1、第六章習題6-11. 利用定積分定義計算由拋物線y=x2+1,直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形的面積.解 因y=x2+1在a,b上連續,所以x2+1在a,b上可積,從而可特殊地將a,bn等分,并取,于是故面積 2. 利用定積分的幾何意義求定積分：(1) ; (2) （a0）.解 (1)根據定然積分的幾何意義知, 表示由直線y=2x,x=0,x=1及x軸所圍的三角形的面積,而此三角形面積為1,所以=1.(2)根據定積分的幾何意義知,表示由曲線及x軸所圍成的圓的面積,而此圓面積為,所以.3. 根據定積分的性質，比較積分值的大小：(1) 與； (2) 與.解 (1)當時,即,又,所以.(2)令,

2、因,所以,從而,說明,又1+x.所以.4. 估計下列各積分值的范圍：(1) ； (2) ;(3) （a0)； (4) .解 (1)在區間1,4上,函數是增函數,故在1,4上的最大值,最小值,所以,即 .(2)令,則,當時,從而在上是增函數,從而f(x)在上的最大值,最小值,所以即 .(3)令,則,令得駐點x=0,又，,a>0時, ,故在-a,a上的最大值M=1,最小值,所以.(4)令,則,令得駐點,又,從而在0,2上的最大值,最小值,所以,而 ,故 .習題6-21. 求下列導數：(1) ; (2) ；(3) ; (4) (x0).解 2. 求下列極限：(1) ; (2) ; (3) .解

3、 3. 求由方程所確定的隱函數y=y(x)的導數.解 方程兩邊對x求導數得: , .又由已知方程有,即即,于是有.4. 當x為何值時，I(x)= 有極值?解 ,令得駐點,又,所以當x=0時,I(x)有極小值,且極小值為I(0)=0.5. 計算下列定積分：(1) ; (2) ;(3) ,其中 (4) .解 (4)由于,于是6. 已知f(x)連續，且f(2)=3,求.解 .習題6-31. 計算下列積分：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) .解 (7)令x=tant,則dx=sec2tdt,當x=1時

4、,;當時,于是 .(8)令,則,當x=0時,t=0;當時,于是 .(9)令,則,當時,;當時,于是 .(11)令,則,當x=1時,t=1;當x=2,t=;于是 2. 利用被積函數的奇偶性計算下列積分值：(1) (a為正常數)；(2) ; (3) .解 是奇函數.是奇函數.是偶函數.3. 證明下列等式：(1) (a為正整數)；(2)證明： (x0)；(3) 設f(x)是定義在(-，+)上的周期為T的連續函數，則對任意a，），有.證 (1)令x2=t,則,當x=0時,t=0;當x=a時,t=a2,于是 即 .(2)令則,即 .(3)由于,而故有 .4. 若f(t)是連續函數且為奇函數，證明是偶函數

5、；若f(t)是連續函數且為偶函數，證明是奇函數.證 令.若f(t)為奇函數,則f(-t)=- f(t),從而,所以是偶函數.若f(t)為偶函數,則f(-t)=f(t),從而,所以是奇函數.5. 設f(x)在(-，+)內連續，且F(x)= ,試證：若f(x)單調不減，則F(x)單調不增.證 ,其中在x與0之間.當x>0時,x>,由f(x)單調不減有,即;當x<0時,> x,由f(x)單調不減有,即;綜上所述知F(x)單調不增.習題6-41. 利用分部積分公式證明：.證 令則,則 即等式成立.2. 計算下列定積分：(1) ; (2);(3) ; (4) ;(5) ; (6)

6、 ;(7) ; (8) ；(9) ; (10) .解 (1) .故.故 .3. 已知f(2)= ,f(2)=0, ,求.解 習題6-51. 求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積：(1) y=ex與直線x=0及y=e; (2) y=x3與y=2x;(3) y=x2,4y=x3; (4) y=x2與直線y=x及y=2x;(5) y=,x軸與直線y=x及x=2; (6) y=(x-1)(x-2)與x軸；(7) y=ex,y=e-x與直線x=1; (8) y=lnx,y軸與直線y=lna,y=lnb, .解 (1)可求得y=ex與y=e的交點坐標(1,e), y=ex與x=0的交點為(0,1),它們所圍

7、成的圖形如圖6-1中陰影部分,其面積 圖6-1 圖6-2(2)解方程組得即三次拋物線和直線的交點坐標分別為(0,0),它們所圍成的圖形的面積.(3)解方程得兩曲線的交點為(0,0),(4,16),所求面積為. 圖6-3 圖6-4(4)可求得與的交點為(0,0),(1,1);與的交點為(0,0),(2,4);y=x與y=2x的交點為(0,0),它們所圍圖形如圖6-4中陰影所示,其面積為:(5) 與的交點為(1,1),x軸與直線x=1,及x=2所圍成的圖形如圖6-5陰影所示,其面積:. 圖6-5 圖6-6(6) ,頂點坐標為,與x軸所圍成的圖形如圖6-6中陰影所示,由得.所求面積(7)可求得曲線與

8、的交點(0,1),曲線,與x=1所圍成的圖形如圖6-7陰影所示,其面積: 圖6-7 圖6-8(8)曲線軸與直線所圍成的圖形如圖6-8陰影所示,其面積:2. 求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定軸旋轉而成的旋轉體的體積：(1) y=ex,x=0,y=0,x=1,繞y軸； (2) y=x3,x=2,x軸，分別繞x軸與y軸；(3) y=x2,x=y2，繞y軸； (4) y2=2px,y=0,x=a(p0,a0),繞x軸；(5) (x-2)2+y21,繞y軸.解 (1)如圖6-9所求旋轉體的體積為矩形OABD,與曲邊梯形CBD繞y軸旋轉所成的幾何體體積之差,可求得y=ex與x=1的交點為(1,e), y=

9、ex與y軸的交點為(0,1),所以,所求旋轉體的體積. 圖6-9 圖6-10 (3)解方程組得交點(0,0),(1,1),所求旋轉體的體積. 圖6-11 圖6-12.(5)所求旋轉體的體積是由右半圓與左半圓繞x軸旋轉生成的旋轉體的體積之差,即圖6-133. 已知曲線y=a (a0)與y=ln在點(x0,y0)處有公共切線，求：(1) 常數a及切點(x0,y0);(2) 兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S.解 (1)由題意有點在已知曲線上,且在點處兩函數的導數相等.即有即 解得 .(2)由(1)知兩曲線的交點為,又在區間(0,1)上,曲線在曲線的上方,它們與x軸所圍成的平面圖形的面積.(由得,由

10、得).4. 設,試求曲線y=f(x),直線y=x及x=1所圍圖形的面積.解 圖6-14解方程得交點為,且易知當時,位于的上方.所圍圖形如陰影部分所示,其面積.5. 一拋物線y=ax2+bx+c通過點(0，0)、(1，2)兩點，且a0，試確定a,b,c的值，使拋物線與x軸所圍圖形的面積最小.解 由拋物線過(0,0),(1,2)點,有c=0,a+b=2,又由拋物線方程得與x軸的兩交點為(0,0), ,拋物線與x軸所圍圖形的面積.,由得,代入上式有,令得或,由已知得,從而,所以.6. 已知某產品產量的變化率是時間t(單位：月)的函數f(t)=2t+5,t0,問：第一個5月和第二個5月的總產量各是多少

11、?解 設產品產量為,則,第一個5月的總產量第2個5月的總產量為7. 某廠生產某產品Q(百臺)的總成本C(萬元)的變化率為C(Q)=2(設固定成本為零)，總收入R(萬元)的變化率為產量Q(百臺)的函數R(Q)=7-2Q.問：(1) 生產量為多少時，總利潤最大?最大利潤為多少?(2) 在利潤最大的基礎上又生產了50臺，總利潤減少了多少?解 (1)總利潤當即即,Q=2.5百臺時,總利潤最大,此時的總成本總利潤(萬元).即當產量為2.5百臺時,總利潤最大,最大利潤是6.25萬元.(2)在利潤最大的基礎上又生產了50臺,此時產量為3百臺,總成本,總收入,總利潤為(萬元).減少了6.25-6=0.25萬元

12、.即在利潤最大的基礎上又生產了50臺時,總利潤減少了0.25萬元.8. 某項目的投資成本為100萬元，在10年中每年可獲收益25萬元，年利率為5，試求這10年中該投資的純收入的現值.解 投資后T年中總收入的現值,由題意知所以純收入的現值為196.73-100=96.73.即這10年中該投資的純收入的現值為96.73萬元.習題6-61. 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，則求其值：(1) ; (2);(3) (a0); (4);(5); (6) ;(7) ; (8);(9) ; (10);(11) .解 (1),此廣義積分收斂.(2),此廣義積分發散.(3),此廣義積分收斂.(4)不存在,所以,此廣義積分發散.不存在,此廣義積分發散.,收斂.此廣義積分發散.此廣義積分收斂.2. 當k為何值時，廣義積分收斂?當k為何值時，這廣義積分發散?又當k為何值時，這廣義積分取得最小值?解 當k=1時, ,發散.當時,所以,當k>1時,此廣義積分收斂,當k1時,此廣義積分發散.記.令得.又 ,且 ,故在有極大值,而只有一個駐點,所以當時取得最