1、.五種輔助線助你證全等在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考一、截長補短一般地，當所證結論為線段的和、差關系，且這兩條線段不在同一直線上時，通常可以考慮用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或將短線段延長使其與長線段相等例1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD證明：在AC上截取AF=AE，連接OFAD、CE分別平分BAC、ACB，ABC=

2、601+2=60，4=6=1+2=60顯然，AEOAFO，5=4=60，7=180（4+5）=60在DOC與FOC中，6=7=60，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD二、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構造全等三角形是常用的解題思路例2已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（ ）分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系才能進行分析和判斷解：如圖2所示，設AB=7，AC=5，BC上中線AD=x延長AD至E，使DE = AD=xAD是BC邊上

3、的中線，BD=CDADC=EDB（對頂角）ADCEDBBE=AC=5在ABE中 AB-BEAEAB+BE即7-52x7+5 1x6三、作平行線當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件例3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等而現有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB則DBH為等腰三角形證明：作DHAE交BC于HDHB=ACB

4、，AB=AC，B=ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又DHAE，HDF=E DFH=EFC（對頂角） DFHEFC（AAS） DF=EF四、補全圖形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關系，有助于問題的解決例4如圖4，在ABC中，AC=BC，B=90，BD為ABC的平分線若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長分析：題設中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊要找到它們之間的關系，需設法構造其他的全等三角形證明：延長AD、BC相交于F由BD為ABC的平分線，BDAF易證ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90，F+FAC=90ABD=FAC BD為ABC的平分線 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90，AC=BCACFBCE（ASA） BE=AF=2a五、利用角的平分線對稱構造全等角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構造出全等三角形是常用的證明方法例5如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180證明：AD=CD分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構造ABDEBD，從而AD=DE則只要證明DE=CD證明：在BC