1、第五章用差分法和變分法解平面問題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

2、STERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314Bhh,ffx yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0,0 xh0,0 xhh223330230

3、00223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程220fx5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyh0fxNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

4、STERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo) 65782130068572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)fxyNORT

5、HEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計體力時，我們已把彈當(dāng)不計體力時，我們已把彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。界條件下求解

6、雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。后求解之。0 xy0312456789101112A1314Bhh40雙調(diào)和方程：雙調(diào)和方程：NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解1 1、應(yīng)力分量（不計體力）、應(yīng)力分量（不計體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對值

7、后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0 0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。0 xy0312456789101112A1314Bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各結(jié)點(diǎn)的如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程雙調(diào)和方

8、程 對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個差分方程。對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。444422420 xxyy整理即得整理即得2 2、差分方程（相容方程）、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性

9、力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的 值。值。為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得：代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）NORTHEASTERN UNIVE

10、RSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（由圖（52）可見）可見cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2因此，式（因此，式（b）可以改寫成）可以改寫成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力

11、學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解約去約去 dy、dx 得得： xyddffdsydsx ； （c）關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn)的值，可將上式從基點(diǎn) A A 到到 任意點(diǎn)任意點(diǎn)B B ，對對 s s 積分得到：積分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)

12、力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知，由高等數(shù)學(xué)可知，ddd.dddxysxsys 將此式亦從將此式亦從 A A 點(diǎn)到點(diǎn)到 B B 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 s s 進(jìn)進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B B 處的處的 值。為此利用分部積分法，得：值。為此利用分部積分法，得： dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERS

13、ITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解將式將式( (c),(dc),(d) )代入，整理得：代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整然后調(diào)整a，b，c三個數(shù)值，使得三個數(shù)值，使得由式由式(d)(d)及式及式(c)(c)可見，設(shè)可見，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界邊界s s上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)B B的的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()()d(

14、)dBBBABABABxByAAAAxxyyyy fsxxfsxy（e）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式于是式(d)，式式(e) 簡化為：簡化為：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 討論：討論：（1）（）（511）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和；方向的面力之和；x（2）（）（512）右

15、邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 方向的面力之和改號；方向的面力之和改號；y（3）（）（513）右邊積分式表示）右邊積分式表示AB之間，之間， 面力對面力對B的力矩之和；的力矩之和；（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值值139141022ABhxhy（514）0 xy0312456

16、789101112A1314Bhh1392Axh14102AyhNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進(jìn)行：用差分法解彈性平面問題時，可按下列步驟進(jìn)行：（2 2）應(yīng)用公式（）應(yīng)用公式（5 51414），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相值用邊界內(nèi)的相 應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來表示。值來表示。0AAAxy取取 （1 1）在邊界上任意選定一

17、個結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)）在邊界上任意選定一個結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處 的值，以的值，以及所必需的一些及所必需的一些 及及 值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。xy（3 3）對邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（）對邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（5 51010），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5

18、52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解（5 5）按照公式（）按照公式（5 59 9）計算應(yīng)力的分量。）計算應(yīng)力的分量。 說明：說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（5 51010）必須加）必須加以修正。以修正。（4 4）按照公式（）按照公式（5 51313），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。值。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYN

19、ORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程 設(shè)彈性

20、體在一定外力作用下，處于設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，發(fā)生的，發(fā)生的真實(shí)位移真實(shí)位移為為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 1

21、1d d dd dd2ijijUU x y zxyz NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111,xyxyxyxyUUU（515）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSIT

22、YNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能222121222 1EuvuvvuUxyxyxy 21EE1平面應(yīng)力 平面應(yīng)變22221222 1AEuvuvvuUdxdyxyxyxy （516）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能NORTHEASTERN UNIVERS

23、ITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 54 4彈性體的變形勢能和外力勢能彈性體的變形勢能和外力勢能,xyffS,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAsWf uf v dxdyf uf v ds（517）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5 位移變分方程位移變分方程N(yùn)ORTHE

24、ASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。命。命 為該彈性體中為該彈性體中實(shí)際存在實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。, ,u v w 假想假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件

25、所容許的微小改變，即，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移虛位移，或或位移變分位移變分, uv,uuuvvv對于三維時：對于三維時：,uuuuuuwww一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程給出彈性體的限制條件：給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變

26、（熱能沒變）；）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動能沒變）。）沒有速度改變（動能沒變）。根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：三維：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈

27、性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程二、虛功方程二、虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入位移變分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教

28、程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程對應(yīng)于二維情況sxyxyAxxyyxyxyAfufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虛功方程虛功方程，表示：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功虛功。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程三、極小勢能原理三、極小勢能原理令在

29、虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds將變分與定積分交換次序，移項0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 極小勢能原理極小勢能原理： （523） 0UVNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程極小勢能原

30、理極小勢能原理： （523） 0UV5 55 5位移變分方程位移變分方程 在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個值是極小值。 位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程5 56 6 位移變分法位移變分法NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHE

31、ASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程56位移變分法（瑞利-里茨法）位移變分法：位移變分法：（1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式；（2）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程核應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。（1）位移分量表達(dá)式）位移分量表達(dá)式00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐標(biāo)的函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)， 為為2m個互不依賴的待定系數(shù)個互不依賴的待定系數(shù)。00,u v,mmuv,mmABNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEA

32、STERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程（2）考察是否滿足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；us,u vus在邊界 上，令 等于零。,mmuv邊界條件滿足邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程位移分量的變分56位移變分法,mmm

33、mmmuuAvvB注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實(shí)現(xiàn)的。,mmAB（a）形變勢能的變分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入變分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uAf vBdsNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程56位移變分法移項，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB變分 是任意的，互不依賴的

34、，所以系數(shù)必須為零,mmAB00 x mx mAsmy my mAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）討論：（1）由于系數(shù)互不依賴，所以可由方程（526）求出各個系數(shù)；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應(yīng)變和應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNI

35、VERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計體力， 約束和外力如圖。圖：591 111 11uAuAxvBvB y（1）取位移分量表達(dá)式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足22221222 1AEuvuvvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的

36、例題形變勢能的表達(dá)式22111120022 1abEUABAB dxdy 進(jìn)行積分221111222 1EabUABAB由于不計體力，項數(shù)為1，（526）簡化為1111xsysUf u dsAUf v dsB（c）（d）（e）代入邊界條件積分NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)?211,UUq abq abAB （f）再把形變勢能（c）代入上式11121122222 1222 1EabABq abEabB

37、Aq ab 解得11,A B122111,qqqqABEE （g）NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程位移分量的解答1221,qqqquxvyEE （h）（4）由幾何方程求出應(yīng)變分量；（5）由物理方程求出應(yīng)力分量；57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程例2xy0aabb圖510問題描述：如圖問題描述：如圖510，不計體力，自由邊，不計體力，自由邊 給定位移：給定位移：求：薄板位移求：薄板位移（1）取位移分量表達(dá)式如下）取位移分量表達(dá)式如下220,1xuva （i）2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababb （j）（k）57位移變分法的例題NORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITYNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡明教程彈性力學(xué)簡明教程彈