1、14-1 超靜定結構概述超靜定結構概述目錄目錄14-2 變形比較變形比較法法 能量法能量法14-3 用力法解超靜定結構用力法解超靜定結構 超靜定結構概述超靜定結構概述一一.回顧：回顧： 對于超靜定問題，在上冊的各章節中，已作了一定程度的對于超靜定問題，在上冊的各章節中，已作了一定程度的研究，研究，如拉壓部分的如拉壓部分的拉壓超靜定拉壓超靜定，扭轉部分的，扭轉部分的扭轉超靜定扭轉超靜定，彎，彎曲部分的曲部分的彎曲超靜定彎曲超靜定等。本章主要研究彎曲超靜定梁的三種求等。本章主要研究彎曲超靜定梁的三種求解方法解方法變形比較法、能量法、力法變形比較法、能量法、力法。二二.基本概念：基本概念： 1. 桁

2、架桁架： 由直桿通過由直桿通過鉸鏈鉸鏈連接組成桿系，且連接組成桿系，且載荷只作用于節點上載荷只作用于節點上，則，則每一桿件只每一桿件只承受拉伸或壓縮承受拉伸或壓縮，這種桿系稱為，這種桿系稱為桁架桁架。 2. 剛架剛架： 若直桿通過若直桿通過剛節點剛節點相連接組成桿系，在載荷作用下，各桿相連接組成桿系，在載荷作用下，各桿可以可以承受拉伸、壓縮、彎曲和扭轉承受拉伸、壓縮、彎曲和扭轉，這種桿系稱為，這種桿系稱為剛架剛架。( b) 3. 連續梁：連續梁： 若桿系是連續跨過若干個支座的梁，則稱為若桿系是連續跨過若干個支座的梁，則稱為連續梁連續梁。FCABqD(c) 4. 平面桿系：平面桿系： 若桿系中各

3、桿的軸線在同一平面內（形心主慣性平面），且若桿系中各桿的軸線在同一平面內（形心主慣性平面），且外力也都作用于這一平面內，則稱為外力也都作用于這一平面內，則稱為平面桿系平面桿系。本章主要討論本章主要討論平面桿系平面桿系。6.超靜定次超靜定次數數： 未知力數目與靜力學平衡方程數目之差。未知力數目與靜力學平衡方程數目之差。目錄目錄 5. 超靜定結構超靜定結構： 由靜力平衡方程可以求得全部未知力的結構稱為由靜力平衡方程可以求得全部未知力的結構稱為靜定結構靜定結構 或或靜定系統靜定系統。反之稱為。反之稱為超靜定結構超靜定結構或或超靜定系統超靜定系統。（1）外力超靜定結構：）外力超靜定結構：支座反力不能全

4、由平衡方程求出支座反力不能全由平衡方程求出的的超靜定結構。如前面的超靜定結構。如前面的(b)、(c)圖。圖。（2）內力超靜定結構：）內力超靜定結構：支座反力可由平衡方程求出，但支座反力可由平衡方程求出，但桿桿件的內力卻不能全部由平衡方程求出件的內力卻不能全部由平衡方程求出，稱為內力超靜定結，稱為內力超靜定結構。如前面的構。如前面的(a) 圖。圖。當然，也有外力、內力均為超靜定的結構。當然，也有外力、內力均為超靜定的結構。7. 基本靜定系：基本靜定系： 解除超靜定結構的某些約束后，得到的靜定結構，稱為原解除超靜定結構的某些約束后，得到的靜定結構，稱為原超靜定結構的超靜定結構的基本靜定系基本靜定系

5、?；眷o定系可以有不同的選擇，不是唯一的?；眷o定系可以有不同的選擇，不是唯一的。三三. 超靜定結構超靜定結構的求解方法：的求解方法： 1.變形比較法（疊加法）變形比較法（疊加法） 2.能量法能量法 3.力法力法 在基本靜定系上，除原有載荷外，還應該用相應的多在基本靜定系上，除原有載荷外，還應該用相應的多余約束反力代替被解除的多余約束。余約束反力代替被解除的多余約束。把載荷和多余約束反把載荷和多余約束反力作用下的基本靜定系稱為力作用下的基本靜定系稱為原結構的原結構的相當系統相當系統。 與靜定結構不同，超靜定結構的一些支座往往并不是與靜定結構不同，超靜定結構的一些支座往往并不是維持結構的幾何不變

6、所必需的，因此，把這類約束稱為維持結構的幾何不變所必需的，因此，把這類約束稱為多余約束多余約束。與多余約束對應的約束反力稱為。與多余約束對應的約束反力稱為多余約束力多余約束力。14-1 變形比較變形比較法法 能量法能量法2.舉例說明：舉例說明：一一.變形比較法（變形比較法（疊加法）：疊加法）：(1)解除解除多余約束多余約束, 代以代以多余約束多余約束反力反力, 建立建立基本靜定系；基本靜定系；1.求解步驟求解步驟：(2) 將將基本靜定系基本靜定系分解成分解成各個載荷各個載荷單獨作用單獨作用情況情況的的疊加疊加, 并求出并求出各個載荷各個載荷單獨作用單獨作用下下多余約束處多余約束處的的 變形量。

7、變形量。(3)根據根據多余約束處多余約束處的的變形條件變形條件，建立，建立變形幾何關系變形幾何關系， 求出求出未知約束反力未知約束反力。例例14-1：試求圖示靜不定梁的約束反力。試求圖示靜不定梁的約束反力。qBL（1）建立基本靜定系統如圖）建立基本靜定系統如圖所示所示 （2）將圖）將圖分解成圖分解成圖和圖和圖兩種情況的疊加兩種情況的疊加圖中：圖中：解：解：qRBB(a)fBqq(b)RBB(C)(fB)RB（3）建立變形協調條件：）建立變形協調條件：因因B點實際為一點實際為一活動鉸支座活動鉸支座，故，故 0Bf即：即： RLREILREIqLBB8303834EIqLfqB84 EILRfBR

8、BB33 EILREIqLfffBRBBqBB3834 總結：總結：利用利用變形比較法變形比較法解題解題, 思路思路較為較為清晰清晰, 其中的各其中的各 基本變形量基本變形量的的求解方法求解方法也較為也較為靈活靈活, 是求解是求解靜不定靜不定 問題問題的的基本方法?；痉椒?。二二.能量法：能量法： 所謂用所謂用能量法能量法求解求解靜不定問題靜不定問題, 實際上是用實際上是用能量法能量法計算計算多余多余約束處約束處, 在在載荷載荷和和多余約束反力多余約束反力共同作用下的共同作用下的變形變形, 并使其滿足并使其滿足多余約束處多余約束處的的變形條件變形條件, 從而建立從而建立變形協調條件變形協調條件

9、。1步驟：步驟： (1). 建立建立基本靜定系。基本靜定系。 (2). 列出列出彎矩方程彎矩方程 ， xM 并對并對多余約束處多余約束處的的約束反力約束反力求求偏導偏導 。 BRxMBf(3). 利用利用卡氏定理卡氏定理求求多余約束處多余約束處的的位移位移 。 建立建立變形協調條件變形協調條件, 確定確定多余約束反力。多余約束反力。 （能量法中以卡氏定理求解超靜定問題特點較為突出，下面以（能量法中以卡氏定理求解超靜定問題特點較為突出，下面以卡氏定理卡氏定理為例為例進行說明）進行說明）如圖：如圖： 22qxxRxMB xRxMB根據卡氏定理：根據卡氏定理： （1）建立基本靜定系）建立基本靜定系如

10、圖所示：如圖所示：（2）求解）求解 xM及及 BRxM解：解： qLRLEIdxRxMEIxMfBLBB83143qRBBx例例14-2舉例說明舉例說明仍以上例為例進行說明仍以上例為例進行說明（3）建立變形協調條件并確定）建立變形協調條件并確定 BR由于由于B點實際為一活動鉸，故點實際為一活動鉸，故 0Bf即：即： 083143qLRLEIBRLRB83（所求（所求數值為正數值為正，說明，說明RB的的實際作用方向與假設方向一致實際作用方向與假設方向一致）目錄目錄一力法及正則方程的概念一力法及正則方程的概念舉例說明：舉例說明：曲桿曲桿如如圖圖 (a) 所示所示, 試求試求支座支座 B 的的約束反

11、力。約束反力。44PABOa4PABO1X解解: 1. 建立建立基本靜定系基本靜定系如如圖圖 (b) 所示。所示。 2. 將將靜定系靜定系分解成分解成圖圖 (c) 和和圖圖 (d) 兩種情況兩種情況的的疊加。疊加。(a)4PABOP14ABO1X1X(b)(c)(d)14-2 用力法解超靜定結構用力法解超靜定結構1表示表示, 則則: 11X1P1（1）4ABO111如如圖圖 (d) 所示。所示。11因在因在線彈性范圍線彈性范圍內內, 位移與力位移與力成成正比正比, 故故 表示曲桿在表示曲桿在B點處作用垂直向上的點處作用垂直向上的 單位力時的豎向位移，單位力時的豎向位移， 圖圖 (e) 所示。所

12、示。1X是是單位力單位力1的的 1X倍。倍。 1111XX1（2） 代代（2）入入（1）式）式可得：可得：1111P1X（3）11X11的的 1X倍倍，即：，即： 相應地相應地 也應該是也應該是若若 B 點點的的豎向位移豎向位移用用 (e)若以若以3. 建立建立變形協調條件變形協調條件, 并確定并確定 1X因因 B 點點原為一原為一可動鉸支座可動鉸支座, 故故 01即：即：0X1111P（4） 從而從而：111P1X44PABOa 式（式（4）所表示的標準式的方程式稱為）所表示的標準式的方程式稱為力法的正則方程力法的正則方程，而，而上述的解題過程中以上述的解題過程中以“力力 1X”為基本未知量

13、，由變形協調條件為基本未知量，由變形協調條件 01建立補充方程建立補充方程 01111XP的方法稱為的方法稱為力法力法。 對對二次靜不定問題二次靜不定問題, 正則方程正則方程可寫為可寫為0XX1P2121110XX2P222121N 次靜不定次靜不定0.X.XX.nP2P1Pn21nnn2n12n22211n1211n21.或或寫成寫成iipiij0Xjiij iX式式中：中：ipi 多余約束多余約束處的處的多余約束反力。多余約束反力。 載荷載荷在在多余約束處多余約束處引起的引起的位移。位移。 位移系數：位移系數： 單位力單位力在在多余約束處多余約束處引起的引起的位移。位移。 i 發生發生位移

14、位移的的位置位置 (多余約束多余約束處處). j 引起引起位移位移的的原因原因 (單位力單位力). 多余約束多余約束處的處的已知位移。已知位移。0.X.XX.nP2P1Pn21nnn2n12n22211n1211n21.廣義力廣義力廣義位移廣義位移2. 分別計算分別計算 1P2P112112 22具體結果具體結果可根據可根據莫爾定理莫爾定理求得。求得。各項各項的的物理意義物理意義分別如分別如圖圖 c、d、e 所示。所示。1. 建立建立基本靜定系基本靜定系如如圖圖 b 所示：所示：解：解：P2X1X(b)P1P2P(c)1121(d)1例例 14-3 ：圖圖 a 為一個為一個二次靜不定梁二次靜不

15、定梁, 試求其試求其正則方程：正則方程： PB(a) 解除解除多余約束多余約束, 代以代以 多余約束反力多余約束反力 ( 假設方向假設方向 )。載荷載荷單獨作用單獨作用下下, 分別在分別在x1 和和 x2 作用處作用處, 沿沿 x1 和和 x2 方向方向產生的產生的位移。位移。 在在 x1 處處, 沿沿 x1 方向方向，作用，作用單位力單位力, 沿沿 x1 和和x2 方向方向產生的產生的位移。位移。 3. 確定正則方程：確定正則方程：1P2121111XXB 點點沿沿 X2 方向方向的的位移位移 ：2P2221212XXB 點點沿沿 X1 方向方向的的位移位移:根據根據約束約束 B 的的特點：

16、特點： 021故：故： 所求的所求的正則方程，正則方程，解解方程方程即可求出即可求出 x1 , x2 。0XX1P2121110XX2P2221211222(e)1在在 x2 處處, 沿沿 x2 方向方向，作用，作用單位力單位力, 沿沿 x1 和和x2 方向方向產生的產生的位移。位移。 可寫成可寫成矩陣矩陣的的形式：形式：0XX2P1P2122211211 對稱結構對稱結構：當結構：當結構的的幾何形狀幾何形狀、尺寸尺寸、材料材料和和約束約束都都對稱對稱于某個于某個截面截面時時, 稱為稱為對稱結構對稱結構。2. 對稱載荷對稱載荷：當作用在當作用在對稱結構對稱結構上的上的載荷的作用位置、載荷的作用

17、位置、大小大小和和方向方向也也對稱對稱于于結構結構的的對稱面對稱面時時, 稱為稱為對稱載荷對稱載荷 。3. 反對稱載荷反對稱載荷：當作用在當作用在對稱結構對稱結構上上載荷載荷的的作用位置作用位置和和大小大小是對稱的，而是對稱的，而方向或轉向方向或轉向是是反對稱反對稱的，稱為的，稱為反對反對稱載荷稱載荷。14-3 對稱與反對稱性質的利用對稱與反對稱性質的利用CqqEIEI4. 特點：特點： (1). 對稱結構對稱結構在在對稱載荷對稱載荷作用下作用下, 結構變形結構變形對稱對稱, 在在對稱截面對稱截面上沒有上沒有反對稱反對稱的的內力內力 (剪力剪力) 。 (2). 對稱結構對稱結構在在反對稱載荷反

18、對稱載荷作用下作用下,結構變形結構變形反對稱反對稱, 在在對稱截面對稱截面上沒有上沒有對稱對稱的的內力內力 (軸力軸力和和彎矩彎矩）。5. 對稱結構對稱結構在在非非對稱載荷對稱載荷作用下作用下, 可把可把載荷載荷分解成分解成對稱對稱 載荷載荷和和反對稱載荷反對稱載荷的的疊加疊加, 分別分別計算計算, 再把再把結果結果疊加疊加。MFsFSMNFNF類似于外力，桿件的類似于外力，桿件的內力內力也可分為也可分為對稱和反對稱的。對稱和反對稱的。例如，例如，平面結構桿件的橫截面上，通常有平面結構桿件的橫截面上，通常有軸力、剪力軸力、剪力和和彎矩彎矩等內力，等內力，對于如圖所考察的截面：對于如圖所考察的截

19、面：軸力軸力 和和彎矩彎矩 是是對稱的內力，對稱的內力，而而剪力剪力 是是反對稱的內力。反對稱的內力。NFMSF3PNNBAAPPCoAMAN解解: 由由對稱性對稱性知：知：A、B 截面截面上上剪力剪力為為零。零。 由由分離體分離體的的平衡平衡可以求出可以求出軸力軸力R0120PPPPPPBAPPPCoAMANBMBN變形協調條件變形協調條件:0A例例14-4: 求圖示求圖示圓環圓環的的最大彎矩最大彎矩 Mmax 。EI為為常量常量（對稱性（對稱性的的應用）應用）BAMM由由對稱性對稱性, 可知可知APPCo1APPCoAMANR0120PPP cos13PRMMA 2333PRMA02333

20、PR3MEIRA dsEIMMsA30ARdEIcos13PRM 1M 變形協調條件變形協調條件:0A0 dsEIMMsA由由莫爾定理莫爾定理:可得出可得出由由彎矩方程：彎矩方程：可知可知, 最大彎矩最大彎矩發生在發生在 = 60, 即即 C 截面截面。0 60。 cos13PRMMA 2333PRcos13PR2333PRMA 3cos23PR 0.189PR6323PR3cos23PRM60max 例例14-5：圖圖示示小曲率桿小曲率桿在在力偶力偶 m 與與均勻分布剪流均勻分布剪流 q 作用作用下處于下處于平衡狀態平衡狀態,已知已知 q、R 與與 EI=常數。常數。 試求試求: A 截面截

21、面的的剪力、彎矩剪力、彎矩和和軸力。軸力。0N,0M,qRQAAA解：解：例例14-6：平面框架平面框架受受切向分布載荷切向分布載荷 q 作用。作用。求求 ：A 截面截面的的剪力、彎矩軸力。剪力、彎矩軸力。 解：解：QqbMNAAA,00例例147：圖：圖a所示為經過加固的橋式起重機大梁的計算簡圖，所示為經過加固的橋式起重機大梁的計算簡圖，若作用于一根大梁上的吊重為若作用于一根大梁上的吊重為P，試求水平拉桿，試求水平拉桿CD因因P而增加而增加的內力。的內力。、 （三）（三）求求 P111dxEANNdxEANNdxEIMMLLLP1011001由于：由于：N=0，N1=0，且，且AC 、BD

22、段段 0 xM故：故： dxEIMMLP01（1） （一）建立基本靜定系如圖（一）建立基本靜定系如圖b所示。所示。01N（二）作出僅在（二）作出僅在P力作用下的彎矩圖力作用下的彎矩圖M圖及僅在單位力作圖及僅在單位力作 用下的用下的AB梁的梁的 M0圖及圖及N0圖和圖和CD桿的桿的 圖。圖。 解：解：lLEIPelellllplplEI2822222142111212101000001111111AAIeEEAEALEILedxEANNdxEANNdxEIMMLLL(2)（四）建立正則方程：（四）建立正則方程：1.因因CD桿為一連續桿桿為一連續桿，故故 01，從而正則方程應為：從而正則方程應為：

23、 01111XP代入結果（代入結果（1）（）（2）得：）得： 12211182AAIeIlLPeX討論：討論：上式分母中的第上式分母中的第2項項 A1下，因下，因 為梁軸力的影響，一般情況為梁軸力的影響，一般情況111AA大的影響大的影響。 ，故將其省略并不會對結果產生很故將其省略并不會對結果產生很例例148：計算圖：計算圖a所示桁架各桿的內力，設各桿的材料相同，所示桁架各桿的內力，設各桿的材料相同，截面面積相等。截面面積相等。 （二）求出基本靜定系（二）求出基本靜定系分別在分別在P及單位力作用下的各桿軸力及單位力作用下的各桿軸力及有關數據見下表。及有關數據見下表。（一）建立基本靜定系如圖（一

24、）建立基本靜定系如圖b所示。所示。以以4桿為多余約束，假設將其切開，并代以多余約束力桿為多余約束，假設將其切開，并代以多余約束力 1X解：解：桿件編號NiNi0LiNiNi0 LiNi0 Ni0 LiNiP= Ni +Ni0 x11-P1a-Paa-P/22-P1a-Paa-P/2301a0aP/2401a0aP/25600P222a2a2Pa22)222( Paa22a22)21 ( 4a2/P2/P （三）應用莫爾定理（三）應用莫爾定理求求 P111EAPaEAlNNiiiiP21201EAaEAlNNiiii2140011（1） （2）（四）建立正則方程：（四）建立正則方程： 因因4桿為一連續桿，故正則方程應為桿為一連續桿，故正則方程應為：01111XP代入結果代入結果（1）（）（2）得：）得： 21PX由于由于 10XNNNiiPi故可將故可將 1X及表中的有關數據代入即及表中的有關數據代入即可求得可求得各桿軸力各桿軸力。附：附： 多次靜不定系統的正則方程：多次靜不定系統的正則方程：舉例說明：舉例說明：例例149：圖：圖a為為一二次靜不定梁一二次靜不定梁，試求其正則方程：，試求其正則方程： PB)(a（二）（二）求求 P1P211122221具體結果可根據具體結果可根