銷售量y是銷售價x的一次函數.（1）求出日銷售量y （件）與銷售價x （元）的函數關系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？15k b 25,【解析】（1）設此一次函數表達式為 y=kx+b.則解得k=-1, b=40, ?即一次函數2k b 20表達式為y=-x+40.（2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為 w元w= （x-10） （40-x） =-x2+50x-400=- （x-25） 2+225.產品的銷售價應定為 25元，此時每

26、日獲得最大銷售利潤為225元.【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，？ “某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2） ?問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例3.你知道嗎？平時我們在跳大繩時， 繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4 m,距地面均為1m,學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2. 5 m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.已知學生丙的身高是1. 5 m,則學生丁的身高為（建立的平面直角坐標系如右圖所示

27、）()A. 1. 5 mB. 1. 625 mC. 1. 66 mD. 1. 67 m分析：本題考查二次函數的應用 答案：B知識點一、平面直角坐標系1 ，平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做 x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點 O (即公共的原點)叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標 平面。為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x 軸和 y 軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標

28、的概念點的坐標用(a, b)表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當 a b時，(a, b)和(b, a)是兩個不同點的坐 標。知識點二、不同位置的點的坐標的特征1 、各象限內點的坐標的特征點P(x,y%E第一象限x0,y0點P(x,y)S第二象限x0,y0點P(x,y)S第三象限x0,y0點P(x,y)S第四象限x0,y02、坐標軸上的點的特征點P(x,y施x軸上y0 , x為任意實數點P(x,y施y軸上x0, y為任意實數點P(x,y規在x軸上，又在y軸上 x, y同時為零，即點P坐標為(0, 0)3、兩條坐標軸夾角平

29、分線上點的坐標的特征點P(x,y)S第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)S第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同 位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同5、關于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征占p與占八、 J八、占P與占八、 J八、占P與占八、 J八、p'關于x軸對稱 p'關于y軸對稱 p'關于原點對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數 縱坐標相等，橫坐標互為相反數 橫、縱坐標均互為相反數6、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)0坐標軸及原點的距離：(1)點P(x,y)到x軸的距

30、離等于y(2)點P(x,y)iij y軸的距離等于x(3)點P(x,y)到原點的距離等于荷知識點三、函數及其相關概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它 對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數的三種表示法及其優缺點(1)解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示 法叫做解析法。(

31、2)列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。(3)圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟(1)列表：列表給出自變量與函數的一些對應值(2)描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點四，正比例函數和一次函數1、正比例函數和一次函數的概念一般地，如果y kx b （k, b是常數，k 0）,那么y叫做x的一次函數。特別地，當一次函數 y kx b中的b為0時，y kx （k為常數，k 0）。這時，y叫做x的正 比例函數。2、

32、一次函數的圖像所有一次函數的圖像都是一條直線3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數y kx b的圖像是經過點（0, b）的直線；正比例函數 y kx的圖像是經過原點（0,0）的直線。k的符 號b的符號函數圖像圖像特征k>0b>0J/y/圖像經過一、二、三象限，y隨x 的增大而增大。/0x xb<0/圖像經過一、三、四象限，y隨x 的增大而增大。/0/xK<0b>0Jy L圖像經過一、二、四象限，y隨x 的增大而減小0 xb<0/圖像經過二、三、四象限，y隨x 的增大而減小。0x注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。4、

33、正比例函數的性質一般地，正比例函數 y kx有下列性質：(1)當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；(2)當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數的性質一般地，一次函數y kx b有下列性質：(1)當k>0時，y隨x的增大而增大(2)當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式y kx (k 0)中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式 y kx b (k 0)中的常數k和bo解這類問題的一般方法是待定 系數法知識點五、反比例函數1、反比例函數的概念

34、k一般地，函數y - (k是常數，k 0)叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成 y kx x的形式。自變量x的取值范圍是x 0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數2、反比例函數的圖像反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x 0,函數y 0,所以，它的圖像與x軸、y軸者B沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。3、反比例函數的性質反比例函數k的符號k>0圖像ky (k 0)xk<0性質x的取值范圍是x 0,y的取值范圍是y 0;當k>0時，函數圖像的兩

35、個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x的增大而減小。x的取值范圍是x 0,y的取值范圍是y 0;當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x的增大而增大。4、反比例函數解析式的確定確定及談是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數y k中，只有一個待定系數，因此只需x要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數中反比例系數的幾何意義k .一 如下圖，過反比例函數 y -(k 0)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM, PN,則所得的矩 x形 PMON 的面積 S=PM?PN= y ? x xy。 y -, xy k,

36、S k。 x知識點六、二次函數的概念和圖像1、二次函數的概念一般地，如果特y ax2 bx c(a,b,c是常數,a 0),特別注意 a不為零那么y叫做x的二次函數。y ax2 bx c(a,b,c是常數，a 0)叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像二次函數的圖像是一條關于 xB對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數圖像的畫法五點法：(1)先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸(2)求拋物線y ax2 bx c與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點

37、C,再找到點C的對稱點Do將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與 y軸的交點C及對稱點Do由C、M、D 三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。知識點七、二次函數的解析式二次函數的解析式有三種形式：口訣-一 一般兩根三頂點(1) 一般一般式：y ax2 bx c(a, b,c是常數，a 0)(2)兩根 當拋物線y ax2 bx c與x軸有交點時，即對應二次好方程 ax2 bx c 0 有 實根x1和x2存在時，根據二次三項式

38、的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x x2)，二次函數 y ax2 bx c可轉化為兩根式y a(x x1)(x x2)。如果沒有交點，則不能這樣表示。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。(3)二頂點頂點式：y a(x h)2 k(a, h,k是常數,a 0)知識點八、二次函數的最值如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值 (或最小值)，即當x B時,2a4ac b2y最值 04a如果自變量的取值范圍是 x1 x x2，那么，首先要看-b是否在自變量取值范圍 x1 x x22a,4I 2內，若在此范圍內，則當x= 包時，y最值 4ac b ；若不在此范圍內,則需要考慮

39、函數在x1 x x2 2 a4a范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x x2時，y最大ax2 bx2 c,當x x1時，y最小 ax12 bx1 c ;如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x x1時，y最大ax2 bxi c,當 x x2 時，y最小ax2 bx?知識點九、二次函數的性質1、二次函數的性質函 數二次函數y ax2 bx c（a,b,c是常數,a 0）圖 像a>0a<0yiyx0 * x性 質(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；(2)對稱軸是x= 包，頂點坐標是( 包，2a2a4ac b"；4a(3)在對稱軸的左側，即當x<

40、包時，y隨x2a的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x> 2時，y隨x的增大而增大，簡記左2a減日增；(4)拋物線有最低點，當 x= 包時，y有最2a /±4ac b小值，y最小值4a(1)拋物線開口向卜，并向卜無限延伸；(2)對稱軸是*= -L,頂點坐標是(-b ,2a2a4ac b2)；4a(3)在對稱軸的左側，即當 x< -b時，y2a隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x> -b"時，y隨x的增大而減小，2a簡記左增右減；(4)拋物線有最高點，當 x=上時，y有2a目+4ac b2取入伍，y最大值4a2、二次函數ya表示開口方向:ax2 bx c(

41、a,b,c是常數，a 0)中，a、b、c的含義:a>0時，拋物線開口向上a <0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關:對稱軸為x=2ac表示拋物線與y軸的交點坐標：（0, c）3、二次函數與一元二次方程的關系元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的b2 4ac,在二次函數中表示圖像與 x軸是否有交點。當0時，圖像與x軸有兩個交點;當 =0時，圖像與x軸有一個交點;當0時，圖像與x軸沒有交點。知識點十 中考二次函數壓軸題常考公式（必記必會，理解記憶）1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）y y2yiy2如圖：點A

42、坐標為（xi, yi）點B坐標為（X2, y2）則AB間的距離，即線段 AB的長度為v'x1 x22,二次函數圖象的平移將拋物線解析式轉化成頂點式y a x h 2確定其頂點坐標h, k ;保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h, k處，具體平移方法如下:y=ax2y= y=ax2+k772 y=a (x-h)向上（k>0）【或向下（k<0）】平移兇個單位向上（k>0）或下（k<0）平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位/y=a（x-h）2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位向右（h&g

43、t;0）或左（h<0）】平移ki個單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位平移規律在原有函數的基礎上 h值正右移，負左移；k值正上移，負下移函數平移圖像大致位置規律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）特別記憶- 同左上加異右下減（必須理解記憶）說明函數中ab值同號，圖像頂點在y軸左側同左，a b值異號，圖像頂點必在 Y軸右側異右向左向上移動為加左上力口，向右向下移動為減右下減3、直線斜率：y yb為直線在y軸上的截距4、直線方程:k tan22-y14、兩,點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式：y

44、y1kx b （匕n ）x b1x（x x1）此公式有多種變形牢記x2 x1點斜 y yi kx（x xi）斜截 直線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+ b（kw0）截品巨 由直線在x軸和y軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：-y 1a b牢記 口訣 -兩點斜截距 -兩點點斜斜截截距b2 o 若 ll112k1k26、點 P （xo, y。）到直線y=kx+b（即:kx-y+b=0）的距離：d(1)2kxo y。 b,k2 15、設兩條直線分別為，l1： yk1xb112 : y k2xb2若 I1 / 12 ,則有 l1 /12k1k27、拋物線y ax2 bx /， a b C

45、，的作用a決定開口方向及開口大小，這與y ax2中的a完全一樣.b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線bbx ，故：b 0時，對稱軸為y軸；一 0 （即a、b同號）時，對稱軸在 y軸左2aa側；b 0 （即a、b異號）時，對稱軸在 y軸右側. 口訣 一 同左 異右 ac的大小決定拋物線 y ax2 bx c與y軸交點的位置.當x 0時，y c,：拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點（0, c）：c 0 ,拋物線經過原點；c 0，與y軸交于正半軸；c 0，與y軸交于負半軸.b以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y軸右側，

46、則 一 0.a考點分析:內容要求1、函數的概念和平囿直角坐標系中某些點的坐標特點I2、自變量與函數之間的變化關系及圖像的識別，理解圖像與變量的關系I3、一次函數的概念和圖像I4、一次函數的增減性、象限分布情況，會作圖n5、反比例函數的概念、圖像特征，以及在實際生活中的應用n6、二次函數的概念和性質，在實際情景中理解二次函數的意義，會利用二 次函數刻畫實際問題中變量之間的關系并能解決實際生活問題n命題預測：函數是數形結合的重要體現，是每年中考的必考內容，函數的概念主要用選擇、填空 的形式考查自變量的取值范圍， 及自變量與因變量的變化圖像、 平面直角坐標系等，一般占2%左右. 次函數與一次方程有緊

47、密地聯系， 是中考必考內容，一般以填空、選擇、解答題及綜合題的形式考查, 占5%左右.反比例函數的圖像和性質的考查常以客觀題形式出現，要關注反比例函數與實際問題的 聯系，突出應用價值，36分；二次函數是初中數學的一個十分重要的內容，是中考的熱點，多以壓 軸題出現在試卷中.要求：能通過對實際問題情景分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意 義；會用描點法畫二次函數圖像，能叢圖像上分析二次函數的性質；會根據公式確定圖像的頂點、開 口方向和對稱軸，并能解決實際問題.會求一元二次方程的近似值.分析近年中考，尤其是課改實驗區的試題，預計2009年除了繼續考查自變量的取值范圍及自變量與因變量之間的變化

48、圖像，一次函數的圖像和性質，在實際問題中考查對反比例函數的概念及性質 的理解.同時將注重考查二次函數，特別是二次函數的在實際生活中應用.十二，初中數學助記口訣(函數部分)特殊點坐標特征：坐標平面點(x,y),橫在前來縱在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-)，四個象限分前后；X軸上y 為0,x為0在Y軸。對稱點坐標：對稱點坐標要記牢，相反數位置莫混淆，X軸對稱y相反,Y軸對稱，x前面添負號；原點 對稱最好記，橫縱坐標變符號。自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負不行；零次事底數不為零，整式、奇次根全能 行。函數圖像的移動規律：若把一次函數解析式寫成 y=k (x+0) +b、

49、二次函數的解析式寫成 y=a (x+h)2+k的形式，則用下面后的口訣”右平移在括號，上下平移在末稍，同左上力口 異右下減一次函數圖像與性質口訣: 一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與Y軸來相見，k為正來右上斜，x增減y增減；k 為負來左下展, 變化規律正相反；k 的絕對值越大,線離橫軸就越遠。二次函數圖像與性質口訣: 二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見力的符號較特別，符號與 a相關聯；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；

50、頂點坐標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。反比例函數圖像與性質口訣: 反比例函數有特點,雙曲線相背離的遠;k 為正,圖在一、三（象 ）限 ,k 為負 ,圖在二、四（象 ）限 ;圖在一、三函數減,兩個分支分別減。圖在二、四正相反,兩個分支分別添;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。正比例函數是直線，圖象一定過圓點，k 的正負是關鍵，決定直線的象限，負k 經過二四限，x增大 y 在減，上下平移k 不變，由引得到一次線，向上加b 向下減，圖象經過三個限，兩點決定一條線，選定系數是關鍵。反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k

51、 落在一三限，x 增大 y 在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、 y 的順序可交換。二次函數拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數交點， a、 b 同號軸左邊拋物線平移a 不變， 頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配方法作用最關鍵。1對稱點坐標:對稱點坐標要記牢,相反數位置莫混淆，X軸對稱y相反，Y軸對稱,x前面添負號；原點對稱最好記,橫縱坐標變符號。關于x軸對稱y ax2bx c關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2 bxc;22y a xh k關于x軸對稱后，得到的解析式是ya x h k；關于y軸對稱y ax2 bx c關于y軸對

52、稱后，得到的解析式是 y ax2 bx c;22y a x h k 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是y a x h k ；關于原點對稱y ax2 bx c關于原點對稱后，得到的解析式是y ax2 bx c;y a x h 2 k關于原點對稱后，得到的解析式是 y a x h 2 k關于頂點對稱22b2y ax bx c關于頂點對稱后，得到的斛析式是y ax bx c 一 ；2ay a x h 2 k關于頂點對稱后，得到的解析式是y ax h2 k.關于點m, n對稱22y a x h k關于點m, n對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m 2n ka永遠不根據對稱的性質，顯然無論作何種

53、對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習 慣上是先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線 的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.口訣y反對x, X反對Y,都反對原點2自變量的取值范圍:分式分母不為零，偶次根下負不行；零次事底數不為零,函數圖像的移動規律：若把一次函數解析式寫成 y=k (x+0) +b,二次函數的解析式寫成 y=a (x+h) 2+k的形式, 則用下面后的口訣：“左右平移在括號,上下平移在末稍左正右負須牢記,上正下負錯不了一次函數圖像與性質口訣:一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角后與丫軸來相見，k 為正來右上斜,x 增減 y 增減； k 為負來左下展,變化規律正相反；k 的絕對值越大, 線離橫軸就越遠。二次函數圖像與性質口訣:二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象限；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見，b的符號較特別，符號與 a相關聯；頂點位置先找見， Y軸作為參考線， 左同右異中為0， 牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱