1、數字信號處理課程數字信號處理課程 知識點概要知識點概要第第1章章 數字信號處理概念知識點數字信號處理概念知識點1、掌握連續信號、模擬信號、離散時間信號、數字、掌握連續信號、模擬信號、離散時間信號、數字信號的特點及相互關系（時間和幅度的連續性考量）信號的特點及相互關系（時間和幅度的連續性考量） 2、數字信號的產生；、數字信號的產生；3、典型數字信號處理系統的主要構成。、典型數字信號處理系統的主要構成。量化、編碼量化、編碼采樣采樣模擬信號模擬信號離散時間信號離散時間信號數字信號數字信號 A / D變換器變換器通用或通用或專用專用計算機計算機采樣采樣保持器保持器D/ A變換器變換器模擬模擬低通低通濾

2、波器濾波器模擬模擬信號信號數字信號數字信號模擬模擬信號信號連續時間連續時間信號信號連續時間連續時間信號信號數字信號處理系統數字信號處理系統1. 周期序列的判斷與周期周期序列的判斷與周期T的求取。的求取。基本概念題（填空、判斷、選擇）。基本概念題（填空、判斷、選擇）。 本章典型題型與習題講解本章典型題型與習題講解：02 判 斷是 否 為 有 理 數 。2. 判斷系統是否是線性非時變系統。判斷系統是否是線性非時變系統。Linear system : 齊次性與疊加性齊次性與疊加性即即 y1(n)=Tx1(n) ，y2(n)=Tx2(n) y (n)=Tax1(n) bx2(n) = ay1(n) b

3、y2(n) *加權信號和的響應=響應的加權和。Time-invariant: 時不變特性時不變特性 即即 y(n-n0)=Tx(n-n0)3( )cos()78x nAn1()8( )jnx ne3214,73ww1 2,168ww習題1. 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1）（3）解解：（1）（2）這是無理數，因此是非周期序列。A是常數；這是有理數，因此是周期序列，周期是T=14；4. 線性卷積的計算。線性卷積的計算。5.模擬信號數字處理的方法與過程；采樣、恢模擬信號數字處理的方法與過程；采樣、恢復的概念；采樣定理及采樣后產生的影響；預復的概念；采樣定理及采樣后產生的影

4、響；預濾波、平滑濾波的作用；濾波、平滑濾波的作用； 第二部分第二部分 離散時間系統離散時間系統 1、線性時不變系統的判定、線性時不變系統的判定 2、線性卷積、線性卷積 3、系統穩定性與因果性的判定、系統穩定性與因果性的判定 4、線性時不變離散時間系統的表示方法、線性時不變離散時間系統的表示方法 5、系統分類及兩種分類之間的關系系統分類及兩種分類之間的關系1、線性系統：對于任何線性組合信號的、線性系統：對于任何線性組合信號的響應等于響應等于系統對各個分量的響應的線性組合。系統對各個分量的響應的線性組合。 線性系統線性系統判別準則判別準則 若若11( )( )y nT x n 22( )( )y

5、nT x n 1212( )( )( )( )T ax nbx nay nby n 則則2、時不變系統：系統的參數不隨時間而變化，不管、時不變系統：系統的參數不隨時間而變化，不管輸入信號作用時間的先后，輸出信號的響應的形狀均輸入信號作用時間的先后，輸出信號的響應的形狀均相同，僅是出現時間的不同相同，僅是出現時間的不同若若 ( )( )y nT x n 則則00()()T x nny nn時不變系統時不變系統判別準則判別準則 ( )( ) ()( )* ( )() ( )( )*( )kky nx k h nkx nh nx nk h kh nx n 3、線性卷積、線性卷積 y(n)的長度的長度

6、LxLh1 兩個序列中只要有一個是無限長序列，則卷兩個序列中只要有一個是無限長序列，則卷積之后是無限長序列積之后是無限長序列 卷積是線性運算，長序列可以分成短序列再卷積是線性運算，長序列可以分成短序列再進行卷積，但必須看清起點在哪里進行卷積，但必須看清起點在哪里系統系統時域充要條件時域充要條件Z域充要條件域充要條件因果因果h(n)0 (n0)ROC: R1 Z穩定穩定 h(n)n=-ROC: 包含單位圓包含單位圓4、系統的穩定性與因果性、系統的穩定性與因果性5、差分方程差分方程描述系統輸入輸出之間的運算關系描述系統輸入輸出之間的運算關系 N階線性常系數差分方程的一般形式：階線性常系數差分方程的

7、一般形式： 其中其中 ai、bi都是常數。都是常數。 離散系統差分方程表示法有兩個主要用途：離散系統差分方程表示法有兩個主要用途： 求解系統的瞬態響應；求解系統的瞬態響應； 由差分方程得到系統結構；由差分方程得到系統結構；01( )()()MNiiiiy na x nib y ni 6、線性時不變離散時間系統的表示方法、線性時不變離散時間系統的表示方法線性常系數差分方程線性常系數差分方程單位脈沖響應單位脈沖響應 h(n)系統函數系統函數 H(z)頻率響應頻率響應 H(ejw)零極點圖（幾何方法）零極點圖（幾何方法）7、系統的分類、系統的分類IIR和和FIR遞歸和非遞歸遞歸和非遞歸例1. 判斷下

8、列系統是否為線性系統。5)(3)()();()()();()()();()()(22nxnydnxnycnxnybnnxnya解：(a)()(),()()()()(222111nxTnnxnynxTnnxnynnxny）)()()()()()()()(2211221122112211nxTanxTanyanyannxannxanxanxaT故為線性系統。（b)()(),()()()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()()()()()()()(221122112222112211nxTanxTanyanyanxanxanxanxaT故為線性系統。)()(),()(

9、)()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()(2)()()()()()(212122222121222112211nxnxaanxanxanxanxanxanxaT故不是線性系統。(c)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可見：)()()()(2222112211nxanxanxTanxTa(d)。加即，系統操作為乘）53)(5)(3(),(5)(3)(5)(3)(222111nxTnxnynxTnxnynxny5)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT故不是線性系統。)()()()(22112211nxTanxTan

10、xanxaT22211122115)(35)(3)()(anxaanxanxTanxTa可見：例2 判斷系統 是否是移不變系統。其中a和b均為常數bnaxny)()(解：)()()()()()(mnybmnaxmnxTnybnaxnxT故為移不變系統。例3 判斷系統 是否是移不變系統。( )( )sin(20.1 )y nx nn解：)1 . 02sin()()()()1 . 02sin()()(系統操作nmnxmnxTnynnxnxT故不是移不變系統。又：1 . 0)(2sin)()(函數操作mnmnxmny顯然)()(mnymnxT);1()()()();()()(nxnxnybnnxny

11、a例4. 判斷下列系統是否為移不變系統。解：系統操作)()()()()(mnnxmnxTnynnxnxT故不是移不變系統。又：函數操作)()()(mnxmnmny顯然)()(mnymnxT（a）) 1()()()() 1()()() 1()()(mnxmnxmnxTnynxnxnxTnxnxny故是移不變系統。又：) 1()()(mnxmnxmny顯然)()(mnymnxT（b)一個常系數線性差分方程是否表征一個線性移不變系統，這一個常系數線性差分方程是否表征一個線性移不變系統，這完全由邊界條件決定。完全由邊界條件決定。例如：差分方程（c) 邊界條件 時，既不是線性的也不是移不變的。)() 1

12、()(nxnayny（a) 邊界條件 時，是線性的但不是移不變的。0)0(y（b) 邊界條件 時，是線性移不變的。0) 1(y( 1)1y 的情況）解：（0) 1(yb)()(1nnx令1)0() 1()0(11ayyaayy) 1 ()0() 1 (11211)2() 1 ()2(aayy.nannayny)() 1()(11所以：)()(1nuanyn)() 1()(nxnayny) 1()(2nnx又令0) 1() 1()0(22ayy則：.所以：) 1()(12nuanyn1)0()0() 1 (22ayyaayy) 1 () 1 ()2(22122) 1() 1()(nannayny

13、可見 是移一位的關系， 亦是移一位的關系。因此是移不變系統。)()(21nxnx)()(21nyny)()()()()(111nxTnuanynnxn由上述分析可知：)() 1()() 1()(2122nxTnuanynnxn) 1()()(3nnnx又令：代入差分方程，得：1) 10()0() 1()0(33ayy1)0() 1 ()0() 1 (33aayyaaayy233) 1 ()2() 1 ()2(2333)2() 3()2() 3(aaayy.13)(nnaany所以：)()()()()(2113nxnxTnuanuanynn)()()()()(21213nxTnxTnynyny因

14、此為線性系統。3. 判斷系統是否是因果穩定系統。判斷系統是否是因果穩定系統。 Causal and Noncausal System（因果系統）（因果系統） causal system: (1) 響應不出現于激勵之前響應不出現于激勵之前 (2) h(n)=0, n0 （線性、時不變系統）（線性、時不變系統）Stable System （穩定系統）（穩定系統） (1) 有界輸入導致有界輸出有界輸入導致有界輸出 (2) （線性、時不變系統）（線性、時不變系統） (3) H(z)的極點均位于的極點均位于Z平面單位圓內（因果系統）平面單位圓內（因果系統）nnh|)(| *實際系統一般是因果系統； *

15、y(n)=x(-n)是非因果系統,因n0時的輸入;（b）由于 領先于 ，故為非因果系統。 例5 判斷下列系統是否為因果系統。)2()()()(nxnxnya) 1()() 1()(nxnxnyb)()()(kxnycnk)()()(nxnyd（a) 為因果系統，由定義可知。) 1( ny)(nx解： 由于 由目前和過去的輸入所決定，故為因果系統。)(ny由于 n=-1時，有y（-1）=x(1)；也就是 領先于 ，故為非因果系統。)(ny)( nx )()()(kxnycnk)()()(nxnyd第第2章回顧章回顧要點與難點要點與難點1、Z變換變換Z變換的定義、零極點、收斂域變換的定義、零極點、

16、收斂域逆逆Z變換（部分分式法）變換（部分分式法）Z變換的性質及變換的性質及Parseval定理定理2、離散時間傅里葉變換、離散時間傅里葉變換DTFT的定義、性質的定義、性質DTFT與與Z變換的關系變換的關系DTFT存在的條件存在的條件3、DFTDFT定義，與定義，與Z變換的關系，變換的關系，DFT性質性質4、FFT5、DFT的應用的應用nnjjenxeX)(deeXnxnjj)(212.1節知識點節知識點 1、DTFT的定義：的定義：正變換：正變換：反變換：反變換：l基本性質。基本性質。l常見變換對；常見變換對；l離散時間信號的頻域（頻譜）為周期函數；離散時間信號的頻域（頻譜）為周期函數；1(

17、)()2jjnxnXeednjnjenxeX)()(nnx|)(|Condition:(DTFT)序列傅立葉變換(IDTFT)序列傅立葉反變換注注：周期序列不滿足該絕對可和的條件，因此它的周期序列不滿足該絕對可和的條件，因此它的DTFT不存在。不存在。1. DTFT的計算及其性質。的計算及其性質。方法1：根據定義式求解一般序列)()()(nxnxnxoe共軛對共軛對稱序列稱序列共軛反對共軛反對稱序列稱序列)(*)(21)()(*)(21)(nxnxnxnxnxnxoe一般實序列( )( )( )eox nx nxn偶序列偶序列奇序列奇序列1( ) ( )()21( ) ( )()2eoxnx

18、nxnxnx nxn1()()* ()21()()* ()2jjjejjjoXeXeXeXeXeXe方法2：根據DTFT的性質求解（特別是對稱性）（a）序列分成實部與虛部時:)()()()( )( )( jojejireXeXeXnjxnxnx其中nnjrrjeenxnxFTeX)()()(nnjiijoenxjnjxFTeX)()()( 序列分成實部與虛部兩部分，實部對應的序列分成實部與虛部兩部分，實部對應的FT具有共軛對稱性，虛部和具有共軛對稱性，虛部和j一起對應的一起對應的FT具有共軛具有共軛反對稱性。反對稱性。)()()()( )( )( jIjRjoeejXeXeXnxnxnx其中)

19、()(21)(jjjReXeXeX（b）序列分成共軛對稱 與共軛反對稱 時:)(nxe)(nxo)()(21)(jjjIeXeXejX 序列的共軛對稱部分序列的共軛對稱部分xe(n)對應著對應著FT的實部的實部XR(ej)，而序列的共軛反對稱部分，而序列的共軛反對稱部分xo(n)對應著對應著FT的虛部的虛部jXI(ej) 。11()1cos122 ( )( )()1 12 1 01 12jjjRejeRHeeeFT hnhnIFT Hennn 例1：若序列h(n)是實因果序列，其DTFT的實部如下式： HR(ej)1+cos 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej).解：000( )()( )(

20、 )2( )0( ) 2(0)(0) 0( )2( )( ) ( )2eeennnh nhnh nh nh nnh nhhnh nh nh nh n為實因果序列時，； 時，010( )2( ) 0( )( ) 0( )01 12( )1 01 121 1( )1 00 ()( )11 1eeenjjnjjnjnh nhnnh nhnnh nnhnnnnh nnnH eh n eeee 時 ， 時 ，時 ，而 有為 其 它 值22cos2je2、Z 變換表示法：變換表示法： 1) 級數形式（定義）級數形式（定義） 2) 解析表達式解析表達式（根據常見公式）（根據常見公式）（注意（注意:表示收斂域

21、上的函數，同時注明收斂域）表示收斂域上的函數，同時注明收斂域）3、Z 變換收斂域的特點：變換收斂域的特點：1) 收斂域是一個圓環，有時可向內收縮到原點，有收斂域是一個圓環，有時可向內收縮到原點，有時可向外擴展到時可向外擴展到，只有，只有x(n)=(n)的收斂域是整個的收斂域是整個Z 平面平面2) 在收斂域內沒有極點，在收斂域內沒有極點，X(z)在收斂域內每一點上在收斂域內每一點上都是解析函數。都是解析函數。 ( )( )nnX zx n z 4、幾類序列、幾類序列Z變換的收斂域變換的收斂域 (1) 有限長序列有限長序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) 0 n1 n n2 0

22、|z| 展開式出現展開式出現z的負冪的負冪 n1 n n2 0 0 |z| 展開式出現展開式出現z的正冪的正冪 n1 0 0|z| Rx n1 0, n2= , Rx|z| 展開式出現展開式出現z的正冪的正冪Z 變換的收斂域包括變換的收斂域包括 點是因果序列的特征。點是因果序列的特征。(3) 左邊序列左邊序列 X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n1 =-) n1 = -, n2 0, |z| 0, 0|z| Rx, Rx|z| Rx Rx Rx , 空集空集5、部分分式法進行逆、部分分式法進行逆Z變換變換1)求極點求極點2)將將X(z)分解成部分分式形式分解成部分分式形式3)

23、通過查表，對每個分式分別進行逆通過查表，對每個分式分別進行逆Z變換變換注：左邊序列、右邊序列對應不同收斂域注：左邊序列、右邊序列對應不同收斂域1)將部分分式逆將部分分式逆Z變換結果相加得到完整的變換結果相加得到完整的x(n)序列序列 6、Z變換的性質變換的性質 移位、反向、乘指數序列、卷積移位、反向、乘指數序列、卷積常用序列常用序列z變換（可直接使用）變換（可直接使用）11111( )1 |1 z11( )0 |11( )| |1z1(1) 0 | |1zNNnnzu nzzzRnzzza u nazazaa unzaa 7、DTFT與與Z變換的關系變換的關系采樣序列在單位圓上的采樣序列在單位

24、圓上的Z變換等于該序列的變換等于該序列的DTFT 序列頻譜存在的條件序列頻譜存在的條件Z變換的收斂域包含單位圓變換的收斂域包含單位圓()( )( )jjjnz enX eX zx n e 8、Parseval定理重要應用定理重要應用計算序列能量：計算序列能量： 即時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致即時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致221( )|()|2jnx nX ed分析計算題（計算證明、分析問答）。分析計算題（計算證明、分析問答）。 本章典型題型與習題講解本章典型題型與習題講解：方法方法2. 冪級數法冪級數法(長除法長除法)左邊序列：將左邊序列：將X(z)的分子、分母按的分子、分

25、母按Z的升冪排列的升冪排列右邊序列：將右邊序列：將X(z)的分子、分母按的分子、分母按Z的降冪排列的降冪排列 對于大多數單階極點的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。方法方法3. 部分分式展開法部分分式展開法3.逆逆Z變換的計算。變換的計算。方法方法1. 用留數定理求逆用留數定理求逆Z變換變換11Res( ),()( )knnkkz zX z zzzzX z z求逆求逆z z變換時特別需要注變換時特別需要注意收斂域的范圍，收斂域意收斂域的范圍，收斂域不同，逆不同，逆z z變換的結果是不變換的結果是不同的。如果沒有明確告訴同的。如果沒有明確告訴收斂域的范圍，則求逆收斂域的范圍，則求逆z z

26、變變換時需要討論。換時需要討論。1132( )11 212X zzz( )X z16. 已知已知:求出對應求出對應的各種可能的序列的表達式。的各種可能的序列的表達式。解：有兩個極點，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域對應三種不同的原序列。0.5z 時，時，（1）當收斂域11( )( )2ncx nX Z zdzj111115757( )( )(1 0.5)(1 2)(0.5)(2)nnnzzF zX z zzzzzzz令令，因為，因為c內無極點，內無極點，x(n)=0；0n ，C內有極點內有極點0，但，但z=0是一個是一個n階極點，階極點，改為求圓外極點留數，圓外極

27、點有改為求圓外極點留數，圓外極點有1n 那么那么0.52( )Re ( ),0.5Re ( ),2(57)(57) (0.5)(2)(0.5)(2)(0.5)(2)1 3 ( )2 2 (1)2nnzznnx ns F zs F zzzzzzzzzzzun (57)( )(0.5)(2)nzzF zzz0.52z（2）當收斂域）當收斂域時，時，1( )Re ( ),0.53 ( )2nx ns F z0n，C內有極點0.5；( )Re ( ),22 2(1)nx ns F zun 1( )3 ( )( )2 2(1)2nnx nu nun 0n ，C內有極點0.5，0，但0是一個n階極點，改成

28、求c外極點留數，c外極點只有一個，即2，最后得到最后得到(57)( )(0.5)(2)nzzF zzz2z（3）當收斂域）當收斂域1( )Re ( ),0.5Re ( ),23 ( )2 22nnx ns F zs F znN，則L=M）。較短的一個需要補0至L（兩個序列的長度要求相等）。循環卷積可以用DFT(FFT)實現；用循環卷積實現線性卷積：LM+N-1 若不滿足這個條件，則只在N-1 n M-1范圍內兩者相等。典型題型與習題講解典型題型與習題講解：分析計算題（計算證明、分析問答、判斷）。分析計算題（計算證明、分析問答、判斷）。 2.4頻域采樣定理 如果x（n）的長度為M，則只有當頻只有

29、當頻域采樣點數域采樣點數N M時時，才有可由頻域采樣 恢復原序列x（n），否則將產生時域混疊現象。( )( )( )NxnIDFT X kx n)(kX 在z平面的單位圓上的N個等角點上，對z變換進行取樣，將導致相應的時間序列周期延拓，延拓周期為N。DFSDFT線性線性線性線性序列移位序列移位循環移位循環移位共軛對稱性共軛對稱性共軛對稱性共軛對稱性周期卷積周期卷積循環卷積循環卷積 ()( )()( )mkNnlNDFS x nmwX kIDFS X klw x n DFSDFSxnXkxnXk ( )( )()( )( )mkNnlNNDFT f nwX kIDFT XklRkw x n DF

30、T xnXNk 1010( )( ) ( )( )( )() ()() ()NmNmF kX k Y kf nIDFS F kx m y nmy m x nm 1010( )( ) ( )( )( )() ()( )() ()( )NNNmNNNmF kX k Y kf nIDFT F kx m y nmRny m x nmRn DFT選頻性選頻性DFT與與Z變換變換DFT與與DTFTDFT形式下的形式下的Parseval定理定理2( )( )kNjkkNNz wX kX zzwe 2 ()2 ()/( )011( )10ojqnjq kjq kNx nenNNkqeX kekq 11*001

31、122001( )( )( )( )1| ( )|( )|( )( )NNnkNNnkx n y nX k YkNx nX kx ny nN 2( )()Njww kwNX kX ewN 重新構造兩個長度為重新構造兩個長度為L的序列的序列x(n)和和y(n), 方法：方法：末尾補零末尾補零對對x(n)和和y(n)進行圓周卷積：進行圓周卷積：首先對兩個序列進行周期延拓首先對兩個序列進行周期延拓對延拓后的周期序列進行周期卷積對延拓后的周期序列進行周期卷積對周期卷積的結果取主值區間對周期卷積的結果取主值區間使圓周卷積等于線性卷積而不產生混淆的必要條使圓周卷積等于線性卷積而不產生混淆的必要條件是件是L

32、N+M-1；步驟如下：步驟如下：圓圓 周周 卷卷 積積 與與 線線 性性 卷卷 積積 的的 性性 質質 對對 比比圓周卷積圓周卷積線性卷積線性卷積針對針對FFT引出的引出的一種一種表示方法表示方法信號通過線性系統時，信信號通過線性系統時，信號輸出等于號輸出等于輸入與系統單輸入與系統單位沖激響應的卷積位沖激響應的卷積兩序列長度必須兩序列長度必須相等相等，不等時按要求不等時按要求補足零值點補足零值點兩序列長度可以兩序列長度可以不等不等如如x1(n)為為 N1點，點，x2(n)為為 N2點點卷積結果長度卷積結果長度與兩信號長度相等皆為與兩信號長度相等皆為N卷積結果長度為卷積結果長度為N=N1+N2-

33、1 2 2N f 、ssf 、sfNkN變量變量周期周期分辨率分辨率數字頻域數字頻域模擬頻域模擬頻域離散頻域離散頻域時域時域/頻域同時采樣頻域同時采樣對有限時寬的信號對有限時寬的信號xa(t)的時域波形和頻域波形的時域波形和頻域波形同時進行取樣，其結果是時域波形和頻域的都同時進行取樣，其結果是時域波形和頻域的都變成了離散的、周期性的波形；變成了離散的、周期性的波形；時域內的離散周期信號為時域內的離散周期信號為 ，頻域內離散周，頻域內離散周期信號為期信號為 ，它們之間形成，它們之間形成DFS變換對；變換對；分別取它們的一個周期，得到分別取它們的一個周期，得到x(n)與與X(k)，它，它們之間形成

34、們之間形成DFT變換對。變換對。 nN0k0N-N)nT( x) n ( x1 /T)k (X) k (X1-N( )x n ( )X k 第二部分第二部分 快速傅里葉變換快速傅里葉變換FFT 1、FFT計算原理。2、基2時間抽取算法和頻率抽取算法。3、DFT、R-2 FFT算法的運算量比較。4、實數序列的FFT高效算法。5、FFT的應用。主要要求掌握的內容主要要求掌握的內容：1、FFT、IFFT的計算方法、特點，DIT、DIF的運算流圖。2、FFT應用于頻譜分析和快速卷積。3、DFT、FFT的運算量計算。4、FFT減少運算量的途徑。本章典型題型與習題講解本章典型題型與習題講解：作圖題（作圖、

35、計算）。作圖題（作圖、計算）。 N N點的FFTFFT的運算量為復乘: C CM M = =（N/2N/2）M=M=（N/N/2） loglog2 2 N N復加: C CA A =N M=N log =N M=N log2 2 N N1. 畫出畫出N點（例如點（例如8點、點、16點）點）FFT的運算流圖的運算流圖2. FFT的特點，的特點，FFT減少運算量的途徑。減少運算量的途徑。DIT DIF3. FFT的運算量的計算，與的運算量的計算，與DFT運算量的比較。運算量的比較。FFT算法的基本思想、特點、編程方法N N點的DFTDFT的運算量為復乘: C CM M =N =N2復加: C CA

36、 A =N =N（N-1N-1）例1：如果通用計算機的速度為平均每次復數乘需要5s,每次復數加需要1s,用來計算N1024點DFT，問直接計算需要多少時間。用FFT計算呢?照這樣計算，用FFT進行快速卷積對信號進行處理時，估計可實現實時處理的信號最高頻率。 解：N=1024=210直接計算DFT的運算量：復乘: C CM M =N =N21024102422 220次次復加: C CA A =N =N（N-1N-1）102410241023102310475521047552直接計算DFT所用的時間為：-62-65 101024 +1047552 10 =6.290432sDT 用用FFTFF

37、T計算計算DFTDFT的運算量為復乘: C CM M = =（N/2N/2）M=M=（N/N/2） loglog2 2 N N1024/21024/2101051205120復加: C CA A =N M=N log =N M=N log2 2 N N1024102410101024010240用FFT計算DFT所用的時間為：-6-65 105120+10240 10 =35.84msFT 快速卷積時，要計算一次N點FFT（H(k)已經計算好存入ROM中了，不需用FFT計算出H(k)）；N次頻域復數乘法（H(k)*X(k)）；一次N點IFFT（也是用FFT實現的）。所以，計算1024點快速卷積

38、的計算時間約為-3-621024 2101024 5 10 =76800 scFTT 次復數乘所需時間35.84所以，每秒種處理的采樣點數（即采樣速率）為-61024=13333.376800 10fs 次/秒max13333.3=22sff=6666.7.3.實數序列的實數序列的FFT高效算法。高效算法。由采樣定理可知，可實時處理的信號最高頻率為 實際實現時，fmax要比這個小一些。( )X k( )Y k( )x n( )y n( )X k( )Y k( )x n( )y n3. 已知已知和和是兩個是兩個N點實序列點實序列和和的的DFT，若要從，若要從和和求求和和，為提高運算效率，試設計用

39、一次N點IFFT來完成。)()()()()(kFkFkjYkXkFopep)(Im)(Re)()(nfjnfkFIFFTnf( )x n( )y n( )X k( )Y k( )Y k解：因為解：因為和和均為實序列，所以，均為實序列，所以，和和為共軛對稱序列，為共軛對稱序列，j為共軛反對稱序列。可令為共軛反對稱序列。可令( )X k( )Y k)(kF和和j分別作為復序列分別作為復序列 分量和共軛反分量和共軛反對稱分量，即對稱分量，即計算一次計算一次N點點IFFT得到得到)()()()(Im)()()()(RenjykjYIDFTkFIDFTnfjnxkXIDFTkFIDFTnfopep)()

40、(21)()()(21)(nfnfjnynfnfnx由由DFT的共軛對稱性可知，的共軛對稱性可知，故故2.6節知識點節知識點n連續信號的頻譜分析連續信號的頻譜分析 (利用利用DFT的選頻性的選頻性)過程：采樣截短過程：采樣截短DFT效應：混疊效應：混疊原因：采樣、頻譜泄漏原因：采樣、頻譜泄漏 泄漏泄漏原因：截短原因：截短 柵欄效應柵欄效應原因：原因：DFTpDFT的分辨率的分辨率 DFT的應用（頻譜分析、分段卷積）。的應用（頻譜分析、分段卷積）。頻譜分析：頻譜分析：DFT代替頻譜分析引起的誤差（混疊現象、柵代替頻譜分析引起的誤差（混疊現象、柵欄效應、截斷效應欄效應、截斷效應頻譜泄漏、譜間干擾頻

41、譜泄漏、譜間干擾）；提高譜分辨）；提高譜分辨率的方法；分段卷積（重疊相加法、重疊保留法）率的方法；分段卷積（重疊相加法、重疊保留法）50FHzminN15. 用微處理機對實數序列作譜分析用微處理機對實數序列作譜分析,要求譜分辨率要求譜分辨率，信號最高頻率為，信號最高頻率為1kHZ，試確定以下各參數：，試確定以下各參數：（3）最少采樣點數）最少采樣點數（4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值。值。minpT；（1）最小記錄時間）最小記錄時間maxT（2）最大取樣間隔）最大取樣間隔；第第3章回顧章回顧要點與難點要點與難點(1)數字濾波

42、器頻響應能模仿模擬濾波器頻響數字濾波器頻響應能模仿模擬濾波器頻響 jsasH)(互為映射關系互為映射關系 jezzH )(2)因果穩定的模擬系統變換為數字系統仍為因果穩定的因果穩定的模擬系統變換為數字系統仍為因果穩定的0Re)( sasH互為映射關系互為映射關系1)( zzHS到到Z平面的映射關系滿足條件平面的映射關系滿足條件 主要內容主要內容：1、 數字濾波器的分類及特性。2、 數字信號系統的信號流圖。3、 IIR濾波器的結構和信號流圖：直接型；級聯型；并聯型。4、 FIR數字濾波器的結構和信號流圖：直接型；快速卷積型、頻率采樣型。3.1 數字濾波器的結構數字濾波器的結構本章主要要求掌握的內

43、容本章主要要求掌握的內容：1、數字信號系統的信號流圖描述方法。2、 IIR濾波器的信號流圖：直接型；級聯型；并聯型。3、 FIR數字濾波器的實現流圖：直接型；級聯型；線性相位型。1.畫出濾波器的實現結構（實現流圖）。畫出濾波器的實現結構（實現流圖）。IIR數字濾波器的直接數字濾波器的直接I型結構型結構兩條延時鏈中對應的延時單元內容完全相同兩條延時鏈中對應的延時單元內容完全相同,可合并可合并,得得)(1zH)(zHM2、FIR數字濾波器：非遞歸結構，無反饋，但在頻率數字濾波器：非遞歸結構，無反饋，但在頻率采樣結構等某些結構中也包含有反饋的遞歸部分。采樣結構等某些結構中也包含有反饋的遞歸部分。（1

44、）直接型（卷積型、橫截型）直接型（卷積型、橫截型）（2）級聯型）級聯型（3）線性相位型）線性相位型（4）頻率采樣型）頻率采樣型 直接型的轉置直接型的轉置： FIR數字濾波器數字濾波器要點與難點要點與難點1、線性相位：系統的相頻特性是頻率的線性函數、線性相位：系統的相頻特性是頻率的線性函數群時延群時延: gd ( )d 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶對稱偶對稱)(nh 奇對稱奇對稱)(nh2、四種線性相位、四種線性相位FIR濾波器濾波器四種線性相位四種線性相位FIR DF特性特性第一類第一類 ，h(n)偶、偶、N奇，四種濾波器都可設計。奇，四種濾波器都可設計。第二類第二類 ，

45、h(n)偶、偶、 N偶，可設計低、帶通濾波器偶，可設計低、帶通濾波器 不能設計高通和帶阻。不能設計高通和帶阻。第三類第三類 ， h(n)奇、奇、 N奇，只能設計帶通濾波器，奇，只能設計帶通濾波器， 其它濾波器都不能設計。其它濾波器都不能設計。第四類第四類 ， h(n)奇、奇、 N偶，可設計高通、帶通濾波偶，可設計高通、帶通濾波 器，不能設計低通和帶阻。器，不能設計低通和帶阻。小結小結1、相位特性只取決于、相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與的對稱性，而與h(n)的的值無關。值無關。2、幅度特性取決于、幅度特性取決于h(n)。3、設計、設計FIR數字濾波器時，在保證數字濾波器時，在保證h(n)

46、對稱的條對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：當注意：當H()用用H()表示時，當表示時，當H()為奇對為奇對稱時，其相頻特性中還應加一個固定相移稱時，其相頻特性中還應加一個固定相移3、線性相位、線性相位FIR濾波器的零點特性濾波器的零點特性 )1()(nNhnh 11 zHzzHN零點必須是互為倒數的共軛對零點必須是互為倒數的共軛對作圖題作圖題典型題型與習題講解典型題型與習題講解：1. 設系統用下面的差分方程描述：設系統用下面的差分方程描述：311( )(1)(2)( )(1)483y ny ny nx nx n試畫出系統的直接型、級聯型和并聯型結

47、構。試畫出系統的直接型、級聯型和并聯型結構。311( )(1)(2)( )(1)483y ny ny nx nx n121311( )( )( )( )( )483Y zY z zY z zX zX z z112113( )31148zH zzz解：解：將上式進行將上式進行Z變換變換（1）按照系統函數）按照系統函數( )H z，畫出直接型結構如圖（一）所示。 112113( )31148zH zzz11111311(1)(1)24zzz( )H z（2）將）將的分母進行因式分解的分母進行因式分解 按照上式可以有兩種級聯型結構：1111113( )11(1)(1)24zH zzz1111113(

48、 )11(1)(1)24zH zzz(a) (b) 畫出級聯型結構如畫出級聯型結構如圖圖（二）（二）（b）所示所示畫出級聯型結構如圖（二）（a）所示級聯型結構圖（二）（a）級聯型結構級聯型結構圖（二）（圖（二）（b）111113( )11(1)(1)24zH zzz1( )31111()()2424zH zABzzzzz11103()11123()()224zAzzzz1173()11143()()424zBzzzz 107( )331124H zzzz( )H z（3）將）將進行部分分式展開進行部分分式展開111071073333( )1111112424zzH zzzzz根據上式畫出并聯型

49、結構如圖（三）所示。第第2部分部分要點與難點要點與難點(1)數字濾波器頻響應能模仿模擬濾波器頻響數字濾波器頻響應能模仿模擬濾波器頻響 jsasH)(互為映射關系互為映射關系 jezzH )(2)因果穩定的模擬系統變換為數字系統仍為因果穩定的因果穩定的模擬系統變換為數字系統仍為因果穩定的0Re)( sasH互為映射關系互為映射關系1)( zzHS到到Z平面的映射關系滿足條件平面的映射關系滿足條件 主要內容主要內容：1、數字濾波器的設計方法：IIR的設計方法分類。2、理想濾波器的特性及逼近方法：理想濾波器的特性；連續函數逼近方法。3、模擬濾波器設計：幾種逼近函數及特點；模擬濾波器逼近函數設計方法。

50、4、模擬濾波器的數字仿真：沖激響應不變法；雙線性變換法。5、數字濾波器的頻率變換。 IIR數字濾波器的設計數字濾波器的設計主要要求掌握的內容主要要求掌握的內容：1、數字濾波器的概念、技術指標、設計過程、設計方法。2、 IIR數字濾波器的設計與模擬濾波器設計的關系；轉換方法：沖激響應不變法；雙線性變換法；3、 Butterworth數字低通濾波器的設計。4、 IIR數字濾波器頻帶變換方法（由低通，設計高通、帶通、帶阻濾波器）5、IIR濾波器的特點。綜合設計題（計算）。綜合設計題（計算）。 本章典型題型與習題講解本章典型題型與習題講解：)()()( nThthnhanTta 某某種種變變換換)(t

51、ha1( )NiaiiAHsss 1( )( )iNs taiih tAe u t 1( )()( )iNsTniih nA eu n 11( )1iNis TiAH zez 思路：思路：脈沖響應不變法脈沖響應不變法sTze 脈沖響應不變法的脈沖響應不變法的映射關系映射關系,STsejz ,jTezrerT j 0T 3T 3T T )Im( zj)Re( z0S 平面平面Z 平面平面: 脈沖響應不變法滿足變換的映射條件，但映射關系脈沖響應不變法滿足變換的映射條件，但映射關系不是一一對應不是一一對應的的。l脈沖響應不變法脈沖響應不變法優點：優點：時域脈沖響應的模仿性能好時域脈沖響應的模仿性能好

52、頻率坐標的變換是線性的，頻率坐標的變換是線性的，與與是線性關系。是線性關系。l脈沖響應不變法脈沖響應不變法缺點：缺點：p有頻譜周期延拓效應有頻譜周期延拓效應. 只能用于帶限的頻響只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通；特性，如衰減特性很好的低通或帶通；0j1j 0T/T/S1平面平面RezImzj10Z平面平面S平面平面T/ T/ 1tan(/2)cT 1tanh(/2)scs T1s Tze 一一對應一一對應雙線性變換法雙線性變換法 優點：優點：S平面與平面與Z平面是單值的一一對應關系平面是單值的一一對應關系與與成成非線性非線性關系關系缺點缺點: 不會產生混疊現象；不會產生混疊現

53、象； 映射關系映射關系112 11zsTz1(/2)1(/2)TszTs22tgT 畸變：畸變：經經雙線性變換雙線性變換后，頻率發生了非線性變化，后，頻率發生了非線性變化， 相應地，數字濾波器的幅頻特性相應地，數字濾波器的幅頻特性在臨界頻率在臨界頻率點會發生非線性變化。這種頻率點的畸變可點會發生非線性變化。這種頻率點的畸變可以通過以通過預畸預畸來加以校正。來加以校正。注意：預畸不能在整個頻率段消除非線性畸變，只注意：預畸不能在整個頻率段消除非線性畸變，只能消除模擬和數字濾波器在特征頻率點的畸能消除模擬和數字濾波器在特征頻率點的畸變。變。 22iitgT 設計步驟：設計步驟：)2(2)2(2Tt

54、gTTtgTssppsp 預預畸畸和和阻阻帶帶臨臨界界頻頻率率一一：對對通通帶帶臨臨界界頻頻率率)(,sHspsp轉轉移移函函數數求求出出模模擬擬濾濾波波器器的的為為目目標標參參數數，二二：以以預預畸畸后后參參數數 三：通過變量代換求三：通過變量代換求H(z)置換過程置換過程: 頻響頻響：11112112 1( )( )1aazsTzzH zH sHTz222()()2jaatgTH eHjHjtgT 1. IIR濾波器的設計與實現。濾波器的設計與實現。 沖激不變法（或稱為脈沖響應不變法）沖激不變法（或稱為脈沖響應不變法）步驟：步驟：（1）將模擬濾波器的傳遞函數Ha（s）展開成部分分式的形式：

55、1( )NkakkAHsssNkTskzeTAzHk111)(（2）將由第（1）步所得到的sk代入到下式中：（3）設一個T值，并將T值和zej代入到上式中即可得到數字濾波器的頻率響應。 T的選取應按照濾波器最高截止頻率的的選取應按照濾波器最高截止頻率的2倍以上倍以上選取（選取（T過大時，頻率混疊現象嚴重。）過大時，頻率混疊現象嚴重。）3. IIR模擬濾波器到數字濾波器的轉換方法模擬濾波器到數字濾波器的轉換方法（1）確定數字低通技術指標：）確定數字低通技術指標： 通帶截止頻率通帶截止頻率 、通帶衰減、通帶衰減 、 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 、阻帶衰減、阻帶衰減 ；（2）將數字低通指標轉換成模擬低

56、通指標：）將數字低通指標轉換成模擬低通指標： （ 和和 不變不變 ） 邊界頻率的變換關系：邊界頻率的變換關系：pspsps)2tan(2T頻率預畸變頻率預畸變雙線性變換法步驟：雙線性變換法步驟：（3）設計模擬低通濾波器；）設計模擬低通濾波器；（4）轉換成數字低通濾波器：）轉換成數字低通濾波器： 這里的采樣間隔這里的采樣間隔T可任意選取可任意選取 通常取通常取 T=1或或T=211112| )()(zzTsasHzH4. IIR模擬濾波器到數字濾波器轉換特性與模擬濾波器到數字濾波器轉換特性與對應關系對應關系脈沖響應脈沖響應不變法不變法Ha(s)的極點si映射到z平面，其極點變為eSiT穩定條件：

57、 TreT 產生頻率混疊現象，不適合高通、帶阻濾波器的產生頻率混疊現象，不適合高通、帶阻濾波器的設計。設計。sTze（S Z）0 () z 1isTisse的實部左半平面的單位圓內11( )1kNks TkTAH zez0, 00,)(9 .0ttethta例：.設h(t)表示一模擬濾波器的單位沖激響應，用脈沖響應不變法，將此模擬濾波器轉換成數字濾波器（h(n)表示單位取樣響應，即h(n)ha(nT)）。確定系統函數H(z)，并把T作為參數，證明：T為任何值時，數字濾波器是穩定的，并說明數字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。0.901( )0.9tstaHseedtsHa(s)的極點s10

58、.9，數字濾波器系統函數應為110.9111( )11s TTHzezezH（z)的極點為0 .90 .9111 0 1 TTzezeTz，當時 ，( )H z 滿足穩定條件。畫出T=0.5和T=1時的幅頻響應，由圖可以看出數字濾波器近似是低通濾波器。（S Z）雙線性變換法雙線性變換法11112| )()(zzTsasHzH12tan()2TrearcT sTsTz22穩定條件： 消除了頻率混疊，但產生了頻率畸變現象，需要消除了頻率混疊，但產生了頻率畸變現象，需要預畸變處理。預畸變處理。0 () z iss的實部左半平面的單位圓內21( )1aHsss 21( )231aHsss5. 已知模擬

59、濾波器的傳輸函數為：已知模擬濾波器的傳輸函數為：（2）試用脈沖響應不變法和雙線性變換法分別將其轉換為數字試用脈沖響應不變法和雙線性變換法分別將其轉換為數字濾波器，設濾波器，設T=2s。（1）21( )1aHsss ( )aH s130.52sj 230.52sj 解：（1）用脈沖響應不變法方法方法1 直接按脈沖響應不變法設計公式，直接按脈沖響應不變法設計公式， 的極點為：的極點為：3333( )33( 0.5)( 0.5)22ajjHssjsj 33( 0.5)( 0.5)11223333( )11jTjTjjH zezez( 13)1( 13)13333( )11jjjjH zezez 11

60、11222 3sin331 2cos 3z ez ee z代入T=2s22( ),()abHsc csab222213131()()()2422ssss 22213/22 3( )1313()()22aHsssss ( )aHs( )aHs方法方法2 直接套用直接套用4題題(2)所得公式，為了套用公式，先對所得公式，為了套用公式，先對為一常數，為一常數，的分母配方，將的分母配方，將 化成化成4題中的標準形式：題中的標準形式：由于所以13,22ab11222 3sin()( )T=2312cos()aTaTaTz ebTH zebT zez1111222 3sin331 2cos 3z ez e