1、上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強1.7 無窮小的比較無窮小的比較一、無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價無窮小代換二、等價無窮小代換三、小結三、小結上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強一、一、無窮小的比較無窮小的比較 0 x 2,2x xx 引例引例 觀察下表，當觀察下表，當時，對函數時，對函數的變化進行對比的變化進行對比 當當0 x 時，函數時，函數x2比比x趨近于零的速度要快得多，趨近于零的速度要快得多，而函數而函數2x與與x趨近于零的速度相當趨近于零的速度相當 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例如例如, ,xxx2

2、lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, , 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同. .;22要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限型）型）（00上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強；記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果)(,0lim)1( o 定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中

3、的兩個無設設;, 0lim)3(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 C;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地，特殊地， 低階的無窮小低階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果 lim)(上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，02lim20 xxx，1sinlim0 xxx;202高階的無窮小高階的無窮小是比是比時，時，當當xxx ).0()2(2 xxox即即是等價無窮小是等價無窮小與與時，時，當當xxxsin0).0(sinxxx即即例如，

4、例如，上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例例1 1.sintan,0:的三階無窮小的三階無窮小為為時時當當證明證明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強的主要部分的主要部分是是稱稱為為必要條件必要條件是等價無窮小的的充分是等價無窮小的的充分與與定理定理 ).(1o證證必要性必要性，設設 1limlim ，0 ，即，即)()( oo

5、充分性充分性設設)( o )(limlimo）（ )(limo，1 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強意義：用等價無窮小可給出函數的近似表達式意義：用等價無窮小可給出函數的近似表達式例如例如, ,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0時時當當 xxycos1 221yx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例例解解)1ln(lim1

6、lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則當則當uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時，時，即，當即，當上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強二、等價無窮小代換二、等價無窮小代換定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例例20tan 2lim.1cosxxx

7、 求求解解210, 1cos,tan2 2 .2xxxxx當當時時202(2 )lim12xxx 原原式式. 8 若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限窮小代換，而不會改變原式的極限上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換. .切記，只可對函數的因子作等價無窮小代換，切記，只可對函數的因子作等價無窮小代換，對于代數和中各無窮小不能分別代換對于代數和中各無窮小不能分別代換. .

8、注意注意例例0(1)sinlim.arcsinxxxx 求求解解0, sin,arcsin.xxxxx當當時時0(1)limxxxx 原原式式. 1 )1(lim0 xx上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例例30tansinlim.sin 2xxxx 求求解解0,tan,sin.xxxxx當當時時30lim(2 )xxxx 原原式式. 0 解解0,x 當當時時)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx33012lim(2 )xxx 原原式式.161 錯錯 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強例例6 60tan5cos1lim

9、.sin3xxxx求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx 22015( )()2lim3( )xxo xxo xxo x 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強三、小結三、小結1 1、無窮小的比較、無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, , 兩無窮小趨于零的速度快兩無窮小趨于零的速度快慢慢, , 但并不是所有的無窮小都可進行比較但并不是所有的無窮小都可進行比較. .2 2、等價無窮小的代換、等價無窮小的代換: :求極限的又一種方法求極限的又一種方

10、法, , 注意適用條件注意適用條件. .高高( (低低) )階無窮小階無窮小; ; 等價無窮小等價無窮小; ; 無窮小的階無窮小的階. .上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強思考題思考題任何兩個無窮小都可以比較嗎？任何兩個無窮小都可以比較嗎？上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強思考題解答思考題解答不能不能例當例當 時時x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時x上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強一、一、 填空題：

11、填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練練 習習 題題上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強7 7、當、當0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當、當0 x時，無窮小時，無窮小xcos1 與與nmx等價，則等價，則 ._,nm 二、求下列各極限：二

12、、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設四、設 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達式的表達式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學數學與計算科學學院 王文強一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5