1、 桿系問題以結點作為分割單元的桿系問題以結點作為分割單元的“結點結點”是很自然的，但是很自然的，但對于平面問題，待分析物體是連續的，并不存在實際結點。要對于平面問題，待分析物體是連續的，并不存在實際結點。要將物體將物體“拆拆”成單元，必須用一些假想的線或面作人為地分割。成單元，必須用一些假想的線或面作人為地分割。將物體進行分割時，必須保證相鄰單元具有公共邊界。假定相將物體進行分割時，必須保證相鄰單元具有公共邊界。假定相鄰單元僅在一些點（頂點或頂點加邊中點）相連接。這些點即鄰單元僅在一些點（頂點或頂點加邊中點）相連接。這些點即為為“結點結點”。實際計算時，可將連續體分成多種形狀單元，為。實際計算

2、時，可將連續體分成多種形狀單元，為討論簡單，現暫時規定只用一種單元來分割。討論簡單，現暫時規定只用一種單元來分割。 以位移為未知量的有限元法，以位移為未知量的有限元法，最關鍵的工作是建立單元位最關鍵的工作是建立單元位移場移場，因此本節主要介紹各種單元位移場的建立。，因此本節主要介紹各種單元位移場的建立。引引 言言 平面問題有限元法可用的單元很多，先介紹最簡單的單元：平面問題有限元法可用的單元很多，先介紹最簡單的單元：三角形。三角形。第四章 平面問題的有限元分析一、有限元法的基本思想一、有限元法的基本思想 假想的把一連續體分割成數目有限的小體（單元），彼此間只在數目有限的指定點（結點）出相互連結

3、，組成一個單元的集合體以代替原來的連續體，再在結點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。選擇一個簡單的函數來近似地表示位移分量的分布規律，建立位移和節點力之間的關系。 有限元法的實質是：把有無限個自由度的連續體，理想化為只有有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數值解法的結構型問題。二、經典解與有限元解的區別：二、經典解與有限元解的區別： 微分 數目增到 建立一個描述連續體經 典 解 法 （解析法） 大小趨于 0 性質的偏微分方程 有限單元 離散化 集合 總體分析解有限元法連續體單元代替原連續體（近似法） （單元分析） 線性方程組xy為平面應力問題，由于結構的對稱性可取結構的1/4來

4、研究，故所取的力學模型三、有限元法算題的基本步驟三、有限元法算題的基本步驟1. 力學模型的選取力學模型的選取 （平面問題，平面應變問題，平面應力問題，軸對稱問題，空間問題，板，梁，桿或組合體等，對稱或反對稱等）例如： 根據題目的要求，可選擇適當的單元把結構離散化。對于平面問題可用三角元，四邊元等。2. 單元的選取、結構的離散化單元的選取、結構的離散化例如：結構離散化后，要用單元內結點的位移通過插值來獲得單元內各點的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項式，一般來說，單元位移多項式的項數應與單元的自由度數相等。它的階數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型

5、而定。 eNf3. 選擇單元的位移模式選擇單元的位移模式（4-1） f單元內任一點的位移列陣； e單元的結點位移列陣； N單元的形函數矩陣；（它的元素是任一點位置坐標的函數） eB eBD4. 單元的力學特性分析單元的力學特性分析 把（3-1）式代入幾何方程可推導出用單元結點位移表示的單元應變表達式：（4-2）式中： 單元內任一點應變列陣； B單元的應變矩陣；（它的元素仍為位置坐標的 函數） 再把（4-2） 式代入物理方程，可導出用單元結點位移列陣表示的單元應力表達式：（4-3）最后利用彈性體的虛功方程建立單元結點力陣與結點位移列陣之間的關系，即形成單元的剛度方程式： eeekR vTedxd

6、ydzBDBk式中： 單元內任一點的應力列陣； D單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關）式中：單元剛度矩陣（4-4）（4-5） ek考慮整體結構的約束情況，修改整體剛度方程之后，（4-6）式就變成以結點位移為未知數的代數方程組。解此方程組可求出結點位移。 用直接剛度法將單剛組集成總綱，并將組集成總載荷列陣，形成總體結構的剛度方程： ek K eR R（4-6） 解出整體結構的結點位移列陣后，再根據單元結點的編號找出對應于單元的位移列陣，將代入（4-3）式就可求出各單元的應力分量值。 e e RK5. 建立整體結構的剛度方程建立整體結構的剛度方程6. 求解修改后的整體結構剛度方程求解修改后的整體

7、結構剛度方程7. 由單元的結點位移列陣計算單元應力由單元的結點位移列陣計算單元應力 求解出整體結構的位移和應力后，可有選擇地整理輸出某些關鍵點的位移值和應力值，特別要輸出結構的 變形圖、應力圖、應變圖、結構仿真變形過程動畫圖及整體結構的彎矩、剪力圖等等。8. 計算結果輸出計算結果輸出一、離散化一、離散化 在運用有限單元法分析彈性力學平面問題時，第一步就是要對彈性體進行離散化，把一個連續的彈性體變換為一個離散的結構物。對于平面問題，三角形單元是最簡單、也是最常用的單元，在平面應力問題中，單元為三角形板，而在平面應變問題中，則是三棱柱。 假設采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個互不重疊的三角形。這

8、些三角形在其頂點（即節點）處互相連接，組成一個單元集合體，以替代原來的彈性體。同時，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節點上，成為等效節點載荷。由此便得到了平面問題的有限元計算模型，如下圖所示。 FF1F2F3xoyQ 結構物的離散結構物的離散Q 假定三角形單元的位移模式假定三角形單元的位移模式 imjuiviujvjv(x,y).u(x,y)umvm(x,y)xyo ufv 123456,u x yxyv x yxy TmmjjiiTTmTjTievuvuvu Tiiivu（i，j，m 輪換） (a)三角形單元中的節點位移如下：三角形單元中

9、的節點位移如下： iiiejjjmmmuvuvuv 建立單元內任意點的位移與節點位移的關系，單元節點位建立單元內任意點的位移與節點位移的關系，單元節點位移坐標為移坐標為( xi,yi ), ( xj,yj ), ( xm,ym ) 每一點的位移由下列方程給出，在每一點的位移由下列方程給出，在 i點上點上 的水平位移方程為：的水平位移方程為： ui= 1+ 2 xi + 3 yi uj= 1+ 2 xj + 3 yj um= 1+ 2 xm + 3 ym根據克萊姆法則，可求出根據克萊姆法則，可求出 1， 2 ， 3 11AA1121iijjmmxyAxyxy 1iiijjjmmmuxyAuxyu

10、xy其中其中22AA2111iijjmmuyAuyuy33AA3111iijjmmxuAxuxu2111111ijiijmjmmyyyAuuuyyy iijjmmu bu bu b3111111ijiijmjmmxxxAuuuxxxi ijjm mucu cu c其中其中ijmmjijmimjax yx ybyycxxijm1iijjiiijmjjmmmmxyxyxyAuuuxyxyxyiijjmmu au au a展開后展開后123,u x yxy1212iijjm mi ijjm mi ijjm miiiijjjjmmmmuau au ax ubu bu by ucu cu cabx c

11、y uab x c y uab x c y u令令1,2iiiiNx yab xc y(i, j, m), ,iijjmmiii j muN uN uN uN uNi 單元的形函數單元的形函數可得可得同理可得同理可得 vi = 4+ 5xi+ 6yi vj = 4+ 5xj+ 6yj vm = 4+ 5xm+ 6ym解出解出 4 , 5 , 6 456( , )1212iijjmmiijjmmiijjmmiiiijjjjmmmmv x yxyv av av ax v bv bv by v cv cv cab xc y vab xc y vab xc y v, ,iijjmmiii j mvN

12、vN vN vN v可以寫成可以寫成 000000eiiijmjijmjmmuvNNNuufNNNvvuv 寫成矩陣寫成矩陣形式形式所以，單元的位移模式：所以，單元的位移模式： N 形態矩陣形態矩陣 efNQ 單元的應變單元的應變 由于由于 xyxy xyxyuxvyuvyx根據幾何方程根據幾何方程12121122iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmub ub ubuxvc vc vcvyuvc uc ucub vb vbvyx得出得出 00010002iiijmejijmjiijjmmmmuvbbbucccBvcbcbcbuv 寫成矩陣形式寫成矩陣形式矩陣矩陣B稱為幾何矩陣稱為幾

13、何矩陣 ijmBBBB0102iiiiibBccb 因此單元內任一點的應變是節點位移的函數因此單元內任一點的應變是節點位移的函數, B 是常數，是常數，所以三角形單元是常應變單元所以三角形單元是常應變單元。其中其中（i= i, j, m）Q 單元的應力單元的應力 根據彈性方程根據彈性方程 D eDB令令S=DB S 應力應力矩陣矩陣把把S矩陣分塊，得矩陣分塊，得 iiSDB ijmSDBDBDB其中其中Si如下如下(i=i, j, m)對于平面應力情況對于平面應力情況 22 11122iiiiiiibcESbccb（i=i, j, m)對于平面應變情況對于平面應變情況2,11EE 112 11

14、 211 21 22 12 1iiiiiiibcESbccb（i=i, j, m)可知，三角形單元中的應力各處相等可知，三角形單元中的應力各處相等Q 形函數的性質形函數的性質 1( , )()2iiiiN x yab xc y1211iijjmmxyxyxy 1,12iiiiiiiiNx yab xc y4-3 形函數的性質及面積坐標形函數的性質及面積坐標形函數在節點形函數在節點i上的值上的值=1 形函數在節點上的值形函數在節點上的值在三角形面積表示的行列式中以第一行展開在三角形面積表示的行列式中以第一行展開ijmjmax yy xijmbyyimjcxx2iiiiiab xc y Ni 在其

15、余二節點上的值等于零在其余二節點上的值等于零 把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數余子式把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數余子式 把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數余子式把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數余子式 ,1()()021()()02ijjiijijimmiimimN x yab xc yN x yab xc y同理可得同理可得(,)1jjjN x y( ,)0jiiN x y ,()0immN x y( ,)0miiNx y (,)0mjjNx y,()1mmmNx y,1()0ijjijNx yijij( , ,)i j m當當所以所以 在單元上任一點的三個形

16、函數之和等在單元上任一點的三個形函數之和等于于 1 在三角形單元任一邊如在三角形單元任一邊如 i j 邊上的形函數邊上的形函數( , )( , )( , )1()2ijmiiijjjmmmN x yNx yNx yab xc yab xc yab xc y1()()121() 12ijmijmijmijmaaabbb xccc yaaa(,)1(,)iijiijjixxNxyxxxxNxyxx 利用形函數的這一性質可以證明，相鄰單元的位移分別進利用形函數的這一性質可以證明，相鄰單元的位移分別進行線性插值之后，在其公共邊上將是行線性插值之后，在其公共邊上將是連續的連續的。Q 面積坐標面積坐標ii

17、LjjLmmLijmmijxyop 面積坐標的定義面積坐標的定義 在三角形內任意一點在三角形內任意一點p定義定義 i, j, m分別表示節點分別表示節點i, j, m所對應的三角形面積。所對應的三角形面積。 i+ j+ m= Li+Lj+Lm=1根據面積坐標的定義可知根據面積坐標的定義可知 在節點在節點i, 即即p點移到點移到i點點, i= , Li=1, j= m=0 在節點在節點j, 即即p點移到點移到j點點, j= , Lj=1, i= m=0 在節點在節點m, 即即p點移到點移到m點點, m= , Lm=1, i= j=0 面積坐標與形函數的關系面積坐標與形函數的關系1111221121212ijjiiimmiiiiiijjjjjjmmmmmmxyxyab xc yxyLab xc yNLab