1、第七章第七章 應力和應變分析應力和應變分析強度理論強度理論 7-1 7-1 應力狀態的概念應力狀態的概念 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法 7-4 7-4 二向應力狀態分析二向應力狀態分析-n-n圖解法圖解法 7-5 7-5 三向應力狀態三向應力狀態 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律 7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論第七章第七章 應力和應變分析應力和應變分析強度理論強度理論低碳鋼低碳鋼 塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？鑄鑄 鐵鐵問題的提出問題的提出71 應力狀態的概念應力狀態的概念脆性材料扭轉時為

2、什么沿脆性材料扭轉時為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼低碳鋼鑄鑄 鐵鐵71 應力狀態的概念應力狀態的概念 橫截面上正應力分析和切應力分橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即力各不相同，此即應力的點的概念應力的點的概念。QFMzNF71 應力狀態的概念應力狀態的概念橫力彎曲橫力彎曲 直桿拉伸應力分析結果表明：直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即各不相同的，此即應力的面的概念應力的面的概念。71 應力狀態的概念應力狀態的概念 FFkkpFkk2co

3、scospsincos sinsin22p直桿拉伸直桿拉伸F laSM FlT Fa71 應力狀態的概念應力狀態的概念zMzT4321yx1z zz zW WM MtTW3z zz zW WM MtTW123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 單元體上沒有切應力的面稱為單元體上沒有切應力的面稱為主平面主平面；主平面上的正應力；主平面上的正應力稱為稱為主應力，主應力，分別用分別用 表示，并且表示，并且該單元體稱為該單元體稱為主應力單元體。主應力單元體。321,321 71 應力狀態的概念應力狀態的概念71 應力狀態的概念應力狀態的概念（1 1）單向應力狀態：三個主應力中只有一

4、個不為零）單向應力狀態：三個主應力中只有一個不為零（2 2）平面應力狀態：三個主應力中有兩個不為零）平面應力狀態：三個主應力中有兩個不為零（3 3）空間應力狀態：三個主應力都不等于零）空間應力狀態：三個主應力都不等于零平面應力狀態和空間應力狀態統稱為平面應力狀態和空間應力狀態統稱為復雜應力狀態復雜應力狀態Fl/2l/2S平面平面71 應力狀態的概念應力狀態的概念S平面平面4zF lM 2F543211232 231LtDtDpx0 xF4DpDt2xppt4pDxxx軸線方向的應力軸線方向的應力0yF0lDplt 2yt2pDy橫向應力橫向應力yyl2tyx y x y 承受內壓圓柱型薄壁容承

5、受內壓圓柱型薄壁容器任意點的應力狀態器任意點的應力狀態:二向不等值拉伸應力狀態二向不等值拉伸應力狀態tDyp4Dp2p0yF04DptD2ypp4tpDyyytDxp4Dp2px0Fx04DptD2xpp4tpDxxy3、三向應力狀態實例、三向應力狀態實例滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點的應力狀態滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點的應力狀態Z Zxy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的應力斜截面上的應力 y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)

6、cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法利用三角函數公式利用三角函數公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法2.2.正負號規則正負號規則拉為

7、正；壓為負拉為正；壓為負使微元順時針方向使微元順時針方向轉動為正；反之為負。轉動為正；反之為負。由由x x 軸正向逆時針轉軸正向逆時針轉到斜截面外法線時為正；反到斜截面外法線時為正；反之為負。之為負。 y a a xyntxyxx 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy2sin2cos)(21)(21xyyxyx確定正應力極值確定正應力極值2cos22sin)(xyyxdd設設0 0 時，上式值為零，即時，上式值為零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 正正應力極值和方向應力極值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin

8、22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 時，切應力為零時，切應力為零 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法yxxy 22tan0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。 所以，最大和最小正應力分別為：所以，最大和最小正應力分別為： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主應力主應力按代數值按代數值排序：排序：1 1 2 2 3 3 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀

9、態分析- -解析法解析法試求試求（1 1） 斜面上的應力；斜面上的應力； （2 2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3 3）繪出主應力單元體。）繪出主應力單元體。例題例題1 1：一點處的平面應力狀態如圖所示。一點處的平面應力狀態如圖所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法解：解：（1 1） 斜面上的應力斜面上的應力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(2406

10、0MPa3 .58y x xy 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法（2 2）主應力、主平面）主應力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表達式可知表達式可知 主應力主應力 方向：方向：15 .150主應力主應力 方向：方向：3 5 .1050 7

11、-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法（3 3）主應力單元體：）主應力單元體：y x xy 5 .1513 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法 7-3 7-3 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -解析法解析法022xyxytg 2max2min22xyxyxymax1min3xyxy xy13此現象稱為純剪切此現象稱為純剪切純剪切應力狀態純剪切應力狀態045 135或或45 薄壁圓管受扭轉和拉伸同時作用薄壁圓管受扭轉和拉伸同時作用（如圖所示如圖所示）。已知圓。已知圓管的平均直徑管的平均直徑D50 mm，壁厚壁厚2 mm。外加力偶的力。

12、外加力偶的力偶矩偶矩Me600 Nm，軸向載荷，軸向載荷FP20 kN。薄壁管截面的。薄壁管截面的扭轉截面系數可近似取為扭轉截面系數可近似取為 22PdW 1圓管表面上過圓管表面上過D點與圓管母線夾角為點與圓管母線夾角為30的斜截的斜截 面上的應力；面上的應力； 2. D點主應力和最大剪應力。點主應力和最大剪應力。 2、確定微元各個面上的應力、確定微元各個面上的應力 取微元：取微元： 圍繞圍繞D點用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。點用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。3PP-3-320kN 1063 7MPa 50mm 102mm 10.FFAD22-3-3P22 600N m76 4MPa50

13、mm 102mm 10.xMMeWd求斜截面上的應力求斜截面上的應力 x63.7 MPa，y0， xy一一76.4 MPa，120。 三維投影成二維三維投影成二維sin2cos222xyyxyxcos2sin22xyyxMPa7101202cosMPa4761202sin20MPa763.MPa3501202sinMPa4761202cos20MPa76320MPa763.求斜截面上的應力求斜截面上的應力 sin2cos222xyyxyx120cos2sin22xyyx120確定主應力與最大剪應力確定主應力與最大剪應力 224212xyyxyxMPa6114MPa47640MPa7632120

14、MPa76322.224212xyyxyx MPa950MPa47640MPa7632120MPa76322.0 確定主應力與最大剪應力確定主應力與最大剪應力1114 6MPa.350 9MPa.20D點的最大切應力為點的最大切應力為 13max114.6MPa50.9MPa82.75MPa22 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓 7-4 7-4 二向應力狀態分析二向應力狀態分析- -圖解法圖解法 圓心的坐標圓心的坐標),(0 02 2yx

15、C 圓的半徑圓的半徑2 22 22 2xyyxR )( 此圓習慣上稱為此圓習慣上稱為 應力圓應力圓（ plane stress circle）,或稱為或稱為莫莫爾圓爾圓（Mohrs circle） （1）建）建 - 坐標系坐標系,選定比例尺選定比例尺o 2. 應力圓作法應力圓作法作圖步驟作圖步驟xyD xyo o （2）量取）量取OA= xAD = xy得得D點點xy xAOB= y （3）量取）量取BD= yx得得D點點 y yxD （4）連接）連接 DD兩點的直線與兩點的直線與 軸相交于軸相交于C 點點 （5）以）以C為圓心為圓心, CD 為半徑作圓為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的該圓

16、就是相應于該單元體的應力圓應力圓 （1）該圓的圓心）該圓的圓心C點到點到 坐坐標原點的標原點的 距離為距離為 （2）該圓半徑為）該圓半徑為2 22 22 2xyyxR )(D xyo o xA y yxD證明：證明：2 22 21 12 21 1yxOBOAOBOAOBOC )()(2 22 22 22 22 2xyyxADCACD )(2 2yx 3.3.應力圓的應用應力圓的應用（1）求單元體上任一）求單元體上任一 截面上的應力截面上的應力 從應力圓的半徑從應力圓的半徑 CD 按方位角按方位角 的轉向轉動的轉向轉動2 得到半徑得到半徑CE.圓圓周上周上 E 點的坐標就依次為斜截面上的正應力點

17、的坐標就依次為斜截面上的正應力 和切應力和切應力 .D xyo o xA y yxDFxya)22cos(0 CEOCCFOCOF 2sin2sin2cos2cos00CDCDOC 2sin2cos22xyyxyx 2sin2cos2cos2sin)22sin(00CDCDCEFEo 2cos2sin2xyyx .點面之間的對應關系點面之間的對應關系:單元體某一面上的應力單元體某一面上的應力,必對應于應必對應于應力圓上某一點的坐標力圓上某一點的坐標.說說 明明AB .夾角關系夾角關系:圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍對應兩截面

18、夾角的兩倍.兩者的轉向一致兩者的轉向一致.A(2)(2)求主應力數值和主平面位置求主應力數值和主平面位置主應力數值主應力數值 A1 和和 B1 兩點為與主平面兩點為與主平面對應的點對應的點,其橫坐標其橫坐標 為主應力為主應力 1, 2 1 12 22 21 11 12 22 2 max)(xyyxyxCAOCOA2 22 22 21 11 12 22 2 min)(xyyxyxCBOCOB 2D xyo o xA y yxDFB1A1D xyo o xA y yxD 2A1B1主平面方位主平面方位 由由 CD順時針轉順時針轉 2 0 到到CA1 所以單元體上從所以單元體上從 x 軸順時軸順時針

19、轉針轉 0 （負值）即負值）即到到 1對應對應的的主平面的外法線主平面的外法線yxxyCADA 2 22 20 0)(tanyxxy 2 22 20 0tan)(tanyxxy 2 22 21 10 0 0 確定后確定后, 1 對應的對應的主平面方位即確定主平面方位即確定（3 3）求最大切應力）求最大切應力 G1和和G兩點的縱坐標分別代兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力表最大和最小切應力 D xyo o xA y yxD 2A1B1G1G2max)( 2 22 21 12 2xyyxCGmin)( 2 22 22 22 2xyyxCG2 22 21 1 minmax 因為因為最大最小切應力等

20、于應力圓的半徑最大最小切應力等于應力圓的半徑 x x o245245beABDDCbe4545例例1：軸向拉伸的最大正應力和最大切應力：軸向拉伸的最大正應力和最大切應力eb x x 軸向拉伸時軸向拉伸時45方向方向面上面上既有既有正應力又有切應力，但正應力不正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。是最大值，切應力卻最大。軸向拉伸的最大正應力和最大切應力軸向拉伸的最大正應力和最大切應力最大正應力所在的面上切應力一最大正應力所在的面上切應力一定是零；定是零；o 2452454545 4545 be D(0,- )CD (0, )eb例例2：純剪切狀態的主應力：純剪切狀態的主應力A AB

21、 -45 4545 beBA A 純剪切狀態的主單元體純剪切狀態的主單元體 -45 4545 bev在純剪應力狀態下，45方向面上只有正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。40MPa30MPa60 例例3：一點處的平面應力狀態如圖所示。已知：一點處的平面應力狀態如圖所示。已知 ,30,60MPax.MPa30 xy試求試求（1） 斜面上的應力；斜面上的應力；（2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3）繪出主單元體。）繪出主單元體。,MPa40y40MPa30MPa60 o cd) 3 .58,02. 9(MPa3 .681MPa3 .483fe02)0,10(MPaR31.58)23030

22、()2)40(60(2248.150)30,60(D)30,40(D60013主應力單元體：主應力單元體：MPaMPa3 .48, 0,3 .68321例例4：一點處的平面應力狀態如圖所示。已知：一點處的平面應力狀態如圖所示。已知 ,20MPa,20MPa;310MPa.310MPa求（求（1）主應力；（）主應力；（2）繪出主單元體。）繪出主單元體。30303030120o )310,20(C)310,20(Da120（1 1）作應力圓）作應力圓,20MPa,20MPa;310MPa.310MPa12（2 2）確定主應力）確定主應力1120o )310,20(C)310,20(Da1202bb

23、aoboa60tgbcob6031020tgMPa30半徑半徑22)()(bcbaca22)60310()310(tgMPa20因此主應力為：因此主應力為：caoa1,50MPa,102MPacaoa. 03（3）繪出主單元體。）繪出主單元體。1120o )310,20(C)310,20(Da1202b 1 23030),(D1o ),(D3a3、已知任意兩個斜面上的應力，確定主應力、已知任意兩個斜面上的應力，確定主應力 2cos2sin2xyyx 4532532595150解法解法1解析法：分析解析法：分析建立坐標系如圖建立坐標系如圖xyyxy MPa325MPa45? x 222122xy

24、yxyx ）（60MPa325MPa956060 xyO例例5 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：單位：MPa)MPa95 x 0MPa20MPa120321 300 yxxy 2 22 20 0tan 34532532595150AB 1 2解：解：主應力坐標系如圖主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與的垂直平分線與 軸的交點軸的交點C便是便是圓心，以圓心，以C為圓心，為圓心，以以AC為半徑畫為半徑畫圓圓應力圓應力圓0 1 2BAC2 0 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在在坐標系內畫出點坐標系內畫出點 3 1 2

25、BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖主應力及主平面如圖0201203213004532532595150 10 2AB例例6 分析受扭構件的破壞規律。分析受扭構件的破壞規律。解：解：確定危險點并畫其原確定危險點并畫其原 始單元體始單元體求極值應力求極值應力0 yx PxyWM 222122xyyxyx ）（ 2xy xyC yxMCxyO xy yx破壞分析破壞分析 22minmax2xyyx）（ 321; 0;4522tg00 yxxy0022tg11 xyyxMPa200;MPa240ss: 低低碳碳鋼鋼MPa300198;MPa960640MPa28098bcb

26、tb: 灰灰口口鑄鑄鐵鐵低碳鋼鑄鐵 下圖下圖 表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁, 在橫截面在橫截面 mm上上, 分別圍繞分別圍繞 1、 2、 3、 4,、5 五點各取出一單元體。五點各取出一單元體。假設該橫截面上的假設該橫截面上的。12345P1P2mmq12345P1P2mmq CD1A1D2A213312345P1P2mmqCA1A2D1D2O20201 323x12345P1P2mmqD1D2OCA1A290200 4500 133x412345P1P2mmq oCD1D2A1A2200134512345P1P2mmqO D2D1A1A2C11 將相應

27、的將相應的 x , x 和和 y=0 , y = - x 代入主應力的計算公式代入主應力的計算公式得梁內任一點的主應力計算公式得梁內任一點的主應力計算公式一、梁的一、梁的主應力計算公式主應力計算公式 222221xyyxyx 222221 xxx 222221xxx 可見可見, ,梁內任一點處的兩個主應力必然一個為拉應力梁內任一點處的兩個主應力必然一個為拉應力, ,一個為壓應力一個為壓應力, ,兩者的方向互相垂直。兩者的方向互相垂直。 在梁的在梁的 xy 平面內可以繪制兩組正交的曲線。一組平面內可以繪制兩組正交的曲線。一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力曲線上每一點處切線的方向是該點處主

28、應力 1 1 的方向，的方向，而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力 3 3 的方向的方向, ,這樣的曲線稱為梁的這樣的曲線稱為梁的。二、主應力跡線的概念二、主應力跡線的概念yx 上圖繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應力跡上圖繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應力跡線實線表示主應力線實線表示主應力 1的跡線的跡線, 虛線表示主應力虛線表示主應力 3的跡線的跡線, 所有的所有的跡線與梁軸線跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置代表梁的中性層位置)間的夾角都是間的夾角都是45, 在梁的在梁的橫截面上橫截面上 =0的各點處的各點處, 跡線

29、的切線則與梁的軸線平行或正交。跡線的切線則與梁的軸線平行或正交。yx三向應力狀態三向應力狀態一般的空間應力狀態一般的空間應力狀態：單元體三對：單元體三對平面上都有正應力和切應力，且切平面上都有正應力和切應力，且切應力可分解成沿坐標軸方向兩個分應力可分解成沿坐標軸方向兩個分量，獨立的應力分量有六個。量，獨立的應力分量有六個。 x z y xy定義定義231三個主應力都不為零的應力狀態三個主應力都不為零的應力狀態 7-5 7-5 三向應力狀態三向應力狀態 1 3 首先研究與其中一個主平面首先研究與其中一個主平面 （例如主應力（例如主應力 3 所在的平面）所在的平面）垂直的斜截面上的應力垂直的斜截面

30、上的應力 1 2 2 用截面法用截面法,沿求應力的沿求應力的截面將單元體截為兩部分截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對象取左下部分為研究對象 1 2 3 3 主應力主應力 3 所在的兩平面上是一所在的兩平面上是一對自相平衡的力對自相平衡的力,因而該斜面上的應因而該斜面上的應力力 , 與與 3 無關無關, 只由主應力只由主應力 1 , 2 決定決定 與與 3 垂直的斜截面上的應力可垂直的斜截面上的應力可由由 1 , 2 作出的應力圓上的點來表作出的應力圓上的點來表示示 1 2 3 3 2 1 該應力圓上的點對應該應力圓上的點對應于與于與 3 垂直的所有斜截面垂直的所有斜截面上的應力上的應力

31、 A 1O 2B 與主應力與主應力 2 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的應力面垂直的斜截面上的應力 , 可用由可用由 1 , 3作出的應力作出的應力圓上的點來表示圓上的點來表示C 3 與主應力與主應力 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的應力面垂直的斜截面上的應力 , 可用由可用由 2 , 3作出的應作出的應力圓上的點來表示力圓上的點來表示 該截面上應力該截面上應力 和和 對應對應的的D點必位于上述三個應力圓點必位于上述三個應力圓所圍成的陰影內所圍成的陰影內 abc 截面表示與三個主平截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面 1 2 1 2 3 A 1O 2BC 3結論結論 三個

32、應力圓圓周上的三個應力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空分上的點的坐標代表了空間應力狀態下所有截面上間應力狀態下所有截面上的應力的應力 該點處的最大正應力該點處的最大正應力（指代數值）應等于最大（指代數值）應等于最大應力圓上應力圓上A點的橫坐標點的橫坐標 11 1 max A 1O 2BC 3 最大切應力則等于最最大切應力則等于最大的應力圓的半徑大的應力圓的半徑 最大切應力所在的最大切應力所在的截面與截面與 1和和 3所在的主平所在的主平面成面成45角角.)(2131max 例例 單元體的應力如圖所示單元體的應力如圖所示,作應力圓作應力圓, 并求出主應

33、力和最大切應并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位力值及其作用面方位.解解: 該單元體有一個已知主應力該單元體有一個已知主應力MPa20 z 因此與該主平面正交的各截因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力面上的應力與主應力 z 無關無關, 依據依據 x截面和截面和y 截面上的應力畫出應力截面上的應力畫出應力圓圓. 求另外兩個求另外兩個主應力主應力40MPaxyz20MPa20MPa20MPaMPaMPaMPa MPa2 20 02 20 02 20 04 40 0 yxyxyx 由由 x , xy 定出定出 D 點點由由 y , yx 定出定出 D 點點 以以 DD為直徑作應力圓為直徑作

34、應力圓 A1,A2 兩點的橫坐標分別代兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力表另外兩個主應力 1 和和 3 A1A2 O C 1 3 1 =46MPa 該單元體的三個主應力該單元體的三個主應力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa 根據上述主應力，作出三個應根據上述主應力，作出三個應力圓力圓MPamax3636 1. 1. 基本變形時的胡克定律基本變形時的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 G 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律2 2、三向應力狀態的廣義胡克定律、三向應力狀態的廣義

35、胡克定律疊加法疊加法23132111E12311()E2()E3()E 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律=+23132111E13221E21331E 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律)(1zyxxE Gxyxy 3 3、廣義胡克定律的一般形式、廣義胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律 （1） 正應力正應力:拉應力為正拉應力為正, 壓應力為負壓應力為負1.1.符號規定符號規定 （2） 切應力切應力:對單元體內任一點取矩對單元體內任一點取矩,若若產生的

36、矩為順時針產生的矩為順時針,則則為正為正;反之為負反之為負 （3） 線應變線應變:以伸長為正以伸長為正, 縮短為負縮短為負; （4） 切應變切應變:使直角減者為正使直角減者為正, 增大者為負增大者為負. 7-8 7-8 廣義胡克定律廣義胡克定律 對于對于平面應力狀態平面應力狀態 （假設假設 z = 0, xz= 0, yz= 0）Gxyxy )(1yxxE )(1xyyE )(xyzE xyz xy x y yx x y xy yx二、各向同性材料的體積應變二、各向同性材料的體積應變123123 構件每單位體積的體積變化構件每單位體積的體積變化, 稱為稱為體積應變體積應變用用表示表示. 各向同

37、性材料各向同性材料在三向應力狀態下的體在三向應力狀態下的體積積應變：應變： 如圖所示的單元體如圖所示的單元體,三個邊長為三個邊長為 dx , dy , dz 變形后的邊長分別為變形后的邊長分別為 變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為3213213211 dddddd)1(ddd dddddd)1(d)1(d)1(d zyxzyxzyxzyxzyxzyxVVV )(21321E )(13211E )(11322E )(12133E )(21321E )21(3 EK令令體積彈性模量體積彈性模量)(31321 m平均主應力平均主應力Km 則則體積胡克定律體積胡克定律相同相同相等的單元體之相等的

38、單元體之力之和有關，力之和有關，體積應變僅與三個主應體積應變僅與三個主應 )(321 單元體的體積應變單元體的體積應變)(21321)(21321mmmmEEE m m m1、三向等值應力單元體的體積應變、三向等值應力單元體的體積應變3321m )(21321E 1 2 3dxdydz 這兩個單元體的體積應變相同這兩個單元體的體積應變相同 m m m mmmm321211EE 單元體的三個主應變為單元體的三個主應變為 如果變形前單元體的三個棱邊成某種比例如果變形前單元體的三個棱邊成某種比例,由于三個棱邊由于三個棱邊應變相同應變相同,則變形后的三個棱邊的長度仍保持這種比例則變形后的三個棱邊的長度

39、仍保持這種比例. 所以所以在三向等值應力在三向等值應力 m的作用下的作用下,單元體變形后的單元體變形后的形狀和形狀和變形前變形前的的相相似似,稱這樣的稱這樣的單元體單元體是形狀不變的。是形狀不變的。2.純剪切應力狀態下的體積應變純剪切應力狀態下的體積應變 即在小變形下即在小變形下,切應力不引起各向同性材料的體積改變切應力不引起各向同性材料的體積改變.xy 3102 0 在最一般的空間應力狀態下，材料的體積應變只與三個線應在最一般的空間應力狀態下，材料的體積應變只與三個線應變變 x , y , z 有關有關,仿照上述推導有仿照上述推導有)(21zyxE 在任意形式的應力狀態下在任意形式的應力狀態

40、下, 各向同性材料內一點處的體積應各向同性材料內一點處的體積應變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應力之和成正比變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應力之和成正比, 而與切應力無關而與切應力無關.例例5-4 已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：別為： 1=240 10-6， 2=160 10-6，彈性模量，彈性模量E=210GPa，泊松，泊松比為比為 =0.3， 試求該點處的主應力及另一主應變試求該點處的主應力及另一主應變。03 : 自自由由面面上上解解所以，該點處的平面應力狀態所以，該點處的平面應力狀態12,)

41、(1)(1122211 vEvE由廣義胡克定律由廣義胡克定律,MPa3 .20)(1MPa3 .44)(112222121 vvEvvE669132103 .3410)3 .443 .22(102103 . 0E;MPa3 .20; 0;MPa3 .44321 334 2. 例例1 圖a所示為承受內壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環向應變 t =350l06，若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內壓力。pppx1mlpODxABy圖

42、a1、軸向應力:(longitudinal stress)解：容器的環向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據平衡方程42DpDmpp4pDm m mxD圖bppp用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環向應力：(hoop stress)Dlplt22pDt3、求內壓（以應力應變關系求之）241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104 )2(469DEptt m外表面yp t tDd)d2(Dlpz圖cO復雜應力狀態的應變能密度復雜應力狀態的應變能密度 V應變能密度應變能密度 用用vd 表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度

43、表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度,稱為稱為畸變能密度畸變能密度 用用vV 表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度,稱為稱為體體積改變能密度積改變能密度應變能密度應變能密度v等于兩部分之和等于兩部分之和d V將廣義胡克定律代入上式將廣義胡克定律代入上式, 經整理得經整理得)(221133221232221E 332211,mmm令32131m 圖（圖（a）所示單元體的三個主應力不相等）所示單元體的三個主應力不相等,因而因而,變形后既發變形后既發生體積改變也發生形狀改變生體積改變也發生形狀改變. 圖（圖（b）所示單元體的三個主應力相等）所示單元體

44、的三個主應力相等,因而因而,變形后的形狀與變形后的形狀與原來的形狀相似原來的形狀相似,即只發生體積改變而無形狀改變即只發生體積改變而無形狀改變.adaa)()()( Vbb)()(V （a)mm（b)m123=+123（c)222222bbmmmmmm221231()()(2 ()23(1 2 )21 2()6Vm EEEba)()(VV )(21321E 圖圖 b 所示單元體的體積改變能密度所示單元體的體積改變能密度a單元體的應變能密度為單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變能密度所示單元體的體積改變能密度 )(221133221232221E 2321ba)(621)()(EVV 空間

45、應力狀態下單元體的空間應力狀態下單元體的 畸變能密度畸變能密度)()()(61213232221dEV (a) 1 2 3例例 用能量法證明三個彈性常數間的關系。Gv2212 純剪單元體的應變能密度為：純剪單元體應變能密度的主應力表示為： 312321232221221 Ev )(002)(02122 E21 E 12EG xyA13max,maxAFN（拉壓）（拉壓）maxmax WM（彎曲）（彎曲）（正應力強度條件）（正應力強度條件）*maxzzsbISF（彎曲）（彎曲）（扭轉）（扭轉）maxpWT（切應力強度條件）（切應力強度條件）max max 桿件基本變形下的強度條件桿件基本變形下的

46、強度條件7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論 （2）材料的許用應力）材料的許用應力,是通過拉（壓）試驗或純是通過拉（壓）試驗或純剪剪試驗測定試驗測定試試件在破壞時其橫截面上的極限應力件在破壞時其橫截面上的極限應力,以此極限應力作為強度指以此極限應力作為強度指標標,除以適當的安全系數而得除以適當的安全系數而得,即根據相應的即根據相應的試驗結果建立的強度試驗結果建立的強度條件。條件。 上述強度條件具有如下特點上述強度條件具有如下特點（1）危險點處于單向應力狀態或純剪切應力狀態；）危險點處于單向應力狀態或純剪切應力狀態； 對于復雜應力狀態，對于復雜應力狀態， 因因 1、2、 3有任意

47、比值，不可能做有任意比值，不可能做所有情況的試驗。另外，加載也有困難。所有情況的試驗。另外，加載也有困難。max max 滿足滿足max max 是否強度就沒有問題了？是否強度就沒有問題了？7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論強度理論：強度理論： 人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。范圍與實際相符合，上升為理論。 為了建立復雜應力狀

48、態下的強度條件，而提出為了建立復雜應力狀態下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。的關于材料破壞原因的假設及計算方法。7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論 （1）脆性斷裂）脆性斷裂 :無明顯的變形下突然斷裂無明顯的變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）屈服失效屈服失效(Yielding failure) 材料出現顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力材料出現顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2. 2. 斷裂失效斷裂失效(Fracture failure) （2）韌性斷裂）韌性斷裂 :產生大量塑性變形后斷裂產

49、生大量塑性變形后斷裂. 2.馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述, ,是第二強度理論是第二強度理論的萌芽的萌芽; 3.杜奎特杜奎特(C.Duguet)(C.Duguet)提出了最大切應力理論提出了最大切應力理論; 4.麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論, ,這是后來人們在這是后來人們在他的書信出版后才知道的他的書信出版后才知道的. .三、四個強度理論三、四個強度理論 1.伽利略播下了第一強度理論的種子伽利略播下了第一強度理論的種子; （1 1） 第一類強度理論第一類強度理論以脆斷作為破壞的標志以脆斷作為破壞的標志 包括包括:最大

50、拉應力理論和最大伸長線應變理論最大拉應力理論和最大伸長線應變理論 （2）第）第 二類強度理論二類強度理論以出現屈服現象作為破壞的標志以出現屈服現象作為破壞的標志 包括包括:最大切應力理論和形狀改變比能理論最大切應力理論和形狀改變比能理論1. 1. 最大拉應力理論最大拉應力理論（第一強度理論）（第一強度理論）7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論 無論材料處于什么應力狀態無論材料處于什么應力狀態, ,只要發生脆性斷裂只要發生脆性斷裂, ,都是由于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破都是由于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破壞拉應力數值。壞拉應力數值。 b1 斷裂條件斷裂條件 nb

51、1強度條件強度條件最大拉應力理論（第一強度理論）最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉鑄鐵扭轉7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論 適用范圍適用范圍： 1.1.適用于脆性材料的拉伸、扭轉；適用于脆性材料的拉伸、扭轉； 2.2.適合三向拉伸（脆、塑性材料）。適合三向拉伸（脆、塑性材料）。 3.3.只突出只突出1而未考慮而未考慮2、 3的影響，并且對沒有拉應力的狀的影響，并且對沒有拉應力的狀態也無法應用。態也無法應用。 2.2.最大伸長線應變理論（第二強度理論最大伸長線應變理論（第二強度理論) ) 基本假說基本假說:最大伸長線應變最大伸長線應變 1 是引起材料脆斷破

52、壞的是引起材料脆斷破壞的因素因素. 脆斷破壞的條件脆斷破壞的條件:Eb1 最大伸長線應變最大伸長線應變:)(13211E 強度條件強度條件:)(321 適用范圍適用范圍：雖然考慮了：雖然考慮了2、 3的影響，它僅與石料、的影響，它僅與石料、混凝土等少數脆性材料的實驗結果較符合。混凝土等少數脆性材料的實驗結果較符合。此理論對于此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料的斷裂較符合，如一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。斷裂準則斷裂準則 :b321)( 1.1.最大切應力理論最大切應力理論 ( (第三強度理

53、論第三強度理論) ) 基本假說基本假說: 最大切應力最大切應力 max 是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素. 根據根據:當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大切應力所在截面滑移而發生屈服失效會沿最大切應力所在截面滑移而發生屈服失效. 屈服條件屈服條件2smax 在復雜應力狀態下一點處的最大切應力為在復雜應力狀態下一點處的最大切應力為)(2131max 強度條件強度條件31 屈服準則屈服準則 :s31 s31 屈服條件屈服條件強度條件強度條件最大切應力理論（第三強度理論）最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭

54、轉低碳鋼扭轉 ss31n7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論實驗表明：實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發生較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發生塑性變形或斷裂的事實。塑性變形或斷裂的事實。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發生斷裂的現象。、不能解釋三向均拉下可能發生斷裂的現象。1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗證實最大影響達的影響，試驗證實最大影響達15%15%。2最大切應力理論（第三強度理論）最大切應力理論（第三強度理論）7-11 7-11 四種常用強度理論四種常用強度理論 無論材料處于什么應力狀態無論材料處于什么應力狀態, ,只要發生屈服只要發生屈服, ,都是都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。由于微