1、1第五章第五章 一元函數(shù)的積分學(xué)一元函數(shù)的積分學(xué)第三節(jié)第三節(jié) 不定積分及其計算不定積分及其計算一. 不定積分的概念二.不定積分的計算2本講學(xué)習(xí)要求 理解原函數(shù)與不定積分的概念與性質(zhì); 熟練掌握求不定積分的第一類換元法(湊微分法).3上的全體原函數(shù)的集合在區(qū)間 I )(xf I , )()( | )(xxfxFxF記為上的不定積分在稱為 , I )( xf) ( )(d)(為任意常數(shù)CCxFxxf的一個原函數(shù)；為其中 )( )( ,xfxF稱為被積表達(dá)式；稱為被積函數(shù) d)( , )(xxfxf稱為不定積分號； . 稱為積分常數(shù)C一. 不定積分的概念4 , )( ,的全部原函數(shù)的過程稱求已知函數(shù)

2、習(xí)慣上xf . )( 的不定積分為求函數(shù)xf .運算求不定積分是求導(dǎo)的逆 例如： ;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1) |(lnCxxxxx每一個求導(dǎo)公式, 反過來就是一個求原函數(shù)的公式, 加上積分常數(shù)C就成為一個求不定積分的公式.5)( d為常數(shù)kCkxxk) 1( 11d1CxxxCxxx|lnd1(1)(2)(3)(4)(5)CxxxedeCaaxaxxlnd6CxxxsindcosCxxxcosdsinCxxxtandsec2Cxxxcotdcsc2(6)(7)(8)(9)Cxxxx secd tan sec(10)C

3、xxxx cscd cot csc(11)7CxxxchdshCxxxshdch(12)(13)Cxxxarctand112Cxxxarcsind112(14)(15)8不定積分與定積分是兩個不同的概念. . )(limd)( :10| niiixbaxfxxf限定積分是一種和式的極 ),()( :則算不定積分是求導(dǎo)的逆運xfxF . )(d)(CxFxxf9二.不定積分的計算利用不定積分的性質(zhì)利用不定積分的性質(zhì)換元法換元法( 第一、第二第一、第二 )分部積分法分部積分法部分分式法部分分式法101. 利用性質(zhì)計算不定積分首先介紹不定積分的基本性質(zhì).11),()d)(xfxxf,d)()d)(d

4、(xxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf 逆運算12,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf . , ,為常數(shù)其中ba .函數(shù)的和的形式該性質(zhì)可推廣至有限個 線性性質(zhì)13例1 . d) 12( 33xx求解 d1)6128(d) 12( 24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 . 251278357Cxxxx14例2 . d1132 2xxxx求解) ( 165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxxxxd116d5d2 . | 1|ln652Cxxx絕對值絕對值15例3 . d13 22xxx求解x

5、xxxxxxxxd113d3d1333d1322222 . arctan33Cxx利用加一項、減一項的方法.16例4 . 1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d . )1ln(Cexx?利用加一項、減一項的方法.17例5 . )( )(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 . ln1Cbxaxba部分分式法18例6 . dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1dsin122 . tancotCxx .下面看另一種解法19

6、例6 . dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv . 2sin2Cx 有何想法？兩個解法答案不同，你20例7 . sin1d xx求怎么做？怎么做？21例8 . d2 xexx求解Ceexexexxxx )2ln()(2 d)2(d2 . 2ln12Cexxaaaxxln)(22例9 . d | |xex求解 , 0 時當(dāng) x , dd1| |Cexexexxx , 0 時當(dāng) x , dd2| |Cexexexxx , 其原函數(shù)連續(xù)由于被積函數(shù)連續(xù)，故 , )(lim)(l

7、im2010CeCexxxx , 2 21從而即有 CC . 0 , , 0 , 2d| |xCexCexexxx.) (為積分常數(shù)C232. 不定積分的換元法 利用積分性質(zhì)和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù), 但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的. 現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對應(yīng)的積分方法 不定積分換元法. 它是在積分運算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q, 將原來的積分化為對新的變量的積分, 而后者的積分是比較容易積出的.24(1) 不定積分的第一換元法 :公式首先看復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )( ),( 上的可構(gòu)成區(qū)間設(shè)可微函數(shù)IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 則可微的復(fù)合函數(shù)x

8、Fy 它的微分形式為xxxFxFd)()()(d( ),()( 則記ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出點什么東西沒有看出點什么東西沒有?原函數(shù)原函數(shù)?被積表達(dá)式被積表達(dá)式?也是被積表達(dá)式也是被積表達(dá)式?25定理 , )( )( 上的一個原函數(shù)在區(qū)間是設(shè)IufuF , )( ),()(且上可微在區(qū)間又JxuICuf ,)(上有則在區(qū)間JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf該定理稱為不定積分的第一換元法,也叫“湊微分”法。證明過程請看書!26例10. dcossin 3xxx求27例11. dsin 3xx求28例12 .dcossin 310 xxx

9、計算29例13解 . cos d 4xx計算 , cos dd tan 2于是，則令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1 ( . tan31tan3133CxxCuuuud)1 (230例14解 . dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222則有此題若按下面方式做，Cxfxxfxf | )(|l

10、nd)()( :一般有31例15 . dsectan 35xxx計算32例16 . ln d xxx求 . )ln( d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式33例17解 . d1 4xxx求 ,d2d , 2故則令xxuxu241d21d1uuxxx . arctan21arctan212CxCu . )( d)(1d)( :1nnnxuuufnxxxf一般公式為34例18 . d1 2xeexx求 . )( d)(d)( :xkxkxeuuufxeef一般公式為35例19解 . 1 d 4xxx計算，故，則令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu |1 |ln212 . )1 ln(2142Cxx36例20解 . )0( d axxaxa計算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsi