1、關于分離變量法弦的振動現在學習的是第一頁，共26頁物理模型的啟示：樂器發出的聲音可以分物理模型的啟示：樂器發出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動解為各種不同頻率的單音，每種單音振動時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間t，每，每個單音可以表示成個單音可以表示成 xtAtxusin)(),(現在學習的是第二頁，共26頁波腹波節每一點繞平衡位置振動)(tT振幅隨位置變化)(xX駐波解：駐波解：)()(),(tTxXtxu對于確定的頻率，解是對于確定的頻率，解是駐波：駐波：0 2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX0)0(X0)(lX0 2XXTaT

2、現在學習的是第三頁，共26頁)()( )()( 2xXxXtTatT)()( )()( 2xXxXtTatT由由分離變量分離變量，波動方程（偏微分方程）變為常微分方程組：，波動方程（偏微分方程）變為常微分方程組：; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)(lX現在學習的是第四頁，共26頁(1) 0 xxeCeCxX21)(0)0(X021CC. 0)(lX021lleCeC021 CC; 0 XX現在學習的是第五頁，共26頁(2)021)(CxCxX02C021ClC021 CC(3)0 xCxCxXsincos)(210)0(X01C. 0)(lX0sin2lC0sinl222ln3

3、, 2 , 1n02C現在學習的是第六頁，共26頁lxnCxXsin)(2222ln：本征值：本征值lxnCxXsin)(2：本征函數：本征函數; 0 XX：本征值方程：本征值方程C2是是積分常數積分常數。現在學習的是第七頁，共26頁; 0 2222TlanT,sincos)(latnBlatnAtTA、B 是是積分常數積分常數。.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn3 , 2 , 1n現在學習的是第八頁，共26頁.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn)(0 xut由初始條件：由初始條件：),(sin1xlxnAnn;sin)(20

4、dlnlAln).(0 xutt).(sin1xlxnBlannn.sin)(20dlnanBln現在學習的是第九頁，共26頁小結小結分離變量：分離變量：)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()(tTlX.sin)sincos(),(1lxnlatnBlatnAtxunnn邊值邊值確定本征值函數：確定本征值函數：.sin)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn初值初值確定疊加系數：確定疊加系數：;sin)(20dlnlAln.sin)(20dlnanBln注意：邊界值等于零（注意：邊界值等于零（齊次邊界條件齊次邊界條件）是確定本征函數的）是確定

5、本征函數的根本根本。現在學習的是第十頁，共26頁xktClxnlatnBlatnAtxunnnnnnnsin)sin(.sin)sincos(),(1.BsinC,AcosC,lnka,lnnnnnnnnn駐波駐波 xkCnnsin表示弦上各點的的振幅分布表示弦上各點的的振幅分布 相位因子相位因子 駐波的角頻率駐波的角頻率 現在學習的是第十一頁，共26頁例1磁致伸縮換能器兩端自由得均勻細桿。02xxttuau0lx0),(lxxtxu0),(lxxtxu)(0 xut)()(0 xxutt)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0( tTX0)()( tTlX分離變量：分離變量：;

6、 0 2TaT; 0 XX0)0( X和. 0)( lX現在學習的是第十二頁，共26頁xCxCxXsincos)(21, 02C0)cossin(21lClC222ln3 , 2 , 1 , 0nlxnCxXcos)(1現在學習的是第十三頁，共26頁; 0 2222TlanT,sincos)(latnBlatnAtTnnn.cos)sincos(),(lxnlatnBlatnAtxunnn3 , 2 , 1ntBAtT000)(0ntBAtxu000),(.cos)sincos(),(100lxnlatnBlatnAtBAtxunnn現在學習的是第十四頁，共26頁)(0 xut由初始條件：由初

7、始條件：),(sin10 xlxnAAnn,)(100dlAl).(0 xutt).(sin10 xlxnBlantBnn.cos)(20dlnanBln;cos)(20dlnlAln,)(100dlBl現在學習的是第十五頁，共26頁0 x固定lx 自由0 x自由lx 自由0 x自由lx 固定2.557.51012.515-1-0.50.510 x固定lx 固定一、二類邊界條件決定的駐波現在學習的是第十六頁，共26頁例例2:(自學自學)單簧管，均勻細管。研究管內空氣柱的聲振動，縱振動。一端固定，另一端自由。單簧管，均勻細管。研究管內空氣柱的聲振動，縱振動。一端固定，另一端自由。02xxttua

8、u0),(0 xtxu0),(lxxtxu求求本征振動本征振動。)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()( tTlX分離變量：0)0(X和和0)( lX0lx)(0 xut)()(0 xxutt現在學習的是第十七頁，共26頁; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)( lXxCxCxXsincos)(2101C0cos2lC和2222224) 12()21(lklk3 , 2 , 1 , 0klxkCxX2) 12(sin)(2現在學習的是第十八頁，共26頁; 04) 12( 2222TlakT,2) 12(sin2) 12(cos)(latkBlatkAt

9、T.2) 12(sin)2) 12(sin2) 12(cos(),(lxklatkBlatkAtxukkk3 , 2 , 1 , 0kK=0：基頻。：基頻。K0：諧頻：諧頻現在學習的是第十九頁，共26頁例例3細桿熱傳導。初始均勻溫度為 ，保持一端溫度為0，另一端絕熱。0lx002xxtuau解：解：第一類邊界條件第二類邊界條件00uut0),(0 xtxu0),(lxxtxu0u現在學習的是第二十頁，共26頁)()(),(tTxXtxu0 2TXaXT0)()0(tTX0)()( tTlX分離變量：分離變量：0)0(X和和0)( lX現在學習的是第二十一頁，共26頁; 0 2TaT; 0 XX0)0(X和. 0)( lXxCxCxXsincos)(2101C0cos2lC和2222224) 12()21(lklk3 , 2 , 1 , 0klxkCxX2) 12(sin)(2現在學習的是第二十二頁，共26頁; 04) 12(2222TlakT;4) 12(exp)(2222ltakCtT;2) 12(sin4) 12(exp),(22220lxkltakCtxukk現在學習的是第二十三頁，共26頁;2) 12(sin)0 ,(00