1、5-1 有限元法及其發(fā)展簡(jiǎn)史有限元法及其發(fā)展簡(jiǎn)史1. 有限元法l 定義 是一種工程物理問(wèn)題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個(gè)單元的組合，研究每個(gè)單元的特性，組裝各單元，通過(guò)變分原理，把問(wèn)題化成線性代數(shù)方程組求解。l 分析指導(dǎo)思想 化整為零，裁彎取直，以簡(jiǎn)馭繁，變難為易第五章 有限元法簡(jiǎn)介2. 發(fā)展簡(jiǎn)史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀(jì)60年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都

2、可用FEM求解 20世紀(jì)60年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用第五章 有限元法簡(jiǎn)介20u222222(0)uuuxyz3. 發(fā)展方向Q 新型單元的研究Q 有限元的數(shù)學(xué)理論Q 向新領(lǐng)域擴(kuò)展應(yīng)用Q 大型通用程序的編制和設(shè)計(jì) ANSYS, NASTRAN, ABAQUSQ 開發(fā)微機(jī)用版本Q 設(shè)計(jì)自動(dòng)化及優(yōu)化設(shè)計(jì)（CAD, CAE, CAM）第五章 有限元法簡(jiǎn)介4. 有限元法的分類 以方程中未知數(shù)代表的意義分類u 有限元位移法：未知數(shù)為位移u 有限元力法：未知數(shù)為力u 有限元混合法：未知數(shù)為力和位移 以推導(dǎo)方法分類u 直接法u 變分法u 加權(quán)余數(shù)法第五章 有限元法簡(jiǎn)介5-2

3、 有限元法分析簡(jiǎn)例有限元法分析簡(jiǎn)例oxyFx2(u2)Fy2(v2)Fx3(u3)Fy3(v3)Fy1(v1)Fx1(u1)12312圖5-1 簡(jiǎn)例結(jié)構(gòu)圖第五章 有限元法簡(jiǎn)介 由兩根桿件組成的桁架，桿件的截面積都為A，彈性模量為E，長(zhǎng)度為l1及l(fā)2，在節(jié)點(diǎn)處受有外力Fx1，F(xiàn)y1，F(xiàn)x2，F(xiàn)y2，F(xiàn)x3，F(xiàn)y3，求各節(jié)點(diǎn)的位移。第五章 有限元法簡(jiǎn)介分析步驟：1. 離散結(jié)構(gòu)物為有限個(gè)單元Rx2(u2)Ry2(v2)Ry1(v1)Rx1(u1)12111111111Ry2(v2)Rx3(u3)Ry3(v3)232222222Rx2(u2)22 分為2個(gè)單元，第一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1和2，第二個(gè)單元

4、的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為2和3。對(duì)于第一單元，在第1、2節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力為 ，表示節(jié)點(diǎn)施加在單元1上的節(jié)點(diǎn)力。相應(yīng)的位移為 。下標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，上標(biāo)表示單元的編號(hào)。同樣第二單元上節(jié)點(diǎn)2、3處的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分別為 和11111122,xyxyRRRR11111122,uvuv22222233,xyxyRRRR22222233,uvuv圖5-2 簡(jiǎn)例單元圖第五章 有限元法簡(jiǎn)介k11u1=111v1=0k21k31k4112u2=1v2= 011xyocos圖5-3 單元特性圖2. 研究單元特性 在單元分析中，主要是建立節(jié)點(diǎn)位移分量和節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系式。 令u11=1，v11= u12= v12= 0，則桿1的

5、變形量為1cos，由材料力學(xué)可知，桿1所受的軸向壓力P引起該位移的節(jié)點(diǎn)1的節(jié)點(diǎn)力分量11 cosPEAl12111111211coscos sinxyEARklEARkl由桿1處于平衡，可得節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力分量第五章 有限元法簡(jiǎn)介112231111124111coscos sinxxyyEARkRlEARkRl 同樣，如果給定v11=1，u11= u12= v12= 0及 u12=1，u11= v11= v12= 0以及 v12=1，u11= v11= u12= 0，將會(huì)得到另外三組節(jié)點(diǎn)力11111122,xyxyRRRR1112112122112321122421cossinsincos si

6、nsinxyxyEARklEARklEARklEARkl 1211311123112233112431coscos sincoscos sinxyxyEARklEARklEARklEARkl 1114112124112341122441cos sinsincos sinsinxyxyEARklEARklEARklEARkl v11=1，u11= u12= v12= 0u12=1，u11= v11= v12= 0v12=1，u11= v11= u12= 0第五章 有限元法簡(jiǎn)介第一單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系若同時(shí)給定位移u11，v11， u12 ，v12，由迭加原理，可得11111111 112

7、 113214211111121 122 123224211111231 132 133234211111241 142 1432442xyxyRk uk vk uk vRk uk vk uk vRk uk vk uk vRk uk vk uk v1122111122111122212112222coscossincoscossincossinsincossinsincoscossincoscossincossinsincossinsinxyxyRuRvEARluRv寫成矩陣形式第五章 有限元法簡(jiǎn)介采用剛度矩陣，可寫成11111112131411112122232411313233342211

8、4142434422xyxyRukkkkRvkkkkkkkkRukkkkvR因此，就得出了單元的特性：節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。 111RK 1R 單元的節(jié)點(diǎn)力列陣 1K 單元的剛度矩陣 1 單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣第五章 有限元法簡(jiǎn)介222222222232322330000010100000101xyxyRuRvEARluRv 同樣，可得到第二單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系（也可直接將 = 90帶入上一矩陣表達(dá)式，同時(shí)用 l2替代 l1） 222RK單元的特性對(duì)于單元的剛度矩陣 ，可以寫成分塊形式1K 1111122122KKKKK 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃?表示：當(dāng)單元 e 中節(jié)點(diǎn) j 取單位位移，且

9、其它節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，對(duì)應(yīng)于 i 節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力。eijK第五章 有限元法簡(jiǎn)介111111112212222RKKKKR單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系可寫成對(duì)于單元的剛度矩陣 ，也可以寫成分塊形式2K 2222233233KKKKK單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系可寫成222222223323333RKKKKR其中 表示 j單元 i節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力， jiR jjxiijyiRRR ji表示 j單元 i節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移， jjiijiuv第五章 有限元法簡(jiǎn)介3. 單元組裝用節(jié)點(diǎn)的平衡建立外力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系在整個(gè)結(jié)構(gòu)物上的外力Fx1，F(xiàn)y1，F(xiàn)x2，F(xiàn)y2，F(xiàn)x3，F(xiàn)y3在整個(gè)結(jié)構(gòu)物上的節(jié)點(diǎn)位移，節(jié)點(diǎn)1

10、：u1= u11， v1= v11 節(jié)點(diǎn)3 ：u3= u23， v3= v23節(jié)點(diǎn)2是單元1與單元2的連接點(diǎn)，它們的位移是協(xié)調(diào)的，即 u2= u12 = u22 ， v2 = v12 = v22 根據(jù)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡列出方程1221111221coscos sincoscos sinxxEAFRuvuvl節(jié)點(diǎn)1的x方向第五章 有限元法簡(jiǎn)介節(jié)點(diǎn)3的x方向節(jié)點(diǎn)3的y方向節(jié)點(diǎn)2的y方向122222211222312cos sinsincos sinsinyyyEAEAFRRuvuvvvll2330 xxFR233232yyEAFRvvl節(jié)點(diǎn)1的y方向節(jié)點(diǎn)2的x方向1221111221cos sins

11、incos sinsinyyEAFRuvuvl122222211221coscossincoscossinxxxEAFRRuvuvl第五章 有限元法簡(jiǎn)介上面6個(gè)方程可寫成矩陣形式2211112211111122211112221111233coscos sincoscos sin00cos sinsincos sinsin00coscos sincoscos sin00cos sinsincos sinsin110 xyxyxyllllFllllFFllllEAFlllllFF112223322000000110000uvuvluvll第五章 有限元法簡(jiǎn)介因此，組裝后就得到了整個(gè)結(jié)構(gòu)物的外力與

12、節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。 FK eKK K 總剛度矩陣， 111213212223313233KKKKKKKKKK結(jié)構(gòu)物由2個(gè)單元迭加而成，每一個(gè)單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)。 1111122122KKKKK 111121212200000KKKKK因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)物有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以 3 3K，其中每一個(gè)子矩陣2 2ijK將擴(kuò)展為3行3列，得到第五章 有限元法簡(jiǎn)介4. 形成方程 KF 2222233233KKKKK 222223323300000KKKKK同樣將擴(kuò)展為3行3列，得到因此組裝后的總剛度矩陣為 11121221222223323300KKKKKKKKK5. 解方程求位移5-3 有限元法分析過(guò)程概述有限元法分析過(guò)程概述1. 結(jié)構(gòu)物的離散結(jié)構(gòu)物的離散 u 選取坐標(biāo)（右手法則）u 選擇合適的單元，離散結(jié)構(gòu)物為有限個(gè)單元，并對(duì)單元、節(jié)點(diǎn)進(jìn) 行編號(hào)2. 選擇單元的位移模式選擇單元的位移模式 f 單元內(nèi)任意