1、研卷知古今；藏書教子孫。函數(shù)的表示方法一、選擇題1 .在股票買賣過程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時(shí)價(jià)格曲線 y=f(x)(實(shí)線表示)，另一種是平 均價(jià)格曲線y = g(x)(虛線表示)如f(2) = 3是指開始買賣后兩個(gè)小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元;g(2)=3表示兩個(gè)小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元，下圖給出的四個(gè)圖象中，其中可能正確的是()ABCD解析：解答該題要注意平均變化率是一個(gè)累積平均效應(yīng)，因此可以得到正確選項(xiàng)為C.答案:Ca,a <b,2 .定義運(yùn)算。：a®b=3設(shè) F(x) = f(x) g(x),若 f(x) = sinx,g(x) = cosx,x C R，則 F(x)、b,

2、a> b.的值域?yàn)?).222A. -1,11 B.-,1C.-1, -D. -1- - 222解析：由已知得sin x,sin x < cosx, F (x) =sin x® cosx =cosx,sin x > cosx,即 F(x)=sin x, x 2k二，一 2k二, 44 k Z.二 5 二 ,cosx,x 一 2k 二，2k 二, 44F(x) =sinx,.3 二當(dāng) x =+2kn, +2kn ,k= Z 時(shí),F(x) C44二5 二.2F(x) = cosx,當(dāng) x = (一 +2,+ 2kK ),k C Z 時(shí),F(x) £ (-1,)

3、，故選 C.442答案:Ccos兀x, xM0,443.已知f (x)=,則f (一) + f ()的值為(J(x-1) +1,x>0,33A.-2B.-1cosx, x E0, J(x-1) +1,x >0,C.1D.2 . f(4) =f(4 一1) 1 =f(1 一1) . 1 1 333=f(-1) 2 3=cos(r 44 二 1"一/cos(一萬廠一2，f (4) f (_4) =1. 33故選C.答案：C4.函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù)，且xv 1時(shí),f(x) =x2+A.f(x) = x2-4x+41,則x>1時(shí),f(x)的解析式為()C.f(x) =x

4、2-4x-5解析：因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),所以 f(-x+1) =f(x+1),即 f(x) =f(2-x).當(dāng) x>1 時(shí),2-x<1,此時(shí)，f(2-x) =(2-x)2+l，即 f(x) = x2-4x+5.答案：BB.f(x) =x2-4x+5D.f(x) = x2+4x+5f(x)=ax的圖象單調(diào)遞增；當(dāng)xv 0時(shí)，函數(shù)f(x) = -ax的圖象單調(diào)遞減.故選B.答案：B，點(diǎn)P6 .如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周所旋轉(zhuǎn)過的1的長為1,弦AP的長為d,則函數(shù)d=f(l)的圖象大致是()解析：函數(shù)在0,兄上的解析式為d =寸'

5、;12 +12 -2 x1 x1 x cosl = 22 22cosl =4sin2! = 2sin -. 22在兀，2兀上的解析式為d = J2 2cos(2二l) =2sin；,故函數(shù)d = f(i)的解析式為d=2sinL,ie 0,2 x .2答案:C二、填空題sin( jix ). -1 < x < 0.7 .設(shè)函數(shù)f (x)=('若f+f(a) =2,則a的所有可能的值是 .ex-1,x>0,解析：由已知可得，當(dāng) a> 0 時(shí)，有 e0+ea-1=1+ea-1 = 2,，ea-1=1.，a-1=0.，a= 1.當(dāng)-1vav0時(shí),有 1+sin(a2

6、兀4 2,，sin(a2 兀4 1.21a2 =2k (k Z).2又-1 va< 0,0< a2<1, 一一 21.2當(dāng) k=0 時(shí)，有 a = ,，a=.22綜上可知答案：1或一上 28 .用一根長為12m的鋁合金條做成一個(gè)目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗，要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足，則框架的長與寬應(yīng)分別為 .1解析：由題意可知，即是求窗尸面積最大時(shí)的長與寬，設(shè)長為xm,則寬為(3 - x)m,211 0S =x(3-x)=1x 3x(0 x 二 6), 一， 一 9斛得當(dāng)x = 3時(shí)，Smax =.2，長為3m,寬為1.5m.答案:3m,1.5m9 .某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn) A

7、到中心點(diǎn)。的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn) A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A、B兩點(diǎn)間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d =, 其中 tC 0,60.2 二二 t解析：由題意，得當(dāng)時(shí)間經(jīng)過t(s)時(shí),秒針轉(zhuǎn)過的角度的絕對(duì)值是1 = 弧度，因此當(dāng)6030.一一二t . 2_2 _2_ _ _二 tte (0,30)時(shí),/AOB =一，由余弦定理彳導(dǎo)d2 =52 +52 2父 5M5cos一3030二 t2 二 t= 50(1-cos ) =100sin,3060二 td =10sin -60. .-7：t. 一;當(dāng)te (30,60)時(shí)，在4AOB 中，ZAOB

8、 = 2n ，由余弦定理，得.222, tt、d、52 52 -2 5 5cos(2二-一)=50(1-cos ) =100sin3030302 二 t二 t,d = 10sin，且當(dāng)6060t=0或30或60時(shí),相應(yīng)的d(cm)與t間的關(guān)系仍滿足 d=10sin.60t綜上所述，d =10sin淇中te 0,60.60.二 t答案：10sin -60三、解答題10 .已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f f(x)-x2+x =f(x)-x2+x.若f(2) = 3,求f;又若f(0) =a,求f(a);(2)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)xO,使彳# f(xO)=x0,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.解：(1

9、)因?yàn)閷?duì)任意xCR,有 f f(x)-x 2+x = f(x)-x 2+x,所以 f f(2)-2 2+2 = f(2)-2 2+2.又由 f(2) =3,得 f(3-22+2) = 3-22+2，即 f(1) =1.若 f(0) = a,則 f(a-02+0) = a-02+0,即 f(a) = a(2)因?yàn)閷?duì)任意 x e R，有 f f(x)-x 2+x = f(x)-x 2+x,又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)Xo,使得f(x0)=x0,所以對(duì)任意xC R,有f(x)-x 2+x = X0.在上式中令 X=Xo，有 f(Xo)-Xo2+Xo= Xo,又因?yàn)?f(Xo) = Xo，所以 Xo-Xo2

10、 = O.故 Xo= 0 或 Xo= 1.若 xo= 0,則 f(x)-x 2+x= 0,即 f(x) = x2-x.但方程x2-x = x有兩個(gè)不同實(shí)根，與題設(shè)條件矛盾，故 XoW 0.若 Xo= 1，則有 f(x)-x 2+x = 1,即 f(x) = x2-x+1.易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件.綜上，所求函數(shù)為f(x) = x2-x+1(x e R).11 .對(duì)定義域分別是 Df、Dg的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)=f (x) *g(x), x Dx Dg,4 f (x), xw Df且x Dg,.&(x), x 正 Df 且 xDg.12 1(1)右函數(shù)f (

11、x) =,g(x) = x,與出函數(shù)h(x)的解析式；x -1(2)求(1)中函數(shù)h(x)的值域；若g(x) = f(x+ a其中a是常數(shù)，且 必0,，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)及一個(gè)a的值，使得h(x) = cos4x,并予以證明.x 三(-二 1) ( (1 / )解：(1)h(x)= x-1(1) (),1,x =1.x2.1 一(2)當(dāng) xwi時(shí)，h(x) =x1 +2,x -1x 1若x>1,則h(x) >4,當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立；若x<1,則h(x) W0,當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.函數(shù) h(x)的值域是(-oo,0 U 1 U 4,+ 叫.(3)解法一:令

12、f(x) = sin2x+cos2x, u =,則 g(x) = f(x，=)=sin2(xJIJI+ ) +cos2(x +)= cos2x-sin2x,于是 h(x) = f(x) f(x+ a )=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x) = cos4x.解法二：令 f (x) = 1, 2 sin 2x,:二 一2，則 g(x) = f (x，工)=12 sin2(x -)=1- . 2sin 2x,于是 h(x) = f(x) f(x+ f(1 + 板sin 2x)(1 -41 sin 2x)=1-2sin22x= cos4x.12.設(shè)函數(shù) f(x) = |x2-4x-5

13、|.在區(qū)間-2,6上畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)設(shè)集合A=x|f(x) >5,B =(-oo-2 U 0,4 U 6,+ 8試判斷集合 A和B之間的關(guān)系，并 給出證明；當(dāng)k>2時(shí),求證:在區(qū)間-1,5上,y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.解：(1)LL !-二二二二二二*x Jt t-rml -l-TT-t十TT 工，J4T(2)B整A.證明如下：方程f(x)=5的解分別是2 714 ,0,4和2+$14,由于f(x)在(-8-1 和2,5上單調(diào)遞減，在-1,2和5,+ 8比單調(diào)遞增，因此,A= (-8,2)U 0,4 U2 + Ji4,+ 8)由于 2 +、府 <6,2 -14 >-2,.B：=A(3)證明:當(dāng) xC -1,5時(shí), f(x) = -x2+4x+5,g(x) = k(x+3)-(-x 2+4x+5)= x2+(k-4)x+(3k-5)=(x4 -k)22_k -20k 36.k>2,4 -k d1.2又-1 & x< 5,4k當(dāng)1 E