1、第第1章章 矢量矢量與張量與張量2022年年3月月23日日張量的兩種表達形式張量的兩種表達形式分量形式分量形式實體形式實體形式代數代數形式形式計算計算式式幾何幾何形式形式 定義式定義式概念的內涵和外概念的內涵和外延（定量）延（定量）怎樣計算？怎樣計算？主要內容主要內容矢量及其代數運算矢量及其代數運算斜角斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量直線坐標系的基矢量與矢量分量曲線坐標系及坐標曲線坐標系及坐標轉換關系轉換關系并矢與并矢式并矢與并矢式張量的基本概念張量的基本概念張量的代數張量的代數運算運算張量的矢積張量的矢積矢量及其代數運算矢量及其代數運算矢量矢量和和矢量矢量的的模模 、 、 、 、矢量的加法矢

2、量的加法: 平行四邊形法則平行四邊形法則 uuvvu vuvwuvwuvvu()()uvwuvw()uvuv ()0uu ()uuuabab()uvuvaaa()()uuaba b平行四邊形法則平行四邊形法則矢量及其代數運算矢量及其代數運算直線直線坐標系與矢徑坐標系與矢徑 笛卡爾坐標系：直角直線笛卡爾坐標系：直角直線 費馬坐標系：斜角直線費馬坐標系：斜角直線xyzijkrur：矢徑矢徑矢徑矢徑 確定了確定了基矢量基矢量：、：、 、矢量矢量 可可表示為：表示為： rijkxyzrijkuxyzuijkuuu笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系矢量及其代數運算矢量及其代數運算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的內積矢

3、量的內積 定義式（實體形式，幾何表達）：定義式（實體形式，幾何表達）： (可交換性可交換性) 計算式（分量形式，代數表達）：計算式（分量形式，代數表達）： cosu cosv uv 物理意義：物理意義：計算計算功功(功功率率)可交換性可交換性：運算運算次序的無關性次序的無關性對稱性對稱性不變性不變性cosu vu vu vv uu vu vxyzuijkuuuxyzvijkvvvxxyyz zu v u vu vu v(許瓦茲不等式許瓦茲不等式)矢量及其代數運算矢量及其代數運算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的外積矢量的外積 定義式（實體形式，幾何表達）定義式（實體形式，幾何表達） ： (反交換性反

4、交換性) 計算式（分量形式，代數表達）計算式（分量形式，代數表達） ： 計算計算 時時換行。換行。 物理意義：物理意義：計算計算面積面積 xyzxyzwuvijk uuuvvvvuwu vsinuvu vuvvu vu wu v 矢量及其代數運算矢量及其代數運算矢量的乘法矢量的乘法 三個矢量三個矢量 、 、 之間的運算之間的運算 如何計算如何計算 ？ 觀察右圖，可知觀察右圖，可知 正交于正交于 、 構成的平面，而構成的平面，而 正交于正交于 ，因此，因此， 一定在一定在 、 構成構成的平面的平面()()()()uvwvwu w vu v wuvw()uv wuvw()uv wwvuv wv w

5、vw()uv wv w數形結合數形結合()uv wvw矢量及其代數運算矢量及其代數運算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的矢量的混合混合積積 物理意義：物理意義：計算計算體體積積 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu v wu vwu v wuuuuvwvvvuvwwwwuvwwvu2 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu uu vu wu v wv uv vv ww uw vw w uuuuvwvvvuvwwwwuvw u v wv w uw u vu w vv u ww v u 群論的輪換次序不變性群論的輪換次序不變性 順時針輪換順時針輪換 wuv斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系

6、的基矢量與矢量分量從直角直線坐標系到斜角直線坐標系從直角直線坐標系到斜角直線坐標系( (平面內平面內) ) 費費馬馬坐標系坐標系rP1g1x2x2g 12( ,)x xr2x1x12( ,)x xij 笛卡爾笛卡爾坐標系坐標系斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系和矢徑平面內斜角直線坐標系和矢徑矢徑矢徑 確定了基矢量：確定了基矢量： 、其中其中 、 不一定是單位矢量。不一定是單位矢量。矢量矢量 可可表示為表示為： 1212rggxxrP121221 PggggPPPP 費費馬馬坐標系坐標系rP1g1x2x2g 12( ,)x x2g1g2g1g斜角

7、直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系的協變基矢量和逆變基矢量平面內斜角直線坐標系的協變基矢量和逆變基矢量Pg P 費費馬馬坐標系坐標系rP1g1x2x2g 12( ,)x xg：協變基矢量：協變基矢量：啞指標：啞指標Einstein求和約定求和約定 基于基于簡化簡化的思想，的思想，引入逆變基矢量引入逆變基矢量 g0 1 gg存在對偶關系：存在對偶關系：斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量平面內斜角直線坐標系下矢量的平面內斜角直線坐標系下矢量的協變協變分量與逆變分量分量與逆變分量PggPPP gP稱為矢量稱為矢量P的逆的逆變

8、分量變分量22gPP gP稱為矢量稱為矢量P的協的協變分量變分量22gP2xP11gP11gP1x2222gP2xP22gP11gP1x11gP2222斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量123123rggggiixxxx 三維空間中的三維空間中的斜角直線坐標系斜角直線坐標系rO1x2x22gxrgiixgi3x11gx33gxdddiiiixxxrrg由由 可定可定義義協變協變基矢量基矢量 為為123123 g g gggggg是正實數（右手系）是正實數（右手系）斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜

9、角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量ggjjiigj定義定義逆逆變變基矢量基矢量 ，滿足對偶條件：，滿足對偶條件：( ,1,2,3)i j=問題：已知問題：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 根據幾何圖形直接確定根據幾何圖形直接確定1g2g3g1g由對偶條件可知，由對偶條件可知， 與與 、 均正交，因此正交于均正交，因此正交于 與與 所所確定的平面；其模的大小等于確定的平面；其模的大小等于 1g2g3g2g3g111cosgg22斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空

10、間中的斜角直線坐標系和基矢量問題：已知問題：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 由協變基由協變基矢量求逆變基矢量矢量求逆變基矢量112311()gggggg由于由于 正交于正交于 與與 ，則，則 必定平行于必定平行于 ，可，可設設 ，利用下式：，利用下式：1g2g3g23gg123ggg1g可計算出：可計算出：1231()gggg3121()gggg2311()gggg1g2g3g1g22轉化為轉化為矩陣乘法矩陣乘法 是什么？是什么？斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量問題：已知問題：已知 ，如何求

11、，如何求 ？gigj 由協變基由協變基矢量求逆變基矢量矢量求逆變基矢量將將 在在 標架下分解：標架下分解：1g123,g gg11112131123gggggjjgggggk進而進而可得到統一代數式：可得到統一代數式：ggiijjg將上式等號左右兩端均點乘將上式等號左右兩端均點乘 ，得到：，得到：ggggiiijijkkjkjkgg gijg1g1g2g3g111gg133gg122gg張量分析的起張量分析的起點點斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量可證明：可證明：稱稱 為為度量張量度量張量的協變分

12、量的協變分量稱稱 為為度量張量度量張量的逆變分量的逆變分量因此，得到：因此，得到：ggijijgggijijgijjiggijjiggijgijg協變基協變基矢量在逆變基矢量下分解矢量在逆變基矢量下分解逆變逆變基基矢量在協變基矢量下分解矢量在協變基矢量下分解ggiijj= gggjiijg斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量可知可知 與與 均為對稱矩陣，協變分量的行列式為：均為對稱矩陣，協變分量的行列式為：2123det() g g gijggijgijg寫成矩陣形式，得到：寫成矩陣形式，得到： 1

13、ijijgg由對偶關系可知逆變分量的行列式為：由對偶關系可知逆變分量的行列式為：2123det() 1g g gijgg1231231= det() 1ggg g gg g gjigg因此可因此可得到：得到： Euclid幾何幾何的的 1、勾股定理勾股定理兩大基本定理：兩大基本定理：2、三角形內角和定理、三角形內角和定理二二次微分形式次微分形式Euclid幾何的基礎幾何的基礎斜角直線坐標系的基矢量與矢量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量度量度量的重要性的重要性 刻畫兩點間距離刻畫兩點間距離ddsr 2ddddd d diji

14、jijijsxxgx xrrgg1x2x3xrdrrdr笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系中，有中，有2222ddddsxyz斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量PggijijPPP gggiikikikkPPP gP gggkkjjkjkjPPP gl矢量矢量 可在協變基矢量和逆變基矢量下進行分解：可在協變基矢量和逆變基矢量下進行分解：P 的協變分量可利用度量張量的的協變分量可利用度量張量的逆變逆變分量分量升升指標指標P 的逆變分量可利用度量張量的的逆變分量可利用度量張量的協變協變分量分量降降指標指標P斜角

15、直線坐標系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標系和基矢量ggiijjggl基矢量基矢量 的協（逆）變分量可利用度量張量的的協（逆）變分量可利用度量張量的逆逆（協協）變變分量分量升升（降降）指標：）指標：l利用指標升降關系表示斜角直線坐標系中兩個矢量的利用指標升降關系表示斜角直線坐標系中兩個矢量的點積：點積：u viiijijiiijiju vu vu v gu v gggjiijg2uiijijiijiju ug u ug uucos()iijkjku vu uv vu vu vu vxyzijkrrijkxyz曲線坐標系

16、：斜角直線坐標系的延伸曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：直角坐標的啟示：直角坐標的啟示dddddddxyzxyzxyzrijkrrr立即得到：立即得到：xriyrjzrk123,x ,xxxirrr曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：向一般曲線坐標系的推廣：向一般曲線坐標系的推廣dddiiiixxxrrg立即得到：立即得到：ixirg重要啟示：決定空間點的位置和矢徑！重要啟示：決定空間點的位置和矢徑！曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸平面極坐標系平面極坐標系11222112222

17、121()()cosarctansinxxxxxxxxxxxx12xxrij矢徑：矢徑：平面極坐標系平面極坐標系xyrijgrg2211121222cossin 1sincos xxxxxxr gijggijg12( ,)(,)x yxx12( ,)(,)rxxixirgiiix= xx曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸三維球坐標系三維球坐標系11232123312sincossincossinsinsinsincoscosxrxxxxrxxxxrxx 2x1x3xrgrgg三維球坐標系三維球坐標系123( , )(,)x y zxxx123( ,)(,)rxxx

18、 123iixxxxrijkgiiix= xx曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸曲線坐標系：斜角直線坐標系的延伸三維球坐標系三維球坐標系232321112323212212331233sincossinsincos 1(coscoscossinsin) sin( sincos) sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxgijkggijkggijg正交曲線坐標系與正交曲線坐標系與Lam常數常數定義定義正交坐標系中正交坐標系中Lam常數常數Ai (i = 1,2,3):111Ag222Ag333 ( )AgAi 的物理意義是坐標的物理意義是坐標 xi有單位增量時弧長的增量，有有單位增量時弧長的增量

19、，有 21 2223 2123(d )(d)(d)(d) ( )sA xA xA x注注: : ( )式只對正交曲線坐標系成立，式只對正交曲線坐標系成立，可作為求正交系中度量張量的一種可作為求正交系中度量張量的一種方法方法。ixirg曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換新、老坐標之間的變換和逆變換：新、老坐標之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xx新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：xxiirrr兩邊同取增量：兩邊同取增量：ddxxiirrddxxxxiiiirrddiiixxigg曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換新、老坐標

20、之間的變換和逆變換：新、老坐標之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xxddiiixxiggdddiiiiiiixx =xxxddiiiiixxiggiiiigg再由：再由：ddiiixxiggdddiiiiiiixx=xxxddiiiiiixxggiiiigg曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換新、老坐標之間的變換和逆變換：新、老坐標之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xxiiiiggiiiigg請自己證明：請自己證明：iijjggiijjgg曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換jjiixxiijjxx二者之間的關系：二者之間的關系：iiiiggiiiigg

21、iijiiijii gggjijijiji ggijjiii 曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換對比兩大關系：對比兩大關系：iiiiggiiiiggijjiii jiijgggiijjgggjkkijig g指標升降關系：指標升降關系：坐標變換關系：坐標變換關系：曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換基矢量的坐標變換：基矢量的坐標變換：基矢量本質上是曲線的切線矢量。基矢量本質上是曲線的切線矢量。由所有切線構成的切空間很重要！由所有切線構成的切空間很重要！陳省身陳省身非線性變換，非線性變換，一一定定存在存在Jacobi矩矩陣或逆矩陣陣或逆矩陣jiijgg(Jacobi矩陣矩陣)(Jaco

22、bi逆矩陣逆矩陣)jjiixxiijjxxiijjgg 協變轉換系數協變轉換系數 逆變轉換系數逆變轉換系數曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換矢量矢量分量分量的坐標變換：的坐標變換：jjiigg jiijjijiijjiijjijijivvvvvvand vvvggggiijjgg 與與 的性質：的性質：jiijkjjkjikkii jiijjijiijjijijijiijvvvvvvand vvvgggg曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換jijivvvggjjiijjiivv gvvgggjiijv gviijjvg vjiijjiijvvv gvgggijijvv gijjivg

23、 v曲線坐標系的坐標變換曲線坐標系的坐標變換= ( ,=1,2,3)kli jijijklggij gg度量張量度量張量分量分量的坐標變換：的坐標變換：= ( ,=1,2,3)i jijijklklggij gg= ( ,=1,2,3)klijijijk lggi j gg= ( ,=1,2,3)ijijijk lklggi j gg小注：對于矢徑小注：對于矢徑r，只有在直角和斜角直線坐標系下才，只有在直角和斜角直線坐標系下才可寫作可寫作 ，而在大多數曲線坐標系下不成立。，而在大多數曲線坐標系下不成立。iixrg并矢與并矢式并矢與并矢式并矢，又稱張量積，形式為兩個矢量并矢，又稱張量積，形式為兩

24、個矢量a與與b并寫并寫在一起，在一起，寫作寫作ab，一般來說，一般來說， ab ba 。并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力學問題中都需要用到并矢。例如：應力張量學問題中都需要用到并矢。例如：應力張量 在在直角坐標系下寫成分量形式：直角坐標系下寫成分量形式： ，式中的，式中的 即是并矢。即是并矢。ij ijee ijee并矢還包括多于兩個矢量的并矢，稱為多并矢，并矢還包括多于兩個矢量的并矢，稱為多并矢，如如abc，abcd等。等。并矢與并矢式并矢與并矢式并矢的初等代數運算規律并矢的初等代數運算規律結合律：結合律：()()()mmmmaba babab

25、()()ab ca bcabc()()()()mnmnabab分配律：分配律：()a bcabac()ab cacbc()mmmabcdabcd()()ab cdacadbcbd求和求和：()mnmnababab并矢與并矢式并矢與并矢式縮并縮并縮并，即并矢中兩個矢量進行點積。每縮并一次，縮并，即并矢中兩個矢量進行點積。每縮并一次，并矢的階數降低兩階。例如并矢并矢的階數降低兩階。例如并矢ab和和cd之間的縮并：之間的縮并：()ab cdb c ad:()()ab cda c b d順序縮并順序縮并()()ab cdb c a d鄰近優先鄰近優先縮并縮并* * 彈性力學中的本構方程，就是張量之間的

26、縮并。彈性力學中的本構方程，就是張量之間的縮并。:E ijijklklE本構是客觀的本構是客觀的直角坐標系下分量形式直角坐標系下分量形式張量的基本概念張量的基本概念張量張量T一組有序數，滿足一組有序數，滿足坐標變換坐標變換和和指標升降指標升降下的下的不變不變性。性。* * 零階張量即為標量，一階張量即為矢量，二零階張量即為標量，一階張量即為矢量，二者均滿足坐標變換下的不變性。者均滿足坐標變換下的不變性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g其中，其中，iji jijijTT i jijijijT

27、T iijijijjTT jijjiijiTT 張量的基本概念張量的基本概念張量張量T一組有序數，滿足一組有序數，滿足坐標變換坐標變換和和指標升降指標升降下的下的不變不變性。性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g看指標升降的一個例子：看指標升降的一個例子：ijmnmnijmnijijmnmimjimjnTTTggg g TTg gg gggg gmnijimjnTg g TijmnimjnminjijmnijmnijmnTTTggg g TTg gg gggg gmnminjijTg g T

28、mnijimnjTg TgmnmijnijTg T g空間維數空間維數張量的基本概念張量的基本概念度量張量度量張量G* * 度量張量度量張量G的的縮并縮并 ijijjiijijijijijjiijiji jjii jijijijijjiijgggg Gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gijiijigGg gg g縮并后得到：縮并后得到：3ii張量的代數運算張量的代數運算張量的相等張量的相等若張量若張量T與與S在同一個坐標系中的逆變（或協變，或在同一個坐標系中的逆變（或協變，或混變）分量一一相等，即：混變）分量一一相等，即： ( , ,1,2,3)ijijT

29、Si j則此兩個張量的其它一切則此兩個張量的其它一切分量均一一相等：分量均一一相等：ijijTSjjiiTS( , ,1,2,3)i j且任意坐標系中的一切且任意坐標系中的一切分量均一一相等：分量均一一相等： ( , ,1,2,3)k lk lTSk l 張量的代數運算張量的代數運算張量的相等張量的相等張量張量T與與S相等的實體寫法為：相等的實體寫法為：TS張量的加法張量的加法若將兩個張量若將兩個張量T與與S在同一個坐標系中的逆變（或協在同一個坐標系中的逆變（或協變，或混變）分量一一相加，則得到一組數，它們變，或混變）分量一一相加，則得到一組數，它們是新張量是新張量U的逆變（或協變，或混變）分

30、量：的逆變（或協變，或混變）分量： ( , ,1,2,3)ijijijTSUi j實體寫法為：實體寫法為：TSU張量的代數運算張量的代數運算張量的乘法張量的乘法* *標量與張量相乘標量與張量相乘 ( , ,1,2,3)ijijkTUi jkTU分量形式分量形式實體實體形式形式* *張張量與張量并乘量與張量并乘 ( , , ,1,2,3)ijlij lkkT SUi j k lTSU分量形式分量形式實體實體形式形式()TSST* *張量的縮并張量的縮并許多許多張量的張量的不變量不變量是由是由縮并縮并而得到的！而得到的！第一主不變量第一主不變量張量的代數運算張量的代數運算張量的乘法張量的乘法* *

31、張量的縮并張量的縮并例如四階張量例如四階張量 對對j、k縮并得到：縮并得到：ijklklijTTg g g gijklijlklijjliTTSggg g二階張量的二階張量的縮并：縮并：空間維數空間維數ijiijigGg gg g3ii縮并縮并ijjiTTg g縮并縮并ijijiifTT張量的代數運算張量的代數運算張量的張量的點積點積張量的點積是指兩個張量張量的點積是指兩個張量T與與S先并乘后先并乘后縮并的運算縮并的運算例如四階張量例如四階張量T與三階張量與三階張量S的點的點積：積：ijklklijTTg g g grsttrsSSg g g并并乘得到七階張量乘得到七階張量：ijrskltkl

32、tijrsT STSg g g g g g g縮并一次得到縮并一次得到五五階張量階張量：ijrskltijrkltkltijrskltijrT ST STSg g g g g g gg g g g g張量的代數運算張量的代數運算張量的張量的雙雙點點積積張量的雙點積是指兩個張量張量的雙點積是指兩個張量T與與S先并乘后再進行兩先并乘后再進行兩次次縮并的運算縮并的運算例如四階張量例如四階張量T與三階張量與三階張量S的兩種雙點積：的兩種雙點積：并聯式并聯式: ijrskltkltijrsijkltijtkltijtijT ST SWWT Sg g g g g g gg g gg g g串串聯式聯式 i

33、jrskltkltijrsijlktijtkltijtijT ST SZZT Sg g g g g g gg g gg g g張量的代數運算張量的代數運算張量的張量的轉置轉置四階張量四階張量T對第對第1，2指標的轉置張量為：指標的轉置張量為：ijklklijTTg g g gjiklklijSSg g g g對第對第1，3指標的轉置張量為：指標的轉置張量為：jiklk lijRRg g g g一般來說一般來說TSR張量的張量的轉置轉置調換指標，變換形式調換指標，變換形式只調只調前后，不調上下前后，不調上下張量的代數運算張量的代數運算張量的張量的對稱對稱化與反對稱化化與反對稱化 若四階張量若四階

34、張量 滿足滿足ijklklijTTg g g gTjiklklijTTg g g g則稱張量則稱張量T對其對其1，2指標是對稱張量，用指標是對稱張量，用 來表示來表示其轉置張量其轉置張量 ，則，則 。ijjiklklTT 若四階張量若四階張量 滿足滿足ijklklijTTg g g g則稱張量則稱張量T對其對其1，2指標是反對稱張量，用指標是反對稱張量，用 來表來表示其轉置張量示其轉置張量 ，則，則 。ijjiklklTT TTTTTTTTjiklklijTTg g g gT TT張量的代數運算張量的代數運算張量的張量的對稱對稱化與反對稱化化與反對稱化可立即得出反對稱張量的對角分量均為零（同為

35、可立即得出反對稱張量的對角分量均為零（同為協變或逆變指標）協變或逆變指標） 對稱化運算對稱化運算T1()2STT 反對稱化運算反對稱化運算T1()2ATT對稱對稱結構加任意載荷，均結構加任意載荷，均可分為對稱和反對稱。可分為對稱和反對稱。兩種兩種運算對任意張量均成立運算對任意張量均成立pF2pF2pF2pF2pF對稱對稱反對稱反對稱張量的代數運算張量的代數運算張量的商法則（判斷是否為張量）張量的商法則（判斷是否為張量）若張量若張量TR S，已知，已知 為張量，則為張量，則 必為張量。必為張量。SR具體具體例子請見例子請見張量分析張量分析中中33 35頁。頁。張量的張量的矢積矢積置換符號與行列式

36、的展開式置換符號與行列式的展開式置換符號，又稱置換符號，又稱Ricci符號，是把有序符號，是把有序變換群表達到最簡單的排列（置換）符號。變換群表達到最簡單的排列（置換）符號。1 , ,1 , ,0 , ,ijkijki j keei j ki j k 順順序序排排列列逆逆序序排排列列非非序序排排列列對于二階對于二階張量而言，其混變分量與矩陣代數、行列張量而言，其混變分量與矩陣代數、行列式運算相關式運算相關。111123222123333123det()mnaaaaaaaaaaa轉下頁轉下頁順序排列順序排列123123張量的張量的矢積矢積置換符號與行列式的展開式置換符號與行列式的展開式12323

37、1312123123123132213321123123123a a aa a aa a aa a aa a aa a a順序排列順序排列123逆序排列逆序排列123利用置換利用置換符號可寫成符號可寫成123ijkijkaa a a e進一步可寫成進一步可寫成 iiilmnijklmnjjjlmn ijklmnkkklmnlmnijkaaaaa a a e eaaaaaaa置換置換張量張量 的分量的分量 注：注： 和和 都不都不是標量，但是是標量，但是是置換張量的分量是置換張量的分量張量的張量的矢積矢積置換張量置換張量（Eddington張量）張量）與與 等式等式對于三維空間中對于三維空間中正交正交標準化基標準化基 ，有，有,ijke e e ( , ,1,2,3)ijkij