1、2016年普通高等學校招生全國統一考試（課標全國卷3）理數一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5分）設集合S=x|（x-2）（x-3）列,T=x|x>0，貝USQT=（）A.2,3B.（-s,2U3,+1C.3,+）D.（0,2U3,+）4i2. （5分）若z=1+2i，則一一=（）Z21A.1B.-1C.iD.-i3. （5分）已知向量玉=（丄，辺），BC=（辺，丄），則/ABC=（）222A.30°B.45°C.60°D.120°4. （5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況

2、，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15C,B點表示四月的平均最低氣溫約為5C,下面敘述不正確的是（）七月七月平均最低氣溫平均最高氣溫A.各月的平均最低氣溫都在0C以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20C的月份有5個3（5分）若tana=-，貝U46448B.HC.14（5分）已知a=25.6.252cosa+2sin2a=()252丄,b=3,c=25，則(A.bvavcB.avbvcC.bvcvaD.cvavb7.(5分)執行如圖程序框圖，如果輸入的a=4,b=6，那么輸出的

3、n=()A.3B.4C.5D.6&（5分）在ABC中，B=',BC邊上的高等于BC，貝UcosA=（）A.=B.二C.D.-二10101010（5分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A.18+36-B.54+18"C.90D.81（5分）在封閉的直三棱柱ABC-AiBiCi內有一個體積為V的球，若AB丄BC,AB=6,BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）97U3271A.4nB.'C.6nD.23229. （5分）已知O為坐標原點，F是橢圓C:；=1（a>b>0）的左焦點，A,B分別aZ

4、bZ為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF丄x軸，過點A的直線I與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，貝UC的離心率為（）A.二B.-C.：D.：2 234（5分）定義規范01數列”an如下：an共有2m項，其中m項為0,m項為1,且對任意k<2m,a1,a2,，ak中0的個數不少于1的個數，若m=4，則不同的規范01數列"共有（）A.18個B.16個C.14個D.12個二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.-y+l>0（5分）（2015?新課標II）若x,y滿足約束條件*X-2y<0，則z=x+y的最大值x+2y-2<0為.14 .

5、（5分）函數y=sinx-吋.；cosx的圖象可由函數y=sinx+;cosx的圖象至少向右平移個單位長度得到.15 .（5分）已知f（x）為偶函數，當xv0時，f（x）=ln（-x）+3x，則曲線y=f（x）在點（1,-3）處的切線方程是.16 .（5分）已知直線l:mx+y+3m-；=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點，過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點，若|AB|=2:,則|CD|=.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.（12分）已知數列an的前n項和Sn=1+Aan,其中入侯（1）證明an是等比數列，并求其通項公式；（2）若S5=.求I18.（12分）如圖

6、是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.年份代碼f注：年份代碼1-7分別對應年份2008-2014.(1) 由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以證明；(2) 建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數據：廠yi=9.32，丁tiyi=40.17,-=0.55,一迄646.i=ii=iVi=l=,i=-i=l19. (12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AD/BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.證明：MN

7、/平面PAB;n_E（X-t）（yi-y）參考公式：=:.Je（ti-7）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.ECyi-y）2V1-1i=l回歸方程=.+-t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：nL（切-t）（y£-y）ai=1a八一220. (12分)已知拋物線C:y=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線11,匕分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.(I)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR/FQ;若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.21. (12分)設函數f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,記|f(x)|的

8、最大值為A.(H) 求f'(x);(H)求A;(川)證明：|f'(x)|電A.請考生在第22-24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-1:幾何證明選講22. (10分)如圖，OO中二的中點為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.(1) 若/PFB=2/PCD，求/PCD的大?。蝗鬍C的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明：OG丄CD.選修4-4:坐標系與參數方程_(Ct23. 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為'(a為參數)，以坐標原點y=sin為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為psin(肝丄)=2匚

9、.4寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(1) 設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.選修4-5:不等式選講已知函數f(x)=|2xa|+a.(1)當a=2時，求不等式f(x)詬的解集；(2)設函數g(x)=|2x1|,當xR時，f(x)+g(x)紹，求a的取值范圍.2016年普通高等學校招生全國統一考試(課標全國卷3)理數參考答案與試題解析1. D【分析】求出S中不等式的解集確定出S,找出S與T的交集即可.【解答】解：由S中不等式解得：x或x紹，即S=(-32U3,+R),T=(0,+3),SAT=(0,2U3,+3),故選：D.2. C【分析】利用復數的乘

10、法運算法則，化簡求解即可.【解答】解：z=1+2i，貝U=一=i.ZZ-1(1+21)(l-2i)-15-1故選：C.3. A【分析】根據向量丄的坐標便可求出二：，及；的值，從而根據向量夾角余弦公式即可求出cos/ABC的值，根據/ABC的范圍便可得出/ABC的值.【解答】解：'-|-，；|一卡-inr-wcosJZABC=BA-BC_V3IbaIIbcT2又ONABC<180°/ABC=30°故選A.4. D【分析】根據平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖進行推理判斷即可.【解答】解：A由雷達圖知各月的平均最低氣溫都在0C以上，正確B七月的平均溫差大約在10&

11、#176;左右，一月的平均溫差在5°左右，故七月的平均溫差比一月的平均溫差大，正確C.三月和一月的平均最高氣溫基本相同，都為10°正確D.平均最高氣溫高于20C的月份有7,8兩個月，故D錯誤，故選：DA22【分析】將所求的關系式的分母T化為(cos2a+sin2a),再將弦”化切”即可得到答案.【解答】解：tana=；,42.1+4X-;cos2cosa+2sin2a=,=,=sin2d+cos2tan2+125161故選：A.6.A【分析】【解答】b=4=,c=25=：，結合幕函數的單調性，可比較a,b,c,進而得到答案.42解：a=2=_,2b=3,2b=3,J.1c=

12、25=,綜上可得：bvavc,故選A7.B【分析】模擬執行程序，根據賦值語句的功能依次寫出每次循環得到的當s=20時滿足條件s>16,退出循環，輸出n的值為4.【解答】解：模擬執行程序，可得a,b,s,n的值,a=4,b=6,n=0,s=0執行循環體，a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不滿足條件s>16,執行循環體，不滿足條件s>16,執行循環體，不滿足條件s>16,執行循環體，滿足條件s>16,退出循環，輸出故選：B.不滿足條件s>16,執行循環體，不滿足條件s>16,執行循環體，不滿足條件s>16,執行循環體，滿足條件s>16,退出

13、循環，輸出故選：B.a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2a=2,b=4,a=6,s=16,n=3a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4n的值為4.【分析】作出圖形，令/DAC=0,依題意，可求得cos豈（討;燈）療,利用兩角和的余弦即可求得答案.【解答】解：設厶ABC中角A、B、C、對應的邊分別為a、b、c,AD丄BC于D,令/DAC=0BBD在ABC中，B=J,BC邊上的高AD=h=BC=a,433BD=AD=Jia,CD=a,33a在RtADC中，cos0=-=.=",故sin0=-:在ABC中，B=J,BC邊上的高AD=h=BC=a,433BD=AD=Jia,CD=a

14、,33a在RtADC中，cos0=-=.=",故sin0=-:枕qQj2()255/cosA=cos(匹+0)=cocosBsin匹sin-2.3 44252510故選：C.9. B【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱柱，進而得到答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱柱，其底面面積為：3>6=18,前后側面的面積為：3>6>2=36,左右側面的面積為：3>齊_疋=18:,故棱柱的表面積為：18+36+97=54+18:.故選：B.10. B【分析】根據已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的內切球半徑

15、為：，代入球的體積公式，可2得答案.【解答】解：IAB丄BC,AB=6,BC=8,AC=10.CxQ1A故三角形ABC的內切圓半徑r=2,2又由AA仁3,故直三棱柱ABCA1B1C1的內切球半徑為，2此時v的最大值二-j丄工,322故選：BA【分析】由題意可得F,A,B的坐標，設出直線AE的方程為y=k(x+a),分別令x=c,x=0，可得M,E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，結合離心率公式，即可得到所求值.【解答】解：由題意可設F(-c,0),A(a,0),B(a,0),令x=c,代入橢圓方程可得y=±51-=±,可得P(-c,2_),

16、a設直線AE的方程為y=k(x+a),令x=-c,可得M(-c,k(a-c),令x=0,可得E(0,ka),設OE的中點為H，可得H(0，竺)2由B,H,M三點共線，可得kBH=kBM,ka即為=,-ac-a化簡可得一:='，即為a=3c,a+c2可得e=.33故選：A.11. C【分析】由新定義可得，規范01數列”有偶數項2m項，且所含0與1的個數相等，首項為0,末項為1,當m=4時，數列中有四個0和四個1,然后一一列舉得答案.【解答】解：由題意可知，規范01數列”有偶數項2m項，且所含0與1的個數相等，首項為0,末項為1，若m=4，說明數列有8項，滿足條件的數列有：0,0,0,0,

17、1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1；0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.共14個.故選：C.'.2求在y軸的截距最大值.D點時，z最大，【分析】首先畫出平面區域，然后將目標函數變形為直線的斜截式,【解答】解：不等式組表示的平面區域如

18、圖陰影部分，當直線經過由廠2曲x+2y-2=0所以z=x+y的最大值為1+；214.-TTTT-【分析】令f(x)=sinx+&lcosx=2in(x+),則f(x-Q=2in(x+一-(),依題意可得332in(x+匹-Q)=2in(x-),由匹Q=2kn-(kZ),可得答案.3333【解答】【解答】解：Ty=f(x)=sinx+丫cosx=2in(x+，),y=sinx-cosx=2in(x-),33f(xQ)=2in(x+-Q)(Q>0),3令2in(x+丄-Q)=2in(x-),33則-Q=2kn-(kZ),33即滬-2kn(kZ),當k=0時，正數故答案為：:15.2x

19、+y+1=0.【分析】由偶函數的定義，可得f(-x)=f(x),即有x>0時，f(x)=lnx-3x，求出導數，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.【解答】解：f(x)為偶函數，可得f(-x)=f(x),當xv0時，f(x)=ln(-x)+3x，即有x>0時，f(x)=lnx-3x,f'(x)=3,可得f(1)=ln1-3=-3,f'(1)=1-3=-2,則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程為y-(-3)=-2(x即為2x+y+仁0.故答案為：2x+y+仁0.16.4|CDI即可.【分析】先求出m,可得直線I的傾斜角為30°再利用三角函數

20、求出【解答】解：由題意，|AB|=2，圓心到直線的距離d=3,1:'.=3曲+1直線I的傾斜角為30°過A,B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點,=4.=4.故答案為：4.17.【分析】（1）根據數列通項公式與前n項和公式之間的關系進行遞推,進行證明求解即可.（2）根據條件建立方程關系進行求解就可.【解答】解:（1）VSn=1+渝，入匪an老.當n支時，an=Sn-Sn-1=1+?an-1-an-1=?an-心-1,即（入-1）an=渝-1,入0=,an0.A入1.即入半，17.【分析】（1）根據數列通項公式與前n項和公式之間的關系進行遞推,進行證明求解即可.（2）根據條件建

21、立方程關系進行求解就可.【解答】解:（1）VSn=1+渝，入匪an老.當n支時，an=Sn-Sn-1=1+?an-1-an-1=?an-心-1,即（入-1）an=渝-1,入0=,an0.A入1.即入半，結合等比數列的定義-an是等比數列，公比-an是等比數列，公比當n=1時，S1=1+滋1=a1,當n=1時，S1=1+滋1=a1,1cZ-an=?(1cZ-an=?(n-1(2)若S5=31:,貝V若S5=1+入(|J,?)4=31=:,即(:)5=一仁_一，1-入3232則=-一，得店_1.1-X218.【分析】（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關關系，將已知數據代入相關系數方程，可

22、得答案；（2）根據已知中的數據，求出回歸系數，可得回歸方程，2016年對應的t值為9,代入可預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.【解答】解：（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關關系，理由如下：7_7Ey)Lt±y-i=ii=i099627-0.552.9106，/0.996>0.75,故y與t之間存在較強的正相關關系；n_7S(g-t)(yi-y)ztiyi7ty,Ci-li-19RQ(2)=、.=2-2).103,GF227_228E(tx-t)£_7ti=l1=1護ybt2.331-0.10342).92,y關于t的回歸方程=0.10t+0.92,2

23、016年對應的t值為9,A故,=0.10>9+0.92=1.82,預測2016年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸.19.【分析】（1）法一、取PB中點G,連接AG,NG,由三角形的中位線定理可得NG/BC,且NG=>-二再由已知得AM/BC,且AM=：BC，得到NG/AM，且NG=AM，說明四22邊形AMNG為平行四邊形，可得NM/AG,由線面平行的判定得到MN/平面PAB;法二、證明MN/平面PAB，轉化為證明平面NEM/平面PAB,在厶PAC中，過N作NE丄AC,垂足為E,連接ME，由已知PA丄底面ABCD，可得PA/NE,通過求解直角三角形得到ME/AB，由面面平行的判

24、定可得平面NEM/平面PAB，則結論得證；(2)連接CM，證得CM丄AD，進一步得到平面PNM丄平面PAD，在平面PAD內，過A作AF丄PM，交PM于F，連接NF，則/ANF為直線AN與平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【解答】(1)證明：法一、如圖，取PB中點G,連接AG,NG,N為PC的中點，NG/BC,且NG；2又AM=上海廠“,BC=4，且AD/BC,3 AM/BC，且AM=BC,2貝UNG/AM，且NG=AM,四邊形AMNG為平行四邊形，則NM/AG,/AG?平面PAB,NM?平面PAB,MN/平面PAB;法二、在厶PAC中，過N作NE丄AC

25、，垂足為E,連接ME,+-3?9在厶ABC中，由已知AB=AC=3,BC=4，得cos/ACB=一-2X4X33/AD/BC,cos匚，貝Usin/EAM3在厶EAM中，AM=二仁_2,AE=由余弦定理得：EM=由余弦定理得：EM=11'二=-2X-|x2X-|=|，/3x2./3>2_j_$)+(-)-4i-cos/AEM=2點922而在ABC中，cos/BAC=_"I2X3X39cos/AEM=cos/BAC，即/AEM=/BAC, AB/EM，貝UEM/平面PAB.由PA丄底面ABCD，得PA丄AC，又NE丄AC,NE/PANE/平面PAB./NEAEM=E,平面

26、NEM/平面PAB，貝UMN/平面PAB;(2)解：在AMC中，由AM=2,AC=3,cos/MAC=二，得CM2=AC2+AM232AC?AM?cos/MAC=%1-._r3二AM2+MC2=AC2,則AM丄MC,/PA丄底面ABCD,PA?平面PAD,平面ABCD丄平面PAD，且平面ABCD門平面PAD=AD,CM丄平面PAD，則平面PNM丄平面PAD.在平面PAD內，過A作AF丄PM，交PM于F,連接NF,則/ANF為直線AN與平面PMN所成角.在RtPAC中,由N是PC的中點，得AN=在RtPAM中,由PA?AM=PM?AF，得AF='PM4護+2'5W5sin-sin

27、-八:.2直線AN與平面PMN所成角的正弦值為，20.【分析】(I)連接RF,PF,利用等角的余角相等，證明/PRA=/PRF,即可證明AR/FQ;(H)利用PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求AB中點的軌跡方程.【解答】(I)證明：連接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF及AP/BQ，得/AFP+/BFQ=180°/PFQ=90°R是PQ的中點，RF=RP=RQ,PARBAFAR,/PAR=/FAR,/PRA=/FRA,/BQF+/BFQ=180。-/QBF=/PAF=2/PAR,/FQB=/PAR,/PRA=/PRF,AR/FQ.(n)設A(xi

28、,yi),B(X2,y2),F(2，0),準線為x=-£22Sapqf=|PQ|=|yi-y2|,22設直線AB與x軸交點為N,SAABF=|FN|yi-y2|,PQF的面積是ABF的面積的兩倍,2|FN|=1，XN=1，即N(1，0).-=2(X1-X2),(2設AB中點為M(x,y),由*得y2-化二2七'I"：=.'=，即y2=x-i.x-1yAB中點軌跡方程為y2=x-1.Pi1AR勺.0.-<Q21.【分析】(I)根據復合函數的導數公式進行求解即可求f'(x)；(n)討論a的取值，利用分類討論的數學，結合換元法，以及一元二次函數的最值

29、的性質進行求解；(川)由(I),結合絕對值不等式的性質即可證明：|f'(x)|<2A.【解答】(I)解：f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(II)當a時,|f(x)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)|<a+2(a-1)=3a-2=f(0),因此A=3a-2.2當0vav1時，f(x)等價為f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=2acosx+(a-1)cosx-1,令g(t)=2at+(a-1)t-1,則A是|g(t)|在-1,1上的最大值，g(-1)=a,g(1)=3a-2,且當t=上衛時，g(t)取得極小值，極小值為g(再

30、衛)=-自丁-仁-乂弊1,4a4a8aBa令-1vv1，得av(舍)或a>二.因此A=3a-24a35g(-1)=a,g(1)=3a+2,av3a+2,.t=1時，g(t)取得最大值，g(1)=3a+2，即f(x)的最大值為3a+2.綜上可得：t=1時，g(t)取得最大值，g(1)=3a+2,即f(x)的最大值為3a+2.-A=3a+2. 當0vaw時，g(t)在(-1,1)內無極值點，|g(-1)|=a,|g(1)|=2-3a,|g(-1)|v|g(1)|,A=23a,當vav1時，由g(-1)-g(1)=2(1-a)>0,得g(-1)>g(1)>g('

31、9;),4 4a又|gJ')-g(-1)：1:>0,4a8a2A=ig(")r-',綜上,A=«4a8a4<a<l5(III)證明：由(I)可得:|f'(x)|=|-2asin2x-(a-1)sinx|電a+|a-1|,當0va旦時，|f'(x)鬥+aW-4av2(2-3a)=2A,52當vav1時，A=1V+r,58a88a4x)|W+aWA,當a時，|f'(x)|W3a-1W6a-4=2A,綜上：|f'(x)|WA.22.【分析】(1)連接PA,PB,BC,設/PEB=/1,ZPCB=/2,ZABC=/3,ZPBA=/4,/PAB=/5，運用圓的性質和四點共圓的判斷，可得E,C,D,F共圓，再由圓內接四邊形的性質，即可得到所求/PCD的度數；(2)運用圓的定義和E,C,D,F共圓，可得G為圓心，G在CD的中垂線上，即可得證.【解答】(1)解：連接PB,BC,設/PEB=/1,ZPCB=/2,ZABC=/3,/PBA=/4，/PAB=/5,由OO中的中點為P,可得/4=/5,在厶EBC中，/1=/2+Z3,又/D=/3+/4,/2=/5,即有/2=/4，則/D=/1,則四點E,C,D,F共圓，可得/EFD+/PCD=180&